1、空間解析幾何,數(shù)量關(guān)系 ,第一部分 向量代數(shù),第二部分 空間曲面和曲線,在幾何空間中:,空間對(duì)象 點(diǎn), 線, 面,基本工具 ：向量代數(shù),坐標(biāo),方程組,目錄,方程,1,向量及其線性運(yùn)算,2,向量的內(nèi)積 外積與混合積,4,空間曲線及其方程,5,平面及其方程,6,空間直線方程,目錄,3,曲面及其方程,1,向量概念,2,向量的線性運(yùn)算,4,利用坐標(biāo)作向量運(yùn)算,5,向量的模與方向角,第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算,3,空間直角坐標(biāo)系,向量：,既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。,向量表示：,模長(zhǎng)為1的向量.,模長(zhǎng)為0 的向量.,向量的模：,向量的大小.,或,或,一、向量的概念,1、概念,單位向量

2、：,零向量:,一、向量的概念,1、概念,自由向量：,與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量，可平行移動(dòng).,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,負(fù)向量：,大小相等但方向相反的向量.,向徑：,空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)M與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.,一、向量的概念,2、兩非零向量的關(guān)系,相等：,大小相等且方向相同的向量.,平行或共線：,方向相同或相反的兩個(gè)非零向量.,垂直：,方向成90夾角的兩個(gè)非零向量.,注意：,由于零向量的方向可以看成任意的，故可以認(rèn)為零向量與任何向量都平行或垂直。,一、向量的概念,2、兩非零向量的關(guān)系,共面：,把若干個(gè)向量的起點(diǎn)放到一起，若它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在同一平面上，則稱這些向量共面.,1、向量的加減

3、法,二、向量的線性運(yùn)算, 加法：,（平行四邊形法則）,特殊地：若,分為同向和反向,（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）,向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：,交換律：,結(jié)合律：,加負(fù)律：,(2) 減法,二、向量的線性運(yùn)算,2、向量與數(shù)的乘法,二、向量的線性運(yùn)算, 定義：,數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,結(jié)合律：,分配律：,向量的加法及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。,例1 化簡(jiǎn),解,二、向量的線性運(yùn)算,例2 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.,證,結(jié)論得證.,按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，,向量單位化：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.,二、向量的線性運(yùn)算,(

4、2)單位向量的表示,(3) 兩個(gè)向量的平行關(guān)系（共線定理）,二、向量的線性運(yùn)算,證:,充分性顯然；,下面證明必要性,兩式相減，得,證畢,注：此定理是建立數(shù)軸和坐標(biāo)的理論依據(jù).,二、向量的線性運(yùn)算,三、空間直角坐標(biāo)系,1、坐標(biāo)系的構(gòu)成,坐標(biāo)原點(diǎn)：定點(diǎn)O 坐標(biāo)軸：以O(shè)為原點(diǎn)的三條相互垂直的數(shù)軸 橫軸( 軸)、縱軸( 軸)、豎軸( 軸),三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向要符合右手系： 以右手握住 軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從 正向 軸以 角度轉(zhuǎn)向正向 軸時(shí)， 大拇指的指向是 軸的正向.,橫軸,縱軸,豎軸,這三條坐標(biāo)軸就構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，記為Oxyz.,面,面,面,空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限,三、空間直角坐標(biāo)系,

5、2、點(diǎn)、向量與坐標(biāo),三、空間直角坐標(biāo)系,設(shè) 是以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)，M為終點(diǎn)的向量，,在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條軸的正方向分別取三個(gè)單位向量 稱為基本單位向量.,稱有序數(shù)組 為向量 或點(diǎn)M的坐標(biāo)，簡(jiǎn)記為 或 .,加法,1、向量的加減法與數(shù)乘,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,減法,數(shù)乘,2、平行向量的坐標(biāo)表示式,若某個(gè)分母為0，則相應(yīng)的分子也為0,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,解,例3 求解以向量為未知元的線性方程組,解二元一次方程組，易得,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,例4 已知兩點(diǎn)A(x1,y1,z1) 和B (x2,y2,z2) 以及實(shí)數(shù) -1，在直線AB上求點(diǎn)M，使,解,注意： 點(diǎn)的坐標(biāo)是

