1、2015年初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合題歸類復(fù)習(xí)1圖像與性質(zhì)：例1(2014年四川資陽，第24題12分)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1（1）求拋物線的解析式；（2）已知點M為y軸上的一個動點，當(dāng)ABM為等腰三角形時，求點M的坐標(biāo)；（3）將AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0m3）得到另一個三角形，將所得的三角形與ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）根據(jù)對稱軸可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（1，0），根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=x2+2x+

2、3（2）分三種情況：當(dāng)MA=MB時；當(dāng)AB=AM時；當(dāng)AB=BM時；三種情況討論可得點M的坐標(biāo)（3）平移后的三角形記為PEF根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=x+3易得直線EF的解析式為y=x+3+m根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）在AOB沿x軸向右平移的過程中分二種情況：當(dāng)0m時；當(dāng)m3時；討論可得用m的代數(shù)式表示S解：（1）由題意可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為（1，0），則，解得故拋物線的解析式為y=x2+2x+3（2）當(dāng)MA=MB時，M（0，0）；當(dāng)AB=AM時，M（0，3）；當(dāng)AB=BM時，M（0，3+3）或M（0

3、，33）所以點M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，3）、（0，3+3）、（0，33）（3）平移后的三角形記為PEF設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則，解得則直線AB的解析式為y=x+3AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0m3）得到PEF，易得直線EF的解析式為y=x+3+m設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則，解得則直線AC的解析式為y=2x+6連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）在AOB沿x軸向右平移的過程中當(dāng)0m時，如圖1所示設(shè)PE交AB于K，EF交AC于M則BE=EK=m，PK=PA=3m，聯(lián)立，解得，即點M（3m，2m）。故S=SPEFSPAKSAFM=PE2PK2AFh=（3m）2

4、m2m=m2+3m當(dāng)m3時，如圖2所示設(shè)PE交AB于K，交AC于H因為BE=m，所以PK=PA=3m，又因為直線AC的解析式為y=2x+6，所以當(dāng)x=m時，得y=62m，所以點H（m，62m）故S=SPAHSPAK=PAPHPA2=（3m）（62m）（3m）2=m23m+綜上所述，當(dāng)0m時，S=m2+3m；當(dāng)m3時，S=m23m+ 點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：拋物線的對稱軸，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，分類思想的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強，有一定的難度2旋轉(zhuǎn)問題：例2. （2014福建泉州，第22題9分）如圖，已知二次函數(shù)y=a（xh）2+的圖象

5、經(jīng)過原點O（0，0），A（2，0）（1）寫出該函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60到OA，試判斷點A是否為該函數(shù)圖象的頂點？考點：二次函數(shù)的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)分析：（1）由于拋物線過點O（0，0），A（2，0），根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=1；（2）作ABx軸與B，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA=OA=2，AOA=2，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB=OA=1，AB=OB=，則A點的坐標(biāo)為（1，），根據(jù)拋物線的頂點式可判斷點A為拋物線y=（x1）2+的頂點解答：解：（1）二次函數(shù)y=a（xh）2+的圖象經(jīng)過原點O（0，0），A（2，0）拋物線的對稱

6、軸為直線x=1；（2）點A是該函數(shù)圖象的頂點理由如下：如圖，作ABx軸于點B，線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60到OA，OA=OA=2，AOA=2，在RtAOB中，OAB=30，OB=OA=1，AB=OB=，A點的坐標(biāo)為（1，），點A為拋物線y=（x1）2+的頂點點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標(biāo)為（，），對稱軸直線x=，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a0時，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的開口向上，x時，y隨x的增大而減??；x時，y隨x的增大而增大；x=時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點當(dāng)a0時，拋物線y=ax2+b

