1、第三章 自激振動 3.1 自激振動的機理和特征 3.2 極限環(huán)與 van der Pol 方程 3.3 工程中的自激振動問題 3.4 張馳振動 3.5 動態(tài)分岔,第三章 自激振動,自激振動與周期激勵的響應(yīng)相比，仍然是一種周期振動，它也是靠外界能源的驅(qū)動形成的，不同的是現(xiàn)在的能源是一個能量不變的能源，能源本身不直接給系統(tǒng)提供周期性變化的能量，系統(tǒng)振動能量的周期性變化是靠系統(tǒng)固有的某種自動調(diào)節(jié)機制、周期性地向能源和環(huán)境吞吐能量形成的。 當然，振動系統(tǒng)周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不變，這只能在能源的能量大大超過振動能量的前提下才能近似實現(xiàn)，這是自激振動系統(tǒng)的另一個特征。 自激振動系統(tǒng)（se

2、lf-excited system）也稱為自振系統(tǒng),它的特性很復(fù)雜。本章只學(xué)習(xí)單自由度系統(tǒng)自激振動的形成和演變的一些基本規(guī)律。,3.1 自激振動的機理和特征,1. 自激振動的機理 ,圖3.1、圖3.2為兩個自振系統(tǒng)的實例。就電鈴而言，能源為直流電源，在一定時期內(nèi)，能量近似恒定，接通電源后，鈴錘在電磁吸力作用下，彎曲敲擊銅鈴，同時電路觸點斷開，電磁吸力消失；在這個過程中，振系從能源吸收,電能，一部分轉(zhuǎn)化為鈴錘的動能和彈性勢能，另一部分由于材料阻尼、敲擊等因素而耗散。接下來的過程是，彈性勢能使鈴錘恢復(fù)形狀，使電源再次接通，完成一次振動，并開始下一次振動。 可見，自激振動的形成過程和機理是：振系在某

3、些初始激勵下能作往復(fù)運動，同時振系內(nèi)有一個固有的自動調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)起作用，它能自動感知振系狀態(tài)，根據(jù)振系狀態(tài)自動調(diào)節(jié),能量的吸收，并能使振系在每個往復(fù)運動中吸收的能量逐漸等于耗散的能量，從而使振系的能量和狀態(tài)周期性變化，即形成自激振動。自激振動的形成機理，可用框圖表示，如圖3.3。,需要指出的是，圖中的調(diào)節(jié)器就是前述的自動調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，對于某些振系，調(diào)節(jié)器是一個實際存在的裝置，如電鈴，其調(diào)節(jié)器為電磁斷續(xù)器，而對很多振系，調(diào)節(jié)器并不是一個明確的裝置，而是系統(tǒng)自身的特性和參數(shù)綜合形成的一個自動控制環(huán)節(jié)。,2. 自激振動的特征,參見課本p57的總結(jié)。,3.2 極限環(huán)與 van der Pol 方程,1. 極限

4、環(huán),從以上定性分析已知，自激振動是周期振動，因此對單自由度系統(tǒng)，自激振動的相軌跡是一條封閉曲線，與保守系統(tǒng)的自由振動相軌跡不同的是，自激振動的封閉相軌跡的形狀和運動周期，是由系統(tǒng)的固有參數(shù)和特性決定的，而與初始條件無關(guān)。因此，自激振動的封閉相軌跡在相平面上是一條孤立的封閉曲線。在這條封閉曲線鄰近的相點，將沿某一螺旋狀相軌跡趨近或離開這條封閉曲線，因此稱它為極限環(huán)(limit cycle)。一個振系的極限環(huán)可能不止一個，當極限環(huán)鄰近的相軌跡都趨近于極限環(huán)時，該極限環(huán)是穩(wěn)定的，否則，是不穩(wěn)定的，如圖3.4。只有穩(wěn)定的極限環(huán)才對應(yīng)于能夠?qū)崿F(xiàn)的自激振動，因此尋求極限環(huán)并確定其穩(wěn)定性，是非線性自治系統(tǒng)研

