1、1,第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,一.方向?qū)?shù)：-導數(shù),二.梯度：-向量,兩向量的數(shù)量積：,預備知識：,若,則,2,第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,一、方向?qū)?shù),3,或,證,則,問題：上面的極限在什么條件下存在？ 若極限存在，其值等于什么？,4,即,或,注：,5,同理:,P10,注：求方向?qū)?shù)的兩種方法,6,的方向?qū)?shù).,解(1):,所以,解(2):,7,的方向?qū)?shù)。,解：法1,與 l 同向的單位向量為:,由于,故,解：法2,8,解：,設(shè),分析：首先要求出外法線的方向。,則,9,10,二. 梯度,方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：,P5,(gradient),11,結(jié)論：（梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系）,（1）沿梯度方向的方向

2、導數(shù)達到最大值；,（2）梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值，即,梯度向量的斜率：,12,推廣:,對于函數(shù),以下討論與二元函數(shù)相同：,什么情況下取得最大值？,最大值=？,13,解：,最大值為,例4. 設(shè),求,解：,14,的方向?qū)?shù)。,解（1）,解（2）,15,等高線（等值線）與等量面（等值面）：,在xOy面上的投影為一平面曲線L* ，,它在xOy面直角坐標系中的方程為：,16,對應的法線的斜率為：,17,推廣：,場的概念：（自學）,18,（2）方向?qū)?shù)：,（1）梯度：,（3）方向?qū)?shù)與梯度的區(qū)別與聯(lián)系,作業(yè):習題8-7 作業(yè)紙：,19,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,極值,無條件極值,條件極值,定義,極

3、值的必要條件,極值的充分條件,條件極值的定義,求最值的應用問題,拉格朗日乘數(shù)法,預備知識：,1.隱函數(shù)存在定理； 2.一元可導函數(shù)取得極值的必要條件。,20,第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法,一. 多元函數(shù)的極值與最大值、最小值,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。,21,2. 極值的判別定理,證,同理 ,22,具有偏導數(shù)的函數(shù)的極值點一定是駐點。但反之不成立。,注：,23,解,得駐點:,(1).,(2).,解得：,24,注：,25,3. 最大值、最小值,有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值。,實際問題中：,26,解（1）,則,所以,造價,設(shè)長、寬、高分別為,P31,27,解得,令,即駐點為,28,二、條件極值 拉格郎日乘數(shù)法,無條件極值,29,由（2）式，得：,30,拉格郎日乘數(shù)法：,31,例2解（）,下的極值.,構(gòu)造函數(shù),解得,設(shè),P26,32,推廣,構(gòu)造函數(shù),解方程組,求出極值點,33,距離最短的點.（習題八 16）,解,構(gòu)造函數(shù),解得點:,及,由題意知,所求點為,設(shè)交線上的點為,34,小結(jié)：,1多元函數(shù)的極值,取得極值的必要條件,取得極值的充