7、x+c（a0）的開口向下，x時，y隨x的增大而增大；x時，y隨x的增大而減??；x=時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)3與三角形結(jié)合：例3（2014廣西賀州，第26題12分）二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經(jīng)過點A（1，）；點F（0，1）在y軸上直線y=1與y軸交于點H（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=1交于點M，求證：FM平分OFP；（3）當(dāng)FPM是等邊三角形時，求P點的坐標(biāo)考點：二次函數(shù)綜合題專題：綜合題分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2，將點A代入函數(shù)解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的解析式；（2）

8、過點P作PBy軸于點B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，PFM=PMF，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出結(jié)論；（3）首先可得FMH=30，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2），根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案解答：（1）解：二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，將點A（1，）代入y=ax2得：a=，二次函數(shù)的解析式為y=x2；（2）證明：點P在拋物線y=x2上，可設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x2），過點P作PBy軸于點B，則BF=x21，PB=x，RtBPF中，PF=x2+1，PM直線y=1，PM=x2+1，PF=PM，PFM=PMF，又PMx軸，M

9、FH=PMF，PFM=MFH，F(xiàn)M平分OFP；（3）解：當(dāng)FPM是等邊三角形時，PMF=60，F(xiàn)MH=30，在RtMFH中，MF=2FH=22=4，PF=PM=FM，x2+1=4，解得：x=2，x2=12=3，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（2，3）或（2，3）點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練基本知識，數(shù)形結(jié)合，將所學(xué)知識融會貫通4與四邊形結(jié)合：例4（2014福建泉州，第25題12分）如圖，在銳角三角形紙片ABC中，ACBC，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上（1）已知：DEAC，DFBC判斷：四邊形DECF一定是

10、什么形狀？裁剪：當(dāng)AC=24cm，BC=20cm，ACB=45時，請你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；（2）折疊：請你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說明你的折法和理由考點：四邊形綜合題分析：（1）根據(jù)有兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，根據(jù)ADFABC推出對應(yīng)邊的相似比，然后進行轉(zhuǎn)換，即可得出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于h的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點坐標(biāo)，就可得出面積s最大時h的值（2）第一步，沿ABC的對角線對折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對折，使DA1

11、BB1解答：.解：（1）DEAC，DFBC，四邊形DECF是平行四邊形作AGBC，交BC于G，交DF于H，ACB=45，AC=24cm，AG=12，設(shè)DF=EC=x，平行四邊形的高為h，則AH=12h，DFBC，=，BC=20cm，即：=，x=20，S=xh=x20=20hh2=6，AH=12，AF=FC，在AC中點處剪四邊形DECF，能使它的面積最大（2）第一步，沿ABC的對角線對折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對折，使DA1BB1理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出

12、相關(guān)線段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)論5新定義題：例5（ 2014安徽省,第22題12分）若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x24mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0x3時，y2的最大值考點：二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值專題：新定義分析：（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可（2）由y1的

13、圖象經(jīng)過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題解答：解：（1）設(shè)頂點為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（xh）2+k，當(dāng)a=2，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x3）2+420，該二次函數(shù)圖象的開口向上當(dāng)a=3，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x3）2+430，該二次函數(shù)圖象的開口向上兩個函數(shù)y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4頂點相同，開口都向上，兩個函數(shù)y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4是“同簇二次函數(shù)”符合要求的兩個

14、“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4（2）y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），2124m1+2m2+1=1整理得：m22m+1=0解得：m1=m2=1y1=2x24x+3=2（x1）2+1y1+y2=2x24x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b4）x+8y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，y1+y2=（a+2）（x1）2+1=（a+2）x22（a+2）x+（a+2）+1其中a+20，即a2解得：函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x210x+5y2=5x210x+5=5（x1）2函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=150，函數(shù)y2的圖象開口向上當(dāng)0x1時，函數(shù)y2的圖象開口向

