1、1,寄 語(yǔ),假舟楫者，非能水也，而絕江河。,假輿馬者，非利足也，而致千里；,-旬子,2,第21章,第一節(jié)、二重積分概念,第三節(jié)、格林公式-曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性,重積分,第21章,本章內(nèi)容：,第二節(jié)、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算,第四節(jié)、二重積分的變量替換,第五節(jié)、三重積分,第六節(jié)、重積分的應(yīng)用,第七節(jié)、第八節(jié)、第九節(jié)-N重積分；反常二重積分；變量替換公式證明-略去,3,第5節(jié) 三重積分,一、三重積分的概念,二、化三重積分為累次積分,第21章,本節(jié)內(nèi)容：,三、三重積分換元法,4,一、三重積分的概念,類似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用,引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的,物質(zhì),求分布

2、在 內(nèi)的物質(zhì)的,可得,“分割(大化小), 近似代替, 求和, 取極限”,解決方法:,質(zhì)量 M .,密度函數(shù)為,5,定義. 設(shè),存在,稱為體積元素,若對(duì) 作任意分割:,任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù),在上的三重積分.,在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作,下列“乘,積和式” 極限,我們也可以用,語(yǔ)言描述該定義.(P243),6,注意:,三重積分與二重積分有相似的性質(zhì)及存在定理.(略!),例如,中值定理:,在有界閉域 上連續(xù),則存在,使得,V 為 的,體積,由定義可知,引例中物體的質(zhì)量為:,若在,那么,的體積為V.,7,二、化三重積分為累次積分,定理21.15,二重積分,存在 ,其中D= c, d x e, h ,則

3、積分,假設(shè)函數(shù),在長(zhǎng)方體,上的三重積分存在,且對(duì)任何,也存在, 且,V = a, b x c, d x e, h ,8,1）. 投影法 (“先一后二” ),一般區(qū)域上三重積分的計(jì)算法:(直角坐標(biāo)系下),9,2）. 截面法 (“先二后一”),10,若區(qū)域,則:,3）. 三次積分法,11,小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù),三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.,方法3. “三次積分”,12,其中 為三個(gè)坐標(biāo),例1. 計(jì)算三重積分,所圍成的閉區(qū)域 .（補(bǔ)充）,解:,面及平面,13,例2. (補(bǔ)充)計(jì)算,解:,用

4、“先二后一 ”,14,其中V 為x=1, x=2,例3. 計(jì)算三重積分,所圍成的閉區(qū)域 .（P246 例1）,解:,z=0, y=x與,15,三、 三重積分的換元法,三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:,對(duì)應(yīng)雅可比行列式為,經(jīng)常使用的是柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。即：,1、柱面坐標(biāo)變換,2、球面坐標(biāo)變換,分別介紹如下。,16,1、柱面坐標(biāo)系,就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:,坐標(biāo)面分別為,圓柱面,半平面,平面,17,如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為,因此,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;,2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,18,其

5、中為由,例4. 計(jì)算三重積分,所圍,解: 在柱面坐標(biāo)系下,及平面,柱面,成半圓柱體.（補(bǔ)充）,19,例5. 計(jì)算三重積分,解: 在柱面坐標(biāo)系下,所圍成 .,與平面,其中由拋物面,原式 =,20,2. 球坐標(biāo)變換,就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,坐標(biāo)面分別為,21,如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為,因此有,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;,2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,22,例6. 計(jì)算三重積分,解: 在球面坐標(biāo)系下,所圍立體.,其中,與球面,23,例7.求曲面,所圍立體體積.,解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對(duì)

6、稱性, 所求立體體積為,yoz面對(duì)稱, 并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為,且關(guān)于 xoz,24,例8（P250 例5）,求,其中，V由,解：,采用廣義球坐標(biāo)變換,與,圍成。,25,例9（P246 例2）,求,其中，V是橢球體,解：解法1 參見(jiàn)教材-采用直角坐標(biāo)，先二后一， 要用到橢圓面積計(jì)算公式。,解法2 廣義球坐標(biāo)變換,26,內(nèi)容小結(jié),積分區(qū)域多由坐標(biāo)面,被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或,變量可分離.,圍成 ;,所以,=,由此可見(jiàn)，采用坐標(biāo)變換，簡(jiǎn)化了計(jì)算。,27,1. 將,用三次積分表示,其中由,所,提示:,思考與練習(xí),六個(gè)平面,圍成 ,28,2. 設(shè),計(jì)算,提示: 利用對(duì)稱性,原式 =,

7、奇函數(shù),29,3. 設(shè)由錐面,和球面,所圍成 , 計(jì)算,提示:,利用對(duì)稱性,用球坐標(biāo),30,作業(yè),P106 1(1),(3); 2（2）; 3（1）; 4（1）; 5; 7 (1);,31,備用題 1. 計(jì)算,所圍成.,其中 由,分析：若用“先二后一”, 則有,計(jì)算較繁!,采用“三次積分”較好.,32,所圍,故可,思考: 若被積函數(shù)為 f ( y ) 時(shí), 如何計(jì)算簡(jiǎn)便?,表為,解:,33,2. 計(jì)算,其中,解:,利用對(duì)稱性,34,3.計(jì)算,解法1柱坐標(biāo),解法2(球坐標(biāo)),35,解法4：(先二后一),解法3：直角坐標(biāo)系下(先一后二),36,解法1:,所圍成的立體如圖，,37,所圍成立體的投影區(qū)域如圖，,38,39,解法2:,解法3:,40,5. 計(jì)算三重積分,解法1: 在柱面坐標(biāo)系下,所圍成 .,與平面,其中由拋物面,原式 =,(先一后二),41,解法2: (先二后一),42,6. 求由圓柱面,四圍成的物體的質(zhì)量. 物體的密度為,解:,43,7. 計(jì)算,及拋物面,所圍成的區(qū)域.,解法1:采用先對(duì),積分,將,44,解法2.采用先對(duì),積分,將,45,