1、2.4 等比數(shù)列,第二章 數(shù)列,目標(biāo)定位,【學(xué)習(xí)目標(biāo)】,1結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，類比出等比數(shù)列的性質(zhì) 2理解等比數(shù)列的性質(zhì) 3掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并能綜合應(yīng)用,【重、難點】,重點：理解等比數(shù)列的性質(zhì) 難點：掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并能綜合應(yīng)用.,學(xué)習(xí)目標(biāo)和重難點,新知探究,（一）等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的性質(zhì)的研究方法與等差數(shù)列的性質(zhì)的研究方法也是相似的，你能否根據(jù)研究等差數(shù)列也通過類比的方法來研究等比數(shù)列的性質(zhì)呢？請嘗試完成下表.,新知探究,（一）與函數(shù)的關(guān)系類比,當(dāng) 時， 是關(guān)于序號n的指數(shù)型函數(shù) = ，其圖像是曲線()= ，上一系列孤立的點.,新知探究,（一）與函數(shù)的關(guān)系類比,當(dāng) = 時，數(shù)列為常

2、數(shù)列； 當(dāng) 時， 若 ，為遞增數(shù)列； 若 ，為遞減數(shù)列； 若 ，為遞減增數(shù)列.,新知探究,（二）性質(zhì)類比,若m+n=s+t，則 . 特別地，若m+n=2p，則 .,證明：左邊 = 1 1 1 1 = 1 2 +1 右邊 = 1 1 1 1 = 1 2 +1 又m+n=s+t 左邊=右邊,新知探究,（二）等比數(shù)列的通項公式,若 、 是等差比數(shù)列，公比分別為 、 ， 是等比數(shù)列，且公比為 . (其中、為常數(shù)). 特別地，當(dāng)=時， 是等比數(shù)列，且公比為 .,新知探究,（二）等比數(shù)列的通項公式,若 是等比數(shù)列，公比為，則 也是等差數(shù)列，且公比仍為.,新知探究,（二）等比數(shù)列的通項公式,若數(shù)列an是等比

3、數(shù)列，公比為，kn是等差數(shù)列，公差為，則 是等比數(shù)列，且公比為 .,典例突破,例1. 已知，是互異的正數(shù)， 是， 的等差中項， 是，的正的等比 中項，則 與 的大小關(guān)系是（ ） A B C= D無法確定,（一）等比數(shù)列通項公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,A,【解析】若，則由等差數(shù)列和等 比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，由兩個數(shù)列的 圖像（如圖）,. 易得； 同樣，若. 故選A.,典例突破,變式1. 在1，4兩個數(shù)之間插入兩個數(shù)，使它們成等差數(shù) 列，再在1，4兩個數(shù)之間插入兩個數(shù)，使它們成 等比數(shù)列，則下列關(guān)系正確的是（ ） A+ C+=+ D無法確定,（一）等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用,B,典例突破,例2. 若等比數(shù)列a

4、n中，a32，a118，則a7_.,【解析】 an是等比數(shù)列 7 2 = 3 11 =16 又 7 = 3 4 0 7 =4,（二）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1,典例突破,（二）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1,【解題反思】等比數(shù)列an中，利用等比中項求某一項時，如 何確定該項的符號？,答：等比數(shù)列an中，奇數(shù)項的符號一定相同，偶數(shù)項的符號一定相同. 所以，要確定某項的符號，只需看同類的項（奇數(shù)項或偶數(shù)項）的符號. 如果沒有同類的項的符號，就要根據(jù)公比的正負判斷.,典例突破,（二）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1,變式2.（1）若a52，a158，則a10_. （2）在 和 之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列， 則插入的三

5、個數(shù)的乘積為_,【解析】 （2） 設(shè)插入的三個數(shù)依次為a2，a3，a4，其中設(shè)a1 8 3 ，a5 27 2 . 這5個數(shù)成等比數(shù)列 a2a3a4 3 3 . 又 3 2 a1a5 8 3 27 2 36，a30 a36 a2a3a4 3 3 63216.,216,典例突破,（三）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用2,例3. 等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且 1 = 1 9 ， 4 6 =81，則 log 3 1 + log 3 2 + log 3 10 =_.,【解析】 5 2 = 4 6 =81得 5 =9 ( 0) 4 = 5 1 =81 =3 = 1 9 3 1 = 3 3 log 3 =3 又 log

6、 3 1 =2 log 3 是首項為2，公差為1的等差數(shù)列 log 3 1 + log 3 2 + log 3 10 =10 2 + 109 2 1=25.,25,典例突破,（三）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用2,【解題反思】若數(shù)列an是正項等比數(shù)列， log an是等差數(shù)列 嗎？若是，首項和公差各是多少？若不是，請說明理由.,答： log an一定是等差數(shù)列，首項是 log a1，公差是 log (是等比數(shù)列的公比),典例突破,（三）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用2,變式3. 已知an是在正項等比數(shù)列，則下列說法正確的是 _. 數(shù)列a是等比數(shù)列； 數(shù)列2an是等比數(shù)列； 數(shù)列l(wèi)gan是等比數(shù)列； 數(shù)列nan是等比數(shù)

7、列； 數(shù)列an+ an+1 是等比數(shù)列； 數(shù)列an an+1 是等比數(shù)列.,典例突破,（四）等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,例4. 有四個實數(shù)，前三個數(shù)依次成等比，它們的積是8，后三 個數(shù)依次成等差，它們的積為80，求出這四個數(shù),【解析】由題意設(shè)這四個數(shù)為 ，b，bq，a，則有 3 =8 2=+ 2 =80 ，解得 =10 =2 =2 或 =8 =2 = 5 2 ， 這四個數(shù)為1，2,4,10或 4 5 ，2，5，8.,典例突破,（四）等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,【解題反思】當(dāng)幾個數(shù)成等比數(shù)列時，如何設(shè)最合適？,答：（1）三個數(shù)成等比數(shù)列，常設(shè)為 ，a，aq (a0) （2）四個數(shù)成等比數(shù)列，常設(shè)為a，aq，aq2，aq3 (a0)，而不 設(shè)為 3 ， ，aq，aq3，因為這樣設(shè)會因等比數(shù)列的公比為 q2而失根,典例突破,（四）等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,變式4. 三個互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列三個數(shù)， 又可成為等比數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，則這三個數(shù)為 _,【解析】由已知，設(shè)這三個數(shù)為ad，a，ad， 則adaad6，解得 a2， 這三個數(shù)可表示為2d,2,2d，,4,2,8,典例突破,（四）等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用, 若2d為等比中項，則有(2d)22(2d)