15、上，y2隨x的增大而減小當(dāng)x=0時，y2取最大值，最大值為5（01）2=5當(dāng)1x3時，函數(shù)y2的圖象開口向上，y2隨x的增大而增大當(dāng)x=3時，y2取最大值，最大值為5（31）2=20綜上所述：當(dāng)0x3時，y2的最大值為20點評：本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（開口方向、增減性），考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力而對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵6運動型問題：例6（ 2014廣東，第25題9分）如圖，在ABC中，AB=AC，ADAB于點D，BC=10cm，AD=8cm點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點

16、C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點P到達(dá)點C時，點P與直線m同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒（t0）（1）當(dāng)t=2時，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；（2）在整個運動過程中，所形成的PEF的面積存在最大值，當(dāng)PEF的面積最大時，求線段BP的長；（3）是否存在某一時刻t，使PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由考點：相似形綜合題分析：（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；（2）如答圖2所示，首先求出PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如

17、答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解解答：（1）證明：當(dāng)t=2時，DH=AH=2，則H為AD的中點，如答圖1所示又EFAD，EF為AD的垂直平分線，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB于點D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形（2）解：如答圖2所示，由（1）知EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10tSPEF=EFDH=（10t）2t=t2+10t=（t2）2+10當(dāng)t=2秒時，SPEF存在最大值，最大值為10，此時BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若點E為直角頂點，如答圖3所示，

18、此時PEAD，PE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此種情形不存在；若點F為直角頂點，如答圖3所示，此時PEAD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得t=；若點P為直角頂點，如答圖3所示過點E作EMBC于點M，過點F作FNBC于點N，則EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得BM=t，PM=BPBM=3tt=t在RtEMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，即，解得CN=t，PN=BCBPCN=103tt=10t在RtFNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=

19、t285t+100在RtPEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10t）2=（t2）+（t285t+100）化簡得：t235t=0，解得：t=或t=0（舍去）t=綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時，PEF為直角三角形點評：本題是運動型綜合題，涉及動點與動線兩種運動類型第（1）問考查了菱形的定義；第（2）問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值；第（3）問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識點，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想7代數(shù)與幾何綜合：例7. （2014廣西玉林市、防城港市，第26題12分）給定直線l：y=kx，拋物線C：y=ax2+bx+1（1）當(dāng)b=1時，l與C相交于A，

20、B兩點，其中A為C的頂點，B與A關(guān)于原點對稱，求a的值；（2）若把直線l向上平移k2+1個單位長度得到直線r，則無論非零實數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點求此拋物線的解析式；若P是此拋物線上任一點，過P作PQy軸且與直線y=2交于Q點，O為原點求證：OP=PQ考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）直線與拋物線的交點B與A關(guān)于原點對稱，即橫縱坐標(biāo)對應(yīng)互為相反數(shù)，即相加為零，這很使用于韋達(dá)定理由其中有涉及頂點，考慮頂點式易得a值（2）直線l：y=kx向上平移k2+1，得直線r：y=kx+k2+1根據(jù)無論非零實數(shù)k取何值，直線r與拋物線C：y=ax2+bx+1都只有一個交點，得ax2+（bk）x

21、k2=0中=0這雖然是個方程，但無法求解這里可以考慮一個數(shù)學(xué)技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最簡單的1，2肯定是成立的，所以可以代入試驗，進而可求得關(guān)于a，b的方程組，則a，b可能的值易得但要注意答案中，可能有的只能滿足k=1，2時，并不滿足任意實數(shù)k，所以可以再代回=中，若不能使其結(jié)果為0，則應(yīng)舍去求證OP=PQ，那么首先應(yīng)畫出大致的示意圖發(fā)現(xiàn)圖中幾何條件較少，所以考慮用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出OP，PQ的值，再進行比較這里也有數(shù)學(xué)技巧，討論動點P在拋物線y=x2+1上，則可設(shè)其坐標(biāo)為（x，x2+1），進而易求OP，PQ解答：（1）解：l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，當(dāng)b=1時有A，B兩交點