5、究中的一個最重要的問題。, van der Pol 振蕩器是已知存在極限環(huán)的系統(tǒng)的一個經(jīng)典例子。 van der Pol 方程也可以由Rayleigh方程經(jīng)變換得到，Rayleigh方程為,2. van der Pol 方程,圖3.4,(3.2),這就是van der Pol 方程。對（3.2）作能量積分得,(3.1),（3.1）式對 t 求導(dǎo)，得,E為積分常數(shù)。當x 的幅值較小時，上式右端第二項圓括號中的值大于零，積分值隨時間增長而增大，系統(tǒng)的機械能增大，即系統(tǒng)向外界吸收能量，同時使系統(tǒng)的運動幅度增大，這一過程一直到積分的平均值為零才停止。當x 的幅值較大，上式右端第二項圓括號中的值小于零時

6、，系統(tǒng)將耗散能量，同時使系統(tǒng)的運動幅度減小。因此預(yù)計系統(tǒng)最后可能會穩(wěn)定在某個周期運動狀態(tài)，即自振狀態(tài)。 方程（3.2）的第二項與速度有關(guān)，相當于一個阻尼項，由上述分析知，它不是常規(guī)阻尼，而是一個交變阻尼，耗散能量時，稱為正阻尼，吸收能量時稱為負阻尼。 下面用相平面法來確定其極限環(huán)。不失一般性，設(shè)Rayleigh方程（3.1）中 ，d = 1，相軌跡微分方程為,顯然，原點是系統(tǒng)唯一的奇點。用Lienard方法作相軌跡， Lienard輔助曲線為,(3.3),它也恰好是通過原點的零斜率等傾線，圖3.5中的虛線。稍加考察可知，奇點附近的相軌跡是向外發(fā)散的，因此奇點為不穩(wěn)定焦點。最后作出的相軌跡如圖3

7、.5。 也可用諧波平衡法來求出van der Pol 方程的近似解，設(shè),代入下面的van der Pol方程,注意，以上近似解只有當 e 為小參數(shù)時才成立，圖3.5也是針對e 為小參數(shù)的情況畫出的。對于e 為大參數(shù)的情況將在3.4節(jié)中研究。,3.3 工程中的自激振動問題,1. 時鐘原理,機械時鐘的鐘擺簡化模型如圖3.6，它是一個自激振動系統(tǒng)。近似恒定的能源為發(fā)條彈性能，當鐘擺向平衡位置運動并,(3.4),到達擺角 x= 時，會受到由發(fā)條能量轉(zhuǎn)換而來的脈沖力。設(shè)鐘擺受到干摩擦，動力學(xué)方程可寫成,系統(tǒng)的能量積分為,其中 E 為積分常數(shù)。 我們規(guī)定B 0、 x ，接下去相點先在下半相平面運動，因此按

8、（3.5）式進行。由初始條件求出積分常數(shù)E 后，（3.5）式變?yōu)?(3.5),(3.6),(3.7),這是一個以（0, B）為圓心的圓方程。,下面分三種情況分析： (1) x B ：這時按（3.7）式畫出的相軌跡如圖3.7a，這種相軌跡是不可能出現(xiàn)的，因此相點只能靜止不動。實際上，這時系統(tǒng)的彈性力沒有超過最大摩擦力，彈性力與摩擦力平衡，再加上,初始速度為零、沒有受到脈沖的作用，因此系統(tǒng)將靜止，相點不再運動。 (2) B x ：這時系統(tǒng)也沒有受到脈沖的作用，但是彈性力已超過最大摩擦力，系統(tǒng)將按干摩擦阻尼系統(tǒng)的規(guī)律逐漸運動。隨著運動的進行，由于摩擦耗能，位移幅值將持續(xù)減小，永遠不可能到達x= 的位

9、置而受到能源的激勵，因此能源對系統(tǒng)不起作用。這種情況下，系統(tǒng)退化為一個純粹的干摩擦阻尼系統(tǒng)，相軌跡如圖3.7b。, (3) x ：這時相點開始階段按干摩擦阻尼系統(tǒng)的規(guī)律在下半相平面逐漸運動，隨著位移幅值的減小，將到達x= 的位置，受到脈沖的激勵而吸能，激勵后，系統(tǒng)位置不變，速度值增加，然后繼續(xù)按干摩擦阻尼系統(tǒng)的規(guī)律運動，到達負 x 軸上的某,一點。接下來相點進入上半相平面運動，運動情況與下半相平面的運動類似，也可能出現(xiàn)上述情況（2）的運動，如圖3.8。,上述各個結(jié)果中，只有圖3.8(a)所示情況才有可能發(fā)育成一個極限環(huán)，因此對它作深入分析。由（3.5）、（3.6）式，這時的能量積分方程為,(3

