1、剛體運(yùn)動的描述,力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程,定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理,剛體的定軸轉(zhuǎn)動,動量矩和動量矩守恒定律,一 力矩作功,元功,即作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力F的元功，等于該力對轉(zhuǎn)軸的力矩與剛體的元角位移的乘積,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理 chsling,力矩的功,力矩的功率,力矩做功實(shí)質(zhì)上就是力做功，在剛體定軸轉(zhuǎn)動中可用力矩表示。,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理 chsling,二 轉(zhuǎn)動動能,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理 chsling,z,O,的動能為,P,繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半。,剛體的總動能：,三 剛體繞定軸

2、轉(zhuǎn)動的動能定理,繞定軸轉(zhuǎn)動剛體動能的微分，等于作用在剛體上所有外力元功的代數(shù)和。,剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能定理的微分形式,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理 chsling,合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量 .,注意,1. 內(nèi)力的功的總和在任何過程中都等于零； 機(jī)械能守恒定律仍然成立，動能包括平動動能和 轉(zhuǎn)動動能。,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理 chsling,質(zhì)點(diǎn)系動能定理 ：,剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理：,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理 chsling,對于包括有剛體的系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功的情況下，此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒：,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能

3、定理 chsling,1.剛體的重力勢能 ： （hC為質(zhì)心的位置）,2. 此時(shí)動能包括平動動能和轉(zhuǎn)動動能。,和 、 分別為圓盤終了和起始時(shí)的角坐標(biāo)和角速度 .,例1 一質(zhì)量為 、半徑為 R 的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動 . 圓盤上繞有輕繩，一端掛質(zhì)量為m 的物體 . 問物體在靜止下落高度 h 時(shí)，其速度的大小為多少? 設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì) .,解 拉力 對圓盤做功，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理可得，拉力 的力矩所作的功為,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理 chsling,物體由靜止開始下落,解得,并考慮到圓盤的轉(zhuǎn)動慣量,由質(zhì)點(diǎn)動能定理,5.3 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 動能定理

4、 chsling,例 一根長為 l ，質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)直棒，可繞軸 O 在豎直平 面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時(shí)它在水平位置,解,由動能定理,求 它由此下擺 角時(shí)的 ,思考:此題可否用機(jī)械能守恒定律求解?為什么?,So easy!,綜合應(yīng)用 chsling,練習(xí) 如圖，彈簧的K=2N/M,彈簧和繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，繩子不可伸長，不計(jì)空氣阻力?；啺霃綖?0cm，繞其軸的轉(zhuǎn)動慣量為0.01kgm2，,求1kg質(zhì)量物體從靜止（此時(shí)彈簧為原長）開始落下1m時(shí)的速度大??？,解：由彈簧、滑輪、物體和繩子組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：,綜合應(yīng)用 chsling,力矩的時(shí)間累積效應(yīng) ?,1 質(zhì)點(diǎn)的動量矩（角動量）,質(zhì)量為 的

5、質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動，某時(shí)刻相對原點(diǎn) O 的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的 動量矩(角動量）,大小,一 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理和角動量守恒定律,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,對O點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑為 的圓運(yùn)動，相對圓心的角動量,的方向符合右手法則.,質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的動量矩與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動 及參考點(diǎn)位置有關(guān)（練習(xí)P142）； 2.質(zhì)點(diǎn)對某點(diǎn)的動量矩,在通過該 點(diǎn)的任意軸上的投影就等于質(zhì)點(diǎn) 對該軸的動量矩（可視為代數(shù)量）。,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,例 一質(zhì)點(diǎn)m，速度為v，如圖所示，A、B、C 分別為三個(gè)參考點(diǎn),此時(shí)m 相對三個(gè)點(diǎn)的距離分別為d1 、d2 、 d3;,

6、求 此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對三個(gè)參考點(diǎn)的動量矩,解,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn) O 的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn) O 的角動量隨時(shí)間的變化率.,2 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,沖量矩,質(zhì)點(diǎn)的角動量定理：對同一參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增量.,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,1.沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動量矩變化的原因;,2.質(zhì)點(diǎn)動量矩的變化是力矩對時(shí)間的積累結(jié)果.,說 明,(1) 動量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用；,(2) 質(zhì)點(diǎn)在

7、有心力場（如天體）中動量矩守恒.,質(zhì)點(diǎn)所受對參考點(diǎn) O 的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對該參考點(diǎn) O 的角動量為一恒矢量.,恒矢量,3 質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,例1 一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為 m 的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動. 小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的水平面上),然后從 A 點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對環(huán)心 O 的角動量和角速度.,解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里,由質(zhì)點(diǎn)的角動量定理,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chs

8、ling,考慮到,得,由題設(shè)條件積分上式,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,解 設(shè)飛船在點(diǎn) A 的速度 , 月球質(zhì)量 mM ,由萬有引力和牛頓定律,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,得,得,當(dāng)飛船在A點(diǎn)以相對速度 向外噴氣的短時(shí)間里 , 飛船的質(zhì)量減少了m 而為 , 并獲得速度的增量 , 使飛船的速度變?yōu)?, 其值為,質(zhì)量 在 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)只受有心力作用 , 角動量守恒,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,飛船在 A點(diǎn)噴出氣體后, 在到達(dá)月球的過程中, 機(jī)械能守恒,即,于是,而,5.4 動量矩和

9、 動量矩守恒定律 chsling,二 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律,1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對 Z 軸的動量矩,且剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對 Z 軸的動量矩具有相同的方向：,3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理,（對定軸轉(zhuǎn)動剛體，J 為常量）,動量矩定理微分形式,動量矩定理積分形式,定軸轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動量矩的增量,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,角動量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.,內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量.,守

10、 恒條件,若 不變， 不變；若 變， 也變，但 不變.,圓錐擺,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,例 一長為 l , 質(zhì)量為 的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動 . 一質(zhì)量為 、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問子彈的初速率為多少 ?,解 把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng) .子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,射入竿后，以子彈、細(xì)桿和 地球?yàn)橄到y(tǒng) ，機(jī)械能守恒 ：,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,練習(xí) 質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿,可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí), 有

11、一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處, 并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?,解 小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,由角動量定理,即,考慮到,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,練習(xí) 一雜技演員 M 由距水平蹺板高為 h 處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N 彈了起來.設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長度為l,質(zhì)量為 ,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,演員的質(zhì)量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員N可彈起多高?,解 碰撞前 M 落在 A點(diǎn)的速度,碰撞后的瞬間, M、N具有相同的線速度,5.4 動量矩和 動量矩守恒定律 chsling,把M、N和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng), 角動量