22、，A，B兩點的橫坐標(biāo)滿足kx=ax2+x+1，即ax2+（1k）x+1=0B與A關(guān)于原點對稱，0=xA+xB=，k=1y=ax2+x+1=a（x+）2+1，頂點（，1）在y=x上，=1，解得 a=（2）解：無論非零實數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點，k=1時，k=2時，直線r與拋物線C都只有一個交點當(dāng)k=1時，r：y=x+2，代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b1）x1=0，=0，（b1）2+4a=0，當(dāng)k=2時，r：y=2x+5，代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b2）x4=0，=0，（b2）2+16a=0，聯(lián)立得關(guān)于a，b的方程組 ，解得 或 r：y=kx+k

23、2+1代入C：y=ax2+bx+1，得ax2+（bk）xk2=0，=當(dāng)時，=0，故無論k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點當(dāng)時，=，顯然雖k值的變化，不恒為0，所以不合題意舍去C：y=x2+1證明：根據(jù)題意，畫出圖象如圖1，由P在拋物線y=x2+1上，設(shè)P坐標(biāo)為（x，x2+1），連接OP，過P作PQ直線y=2于Q，作PDx軸于D，PD=|x2+1|，OD=|x|，OP=， PQ=2yP=2（x2+1）=，OP=PQ點評：本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)及圖象，圖象平移解析式變化，韋達(dá)定理及勾股定理等知識，另涉及一些數(shù)學(xué)技巧，學(xué)生解答有一定難度，需要好好理解掌握8面積問題：例8（2014溫州，第

24、21題10分）如圖，拋物線y=x2+2x+c與x軸交于A，B兩點，它的對稱軸與x軸交于點N，過頂點M作MEy軸于點E，連結(jié)BE交MN于點F，已知點A的坐標(biāo)為（1，0）（1）求該拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)（2）求EMF與BNE的面積之比考點：拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）直接將（1，0）代入求出即可，再利用配方法求出頂點坐標(biāo)；（2）利用EMBN，則EMFBNF，進而求出EMF與BNE的面積之比解答：解：（1）由題意可得：（1）2+2（1）+c=0，解得：c=3，y=x2+2x+3，y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點M（1

25、，4）；（2）A（1，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，點B（3，0），EM=1，BN=2，EMBN，EMFBNF，=（）2=（）2=點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出EMFBNF是解題關(guān)鍵9探究型問題：例9（2014舟山，第24題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線y=x2上的一個動點，且點A在第一象限內(nèi)AEy軸于點E，點B坐標(biāo)為（0，2），直線AB交x軸于點C，點D與點C關(guān)于y軸對稱，直線DE與AB相交于點F，連結(jié)BD設(shè)線段AE的長為m，BED的面積為S（1）當(dāng)m=時，求S的值（2）求S關(guān)于m（m2）的函數(shù)解析式（3）若S=時，求的值；當(dāng)

26、m2時，設(shè)=k，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明考點：二次函數(shù)綜合題專題：綜合題分析：（1）首先可得點A的坐標(biāo)為（m， m2），再由m的值，確定點B的坐標(biāo)，繼而可得點E的坐標(biāo)及BE、OE的長度，易得ABECBO，利用對應(yīng)邊成比例求出CO，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出DO，繼而可求解S的值；（2）分兩種情況討論，（I）當(dāng)0m2時，將BEDO轉(zhuǎn)化為AEBO，求解；（II）當(dāng)m2時，由（I）的解法，可得S關(guān)于m的函數(shù)解析式；（3）首先可確定點A的坐標(biāo)，根據(jù)=k，可得SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，從而可得=k，代入即可得出k的值；可得=k，因為點A的坐標(biāo)為（m， m2），S=m，代入可得k與m的關(guān)系解答