10、.8),(3.9),(3.10),(3.11),參見圖3.9，其中對脈沖函數(shù)的積分要注意積分限的變化方向。,在（3.9）式中令 y = 0、 x = h ，解出 h 得,在（3.11）式中令 y = 0、 x = xT ，解出 xT 得,如果能使 xT = x ，則相軌跡封閉而成為極限環(huán)，由(3.12)、(3.13)可求出實現(xiàn)這一結(jié)果應(yīng)滿足的條件為,(3.12),(3.13),這意味著，對于給定的B、I 值，當相點從點（I / 2B, 0 ）出發(fā)，將沿極限環(huán)運動。馬上將證明，這個極限環(huán)是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)能實現(xiàn)自激振動，極限環(huán)如圖3.10；其振幅 A為,(3.14),下面來研究極限環(huán)的穩(wěn)定性。由

11、(3.12)、(3.13)可得函數(shù)關(guān)系,(3.15),(3.16),（3.16）式意味著，在極限環(huán)鄰近的相點，每運動一周將向極限環(huán)靠近一點，隨著運動的進行，相點將逐漸進入極限環(huán)，因此極限環(huán)是穩(wěn)定的。,2. 干摩擦自振,當干摩擦振子與摩擦面有恒速相對運動時，振子會出現(xiàn)自激振動，圖3.11為力學(xué)模型。,圖3.11,以往將干摩擦力簡化為常值，對于本問題，為了能解釋實際中出現(xiàn)的自激振動，需要對摩擦力的模型作一些細化，如圖3.12，其中的摩擦力j 隨速度v 有小的變化。不失一般性，設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等于1。,則系統(tǒng)的動力學(xué)方程為,系統(tǒng)的平衡位置為,(3.17),其中 v0 為摩擦面的運動速度，設(shè)為常值。

12、當 時，摩擦力j (0)的值不定，需要根據(jù)不同情況確定，具體如下：,(3.18),(3.21),將平衡位置變換到新坐標的原點。方程（3.17)變?yōu)?(3.19),(3.20),引入變換,相平面微分方程為,(3.24),y (y)曲線如圖3.13。其中,(3.23),根據(jù)式(3.20)、(3.18)、(3.19) 和 (3.23)，y(v0)的取值為,(3.22),于是，相平面微分方程變?yōu)?其中,(3.25),(3.26),方程（3.25）決定了幾乎整個相平面上的相軌跡分布；方程（3.26）決定了直線 y = v0 上的相軌跡或直線 y = v0 附近的相軌跡的走向。與方程（3.25）對應(yīng)的相軌

13、跡方程（能量積分）為,(3.27),因為上式右端第二項的值近似為零（參見圖3.13），即,于是方程（3.28）為兩個圓方程上疊加一個攝動項，攝動項將決定相軌跡是向圓內(nèi)收縮、向圓外發(fā)散或在圓周附近振蕩。 方程（3.26）決定了相點到達y = v0 這條直線上以后的相軌跡及其走向。其中的第一個方程規(guī)定了相軌跡為一個直線段，第二、第三個方程規(guī)定了相軌跡穿越直線y = v0 的斜率。,上式寫成,即,(3.28),根據(jù)方程（3.28）、（3.26），輔之以Lienard方法可以定出相軌線的近似形狀。易知，輔助曲線,穿過相平面的原點，當v0值適當時，輔助曲線從一、三象限穿過原點，此時原點為不穩(wěn)定焦點，原點

14、附近的相軌線發(fā)散。另一方面，由方程（3.26）的第一個方程知道， 從 P1( ymax, v0)、P2( ymin, v0) 兩點之間的任意點出發(fā)，將沿直線 y = v0運動到P2( ymin, v0)點，再按方程（3.28）的第一個方程運動回到P1P2線段上的D1點，最后按D1 P2 D2 D1的軌跡作周期運動，因而構(gòu)成極限環(huán)。如圖3.14。,3. 管內(nèi)流體喘振,有些輸水管道系統(tǒng)中，當擰開水龍頭時，水管會劇烈振動并發(fā)出噪聲，這種現(xiàn)象稱為流體的喘振，這是管內(nèi)流體自激振動造成的。圖3.15為喘振的力學(xué)模型。設(shè)水泵通過導(dǎo)管1將水注入容器2，導(dǎo)管的長度為l，容器內(nèi)的水面高度為h，導(dǎo)管和容器的橫截面積