27、：解：（1）點A在二次函數(shù)y=x2的圖象上，AEy軸于點E且AE=m，點A的坐標(biāo)為（m， m2），當(dāng)m=時，點A的坐標(biāo)為（，1），點B的坐標(biāo)為（0，2），BE=OE=1AEy軸，AEx軸，ABECBO，=，CO=2，點D和點C關(guān)于y軸對稱，DO=CO=2，S=BEDO=12=；（2）（I）當(dāng)0m2時（如圖1），點D和點C關(guān)于y軸對稱，BODBOC，BEABOC，BEABOD，=，即BEDO=AEBO=2mS=BEDO=2m=m；（II）當(dāng)m2時（如圖2），同（I）解法得：S=BEDO=AEOB=m，由（I）（II）得，S關(guān)于m的函數(shù)解析式為S=m（m0且m2）（3）如圖3，連接AD，BED的面

28、積為，S=m=，點A的坐標(biāo)為（，），=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，k=；k與m之間的數(shù)量關(guān)系為k=m2，如圖4，連接AD，=k，SADF=kSBDFSAEF=kSBEF，=k，點A的坐標(biāo)為（m， m2），S=m，k=m2（m2）點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了三角形的面積、比例的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想的運用，難度較大10存在性問題：例10（2014年廣東汕尾，第25題10分）如圖，已知拋物線y=x2x3與x軸的交點為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點為C（1）直接寫出A、D、C三點的坐標(biāo)；（2）

29、若點M在拋物線上，使得MAD的面積與CAD的面積相等，求點M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析：（1）令y=0，解方程x2x3=0可得到A點和D點坐標(biāo)；令x=0，求出y=3，可確定C點坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線的對稱性，可知在在x軸下方對稱軸右側(cè)也存在這樣的一個點；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個點，這兩個點分別到x軸的距離等于點C到x軸的距離；（3）根據(jù)梯形定義確定點P，如圖所示：若BCAP1，確定梯形ABCP1此時P1與D點重合，即可求得點P1的坐

30、標(biāo)；若ABCP2，確定梯形ABCP2先求出直線CP2的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點P2的坐標(biāo)解：（1）y=x2x3，當(dāng)y=0時，x2x3=0，解得x1=2，x2=4當(dāng)x=0，y=3A點坐標(biāo)為（4，0），D點坐標(biāo)為（2，0），C點坐標(biāo)為（0，3）；（2）y=x2x3，對稱軸為直線x=1AD在x軸上，點M在拋物線上，當(dāng)MAD的面積與CAD的面積相等時，分兩種情況：點M在x軸下方時，根據(jù)拋物線的對稱性，可知點M與點C關(guān)于直線x=1對稱，C點坐標(biāo)為（0，3），M點坐標(biāo)為（2，3）；點M在x軸上方時，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點到x軸的距離等于點C到x軸的距離3當(dāng)y=4時，x2x3=3，解得

31、x1=1+，x2=1，M點坐標(biāo)為（1+，3）或（1，3）綜上所述，所求M點坐標(biāo)為（2，3）或（1+，3）或（1，3）；（3）結(jié)論：存在如圖所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：若BCAP1，此時梯形為ABCP1由點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，可知BCx軸，則P1與D點重合，P1（2，0）P1A=6，BC=2，P1ABC，四邊形ABCP1為梯形；若ABCP2，此時梯形為ABCP2A點坐標(biāo)為（4，0），B點坐標(biāo)為（2，3），直線AB的解析式為y=x6，可設(shè)直線CP2的解析式為y=x+n，將C點坐標(biāo)（0，3）代入，得b=3，直線CP2的解析式為y=x3點P2在拋物線y=x2x3上，x2x3=x3，

32、化簡得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，點P2橫坐標(biāo)為6，代入直線CP2解析式求得縱坐標(biāo)為6，P2（6，6）ABCP2，ABCP2，四邊形ABCP2為梯形綜上所述，在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構(gòu)成的四邊形為梯形；點P的坐標(biāo)為（2，0）或（6，6）點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)求法，三角形的面積，梯形的判定綜合性較強，有一定難度運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵11應(yīng)用題型：利潤問題。例11（2014武漢2014武漢，第29題10分）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1x90

33、）天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表：時間x（天）1x5050x90售價（元/件）x+4090每天銷量（件）2002x已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結(jié)果 考點：二次函數(shù)的應(yīng)用分析：（1）根據(jù)單價乘以數(shù)量，可得利潤，可得答案；（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于48000，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案解答

34、：解：（1）當(dāng)1x50時，y=（2002x）（x+4030）=2x2+180x+200，當(dāng)50x90時，y=（2002x）（9030）=120x+12000，綜上所述：y=；（2）當(dāng)1x50時，二次函數(shù)開口下，二次函數(shù)對稱軸為x=45，當(dāng)x=45時，y最大=2452+18045+2000=6050，當(dāng)50x90時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=50時，y最大=6000，綜上所述，該商品第45天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）當(dāng)20x60時，每天銷售利潤不低于4800元點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值12求點的坐標(biāo)問題：例12（2

35、014武漢，第25題12分）如圖，已知直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交于A，B兩點（1）直線AB總經(jīng)過一個定點C，請直接出點C坐標(biāo)；（2）當(dāng)k=時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使ABP的面積等于5；（3）若在拋物線上存在定點D使ADB=90，求點D到直線AB的最大距離 考點：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程因式分解法；根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：壓軸題分析：（1）要求定點的坐標(biāo)，只需尋找一個合適x，使得y的值與k無關(guān)即可（2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點A、B的坐標(biāo)設(shè)出點P的橫坐標(biāo)為a，運用割補法用a的代數(shù)式表示APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于

36、a的方程，從而求出a的值，進而求出點P的坐標(biāo)（3）設(shè)點A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件ADB=90出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點D的坐標(biāo)由于直線AB上有一個定點C，容易得到DC長就是點D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題解答：解：（1）當(dāng)x=2時，y=（2）k+2k+4=4直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過定點（2，4）點C的坐標(biāo)為（2，4）（2）k=，直線的解析式為y=x+3聯(lián)立，解得：或點A的坐標(biāo)為（3，），點B的坐標(biāo)為（2，2）過點P作PQy軸，交AB于點Q，過點A作AMPQ，垂足為

37、M，過點B作BNPQ，垂足為N，如圖1所示設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則點Q的橫坐標(biāo)為ayP=a2，yQ=a+3點P在直線AB下方，PQ=yQyP=a+3a2AM+NB=a（3）+2a=5SAPB=SAPQ+SBPQ=PQAM+PQBN=PQ（AM+BN）=（a+3a2）5=5整理得：a2+a2=0解得：a1=2，a2=1當(dāng)a=2時，yP=（2）2=2此時點P的坐標(biāo)為（2，2）當(dāng)a=1時，yP=12=此時點P的坐標(biāo)為（1，）符合要求的點P的坐標(biāo)為（2，2）或（1，）（3）過點D作x軸的平行線EF，作AEEF，垂足為E，作BFEF，垂足為F，如圖2 AEEF，BFEF，AED=BFD=90ADB=90，

38、ADE=90BDF=DBFAED=BFD，ADE=DBF，AEDDFB設(shè)點A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，則點A、B、D的縱坐標(biāo)分別為m2、n2、t2AE=yAyE=m2t2BF=yByF=n2t2ED=xDxE=tm，DF=xFxD=nt，=化簡得：mn+（m+n）t+t2+4=0點A、B是直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交點，m、n是方程kx+2k+4=x2即x22kx4k8=0兩根m+n=2k，mn=4k84k8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt4k4=0即（t2）（t+2k+2）=0t1=2，t2=2k2（舍）定點D的坐標(biāo)為（2，2）過點D作x軸的平行線DG，過點C