15、分別為S1、S2，導(dǎo)管左右,導(dǎo)管內(nèi)水流的流速流量關(guān)系為,(3.29),兩端的壓強分別為P1、P2，水的密度為r，流速為v，管內(nèi)阻力為Fd。應(yīng)用動量定理得導(dǎo)管內(nèi)流體的動力學(xué)方程為,圖3.15,壓強P1和管內(nèi)阻力Fd均為流速v的函數(shù)，因而也是流量q的函數(shù)。令,(3.30),函數(shù)f (q)的實驗曲線如圖3.16。壓強P2取決于容器內(nèi)水面的高度h,(3.31),設(shè)q0為容器的出水流量，由流體的連續(xù)性條件得,(3.32),方程（3.29）對t求導(dǎo)，并將(3.30)(3.32)代入，得,(3.33),系統(tǒng)的平衡點為 qs = q0 ，將f(q)在 q0 附近展開，得,圖3.16,如果系統(tǒng)參數(shù)和特性的組合恰

16、好使得 df 2(q0) /dq2 = 0，也就是q0恰好是f (q)的拐點，于是得,代入（3.33），得,(3.34),方程（3.34）是van der Pol方程，因此喘振現(xiàn)象可用van der Pol方程的極限環(huán)解釋。,3.4 張馳振動,現(xiàn)在我們來考察Rayleigh方程(3.1)中e 為大參數(shù)的情況。不失一般性，仍然考慮 w 0 = 1、 d = 1的情況,(3.35),引入變換,，得,相軌跡微分方程為,(3.37),由于 e 很大，因此只要 y(1 y2) x 0 , 就可認為近似有dy / dx ，也就是只要相點不落在曲線 y(1 y2) = x 附近，將近似沿相平面上的鉛垂線運動

17、；當相點到達,(3.36),曲線 y(1 y2) = x 附近時，相軌跡的斜率急劇變?yōu)榱悖帱c被吸引到曲線 y(1 y2) = x 上，沿該曲線運動到曲線的極值點，然后沿近似鉛垂線跳躍到曲線 y(1 y2) = x 的另一側(cè)，接下去，重復(fù)沿曲線 y(1 y2) = x 和沿近似鉛垂線的跳躍運動，因而構(gòu)成極限環(huán)，如圖3.17。,相點在 AB 線段上運動的時間：,可見，近似極限環(huán)由兩段鉛錘線BC、DA，和兩段y(1 y2) = x 曲線AB、CD 構(gòu)成。下面，我們來估計相點在AB 線段和BC 線段上運動的時間。,y B 對應(yīng)于dx / dy = 0 ，即,所以,進而,(3.38),所以,相點在 B

18、C 線段上運動的時間：,而,其中,(3.39),(3.40),G( y )y 曲線如下圖所示， G( y )在 yB 和 yC 的值為，這是由于假設(shè)了相軌線 BC 為直線造成的，而實際上相軌線 BC 并非為直線，且BC 與曲線 y(1 y2) = x 的銜接有一個光滑的過渡過程。因此，在計算式（3.40）的積分時，需要排除G( y )在 yB 和 yC 的奇異區(qū)間，從下圖可見，我們?nèi)》瞧娈惙e分區(qū)間為 0.3 1，由此，對式（3.40）作數(shù)值積分，得,(3.41),由于 e 很大，由式（3.39）和（3.41）可見， 有 TAB TBC 對極限環(huán)上的CD和DA段有相同的結(jié)果。因此在自激振動的一個周期中，有非常明顯的快、慢交替運動。將速度時間曲線畫出，是類似于鋸齒的鋸齒波，如圖3.18。這種一張一弛的振動稱為張馳振動。,張馳振動的的過程，從物理本質(zhì)上講，是一個能量積聚和能量釋放或耗散的交替過程。如圖3.17，在相軌跡的AB段，系統(tǒng)從能源慢速吸能而使系統(tǒng)的勢能緩慢增長，系統(tǒng)動能緩慢變小，到達勢能的臨界