39、作CGDG，垂足為G，如圖3所示點C（2，4），點D（2，2），CG=42=2，DG=2（2）=4CGDG，DC=2過點D作DHAB，垂足為H，如圖3所示，DHDCDH2當(dāng)DH與DC重合即DCAB時，點D到直線AB的距離最大，最大值為2點D到直線AB的最大距離為2點評：本題考查了解方程組、解一元二次方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識，考查了通過解方程組求兩函數(shù)交點坐標(biāo)、用割補法表示三角形的面積等方法，綜合性比較強構(gòu)造K型相似以及運用根與系數(shù)的關(guān)系是求出點D的坐標(biāo)的關(guān)鍵，點C是定點又是求點D到直線AB的最大距離的突破口13與一元二次方程結(jié)合：例13（10分）

40、（2014孝感，第22題10分）已知關(guān)于x的方程x2（2k3）x+k2+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2（1）求k的取值范圍；（2）試說明x10，x20；（3）若拋物線y=x2（2k3）x+k2+1與x軸交于A、B兩點，點A、點B到原點的距離分別為OA、OB，且OA+OB=2OAOB3，求k的值考點：拋物線與x軸的交點；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系分析：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，則判別式大于0，據(jù)此即可列不等式求得k的范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，說明兩根的和小于0，且兩根的積大于0即可；（3）不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0）利用x1，x2表示出OA、OB的長，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)

41、系，以及OA+OB=2OAOB3即可列方程求解解答：解：（1）由題意可知：=【（2k3）】24（k2+1）0，即12k+50 （2），x10，x20 （3）依題意，不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0）OA+OB=|x1|+|x2|=（x1+x2）=（2k3），OAOB=|x1|x2|=x1x2=k2+1，OA+OB=2OAOB3，（2k3）=2（k2+1）3，解得k1=1，k2=2 ，k=2點評：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點，兩交點的橫坐標(biāo)就是另y=0，得到的方程的兩根，則滿足一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系14雙動點問題：例14(2014襄陽，第26題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OC

42、DE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B連接EC，AC點P，Q為動點，設(shè)運動時間為t秒（1）填空：點A坐標(biāo)為 ；拋物線的解析式為 （2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止運動當(dāng)t為何值時，PCQ為直角三角形？（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PFAB，交AC于點F，過點F作FGAD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ當(dāng)t為何值時，AC

43、Q的面積最大？最大值是多少？考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸與矩形的性質(zhì)可得點A坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）先根據(jù)勾股定理可得CE，再分兩種情況：當(dāng)QPC=90時；當(dāng)PQC=90時；討論可得PCQ為直角三角形時t的值；（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式，根據(jù)SACQ=SAFQ+SCPQ可得SACQ=（t2）2+1，依此即可求解解答：解：（1）拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點A在DE上，點A坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x1）2+4，把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3

44、1）2+4=0，解得a=1故拋物線的解析式為y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3；（2）依題意有：OC=3，OE=4，CE=5，當(dāng)QPC=90時，cosQPC=，=，解得t=；當(dāng)PQC=90時，cosQCP=，=，解得t=當(dāng)t=或t=時，PCQ為直角三角形；（3）A（1，4），C（3，0），設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則，解得故直線AC的解析式為y=2x+6P（1，4t），將y=4t代入y=2x+6中，得x=1+，Q點的橫坐標(biāo)為1+，將x=1+代入y=（x1）2+4中，得y=4Q點的縱坐標(biāo)為4，QF=（4）（4t）=t，SACQ=SAFQ+SCPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+D

45、G）=FQAD=2（t）=（t2）2+1，當(dāng)t=2時，ACQ的面積最大，最大值是1故答案為：（1，4），y=（x1）2+4點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：拋物線的對稱軸，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，勾股定理，三角形面積，二次函數(shù)的最值，以及分類思想的運用15與圓結(jié)合：例15（2014益陽，第21題，12分）如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B=60，AB=10，BC=4，點P沿線段AB從點A向點B運動，設(shè)AP=x（1）求AD的長；（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求

46、出x的值；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)ADP與PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值考點：相似形綜合題分析：（1）過點C作CEAB于E，根據(jù)CE=BCsinB求出CE，再根據(jù)AD=CE即可求出AD；（2）若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，則PCB必有一個角是直角分兩種情況討論：當(dāng)PCB=90時，求出AP，再根據(jù)在RtADP中DPA=60，得出DPA=B，從而得到ADPCPB，當(dāng)CPB=90時，求出AP=3，根據(jù)且，得出PCB與ADP不相似（3）先求出S1=x，再分兩種情況討論：當(dāng)2x10時，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作

47、PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM，在RtGBH中求出BG、BN、GN，在RtGMN中，求出MN=（x1），在RtBMN中，求出BM2=x2x+，最后根據(jù)S1=xBM2代入計算即可當(dāng)0x2時，S2=x（x2x+），最后根據(jù)S=S1+S2=x（x）2+x即可得出S的最小值解答：解：（1）過點C作CEAB于E，在RtBCE中，B=60，BC=4，CE=BCsinB=4=2，AD=CE=2（2）存在若以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似，則PCB必有一個角是直角當(dāng)PCB=90時，在RtPCB中，BC=4，B=60，PB=8，AP=ABPB=2又由（1）知AD=2，

48、在RtADP中，tanDPA=，DPA=60，DPA=CPB，ADPCPB，存在ADP與CPB相似，此時x=2當(dāng)CPB=90時，在RtPCB中，B=60，BC=4，PB=2，PC=2，AP=3則且，此時PCB與ADP不相似（3）如圖，因為RtADP外接圓的直徑為斜邊PD，則S1=x（）2=x，當(dāng)2x10時，作BC的垂直平分線交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分線交PB于N，交GH于M，連結(jié)BM則BM為PCB外接圓的半徑在RtGBH中，BH=BC=2，MGB=30，BG=4，BN=PB=（10x）=5x，GN=BGBN=x1在RtGMN中，MN=GNtanMGN=（x1）在RtBMN中，BM

49、2=MN2+BN2=x2x+，S1=xBM2=x（x2x+）當(dāng)0x2時，S2=x（x2x+）也成立，S=S1+S2=x+x（x2x+）=x（x）2+x當(dāng)x=時，S=S1+S2取得最小值x點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的最值、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形構(gòu)造相似三角形，注意分類討論適應(yīng)性練習(xí)；1（2014浙江寧波，第23題10分）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過A（2，0），B（0，1）和C（4，5）三點（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為D，求點D的坐標(biāo)；（3）在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x+1，并寫出

50、當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值 2（2014四川自貢，第24題14分）如圖，已知拋物線y=ax2x+c與x軸相交于A、B兩點，并與直線y=x2交于B、C兩點，其中點C是直線y=x2與y軸的交點，連接AC（1）求拋物線的解析式；（2）證明：ABC為直角三角形；（3）ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG？（頂點D、E、F、G在ABC各邊上）若能，求出最大面積；若不能，請說明理由3（2014浙江湖州，第23題分）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點，拋物線y=x2+bx+c（c0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CAx軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使

51、BC=AC，連接OA，OB，BD和AD（1）若點A的坐標(biāo)是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由4（2014年江蘇南京，第24題）已知二次函數(shù)y=x22mx+m2+3（m是常數(shù)）（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點；（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點？5（2014呼和浩特，第25題12分）如圖，已知直線l的解析式為y=x1，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A（m，0），B（2，0），D（1，）三點（1）求拋物線的解析式及A點的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象；（2）已知點 P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個動點，過點P作PE垂直x軸于點E，延長PE與直線l交于點F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時點P的坐標(biāo)；（3）將（2）中S最大時的點P與點B相連，求證：直線l上的任意一點關(guān)于x軸的對稱點一定在PB所在直線上6（2014濱州，第23題9分）已知二次函數(shù)y=x24x+3（1）用配方法求其圖象的頂點C的坐標(biāo)，并描述該函數(shù)的