6、向徑的坐標(biāo)， 向量的坐標(biāo)是端點(diǎn)坐標(biāo)之差。,由題意知：,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,向量的模:,1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式:,五、向量的模、方向角、投影,按勾股定理可得,五、向量的模、方向角、投影,兩點(diǎn)間的距離公式:,五、向量的模、方向角、投影,解,原結(jié)論成立.,五、向量的模、方向角、投影,解,解,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,所求點(diǎn)為,五、向量的模、方向角、投影,2、方向角與方向余弦,五、向量的模、方向角、投影,空間兩向量的夾角的概念:,類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.,特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與 之間任意取值.,非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角稱為方向角.,五、

7、向量的模、方向角、投影,方向角,顯然有,方向余弦,由圖分析可知,方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.,向量的方向余弦,方向余弦的特征,特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟?五、向量的模、方向角、投影,例8 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 計(jì)算,解,解,五、向量的模、方向角、投影,五、向量的模、方向角、投影,3、向量在軸上的投影,向量在軸上的投影是 數(shù),五、向量的模、方向角、投影,向量在三坐標(biāo)軸上的投影,向量投影的性質(zhì),解,五、向量的模、方向角、投影,一、向量概念,1、概念,2、兩非零向量的關(guān)系,二、向量的線性運(yùn)算,1、向量的加減法,2、向量與數(shù)的乘法,三、空間直角坐標(biāo)系,1、坐標(biāo)系的構(gòu)成,

8、2、點(diǎn)、向量與坐標(biāo),四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,1、向量的加減法與數(shù)乘,2、平行向量的坐標(biāo)表示,五、向量的模,方向角,投影,1、模與距離公式,2、方向角與方向余弦,3、向量在軸上的投影,六、小結(jié),1,向量的內(nèi)積,2,向量的外積,第二節(jié)向量的內(nèi)積 外積與混合積,3,向量的混合積,一、向量的內(nèi)積,其中 表示 與 的夾角.,啟示,實(shí)例,兩向量作這樣的運(yùn)算可以得到一個(gè)數(shù)量.,一、向量的內(nèi)積,記為 .,為 與 的內(nèi)積、點(diǎn)積或數(shù)量積，記作 或 ,其中 為向量 與 的夾角，,定義,設(shè) 和 是兩個(gè)向量，則稱,即,注 兩向量的內(nèi)積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.,內(nèi)積的性質(zhì)：,證

9、,證,一、向量的內(nèi)積,內(nèi)積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,(1) 交換律：,(2) 分配律：,若 、 為數(shù)，則,一、向量的內(nèi)積,內(nèi)積的坐標(biāo)表達(dá)式,一、向量的內(nèi)積,設(shè)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中， 為基本單位向量，,兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,由此可知兩向量垂直的充要條件：,一、向量的內(nèi)積,解,一、向量的內(nèi)積,證,一、向量的內(nèi)積,二、向量的外積,啟示,實(shí)例,兩向量作這樣的運(yùn)算可以得到一個(gè)向量.,二、向量的外積,定義,設(shè) 和 是兩個(gè)向量，若向量 滿足：,則稱 為 與 的外積、叉積或向量積，記作 .,特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)是零向量時(shí)，規(guī)定 .,外積的性質(zhì)：,二、向量的外積,證,/,/,(3),外積符合下列運(yùn)算

10、規(guī)律：,(1),(2) 分配律：,二、向量的外積,外積的坐標(biāo)表達(dá)式,二、向量的外積,設(shè)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中， 為基本單位向量，,還可用三階行列式表示,由上式也可推出,二、向量的外積,解,二、向量的外積,二、向量的外積,解,三角形ABC的面積為,例4,解,二、向量的外積,三、向量的混合積,定義,設(shè) 是三個(gè)向量，則稱數(shù)量積 為 向量 的混合積，記作 或 .,三、向量的混合積,設(shè)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中， 為基本單位向量，,混合積的坐標(biāo)表達(dá)式,混合積的性質(zhì)：,三、向量的混合積,的絕對(duì)值表示以向量 為棱的平行六面體的體積.,若 組成右手系（如上圖），則,解,例6,三、向量的混合積,解,三、向量

11、的混合積,式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.,三、向量的混合積,例 8 已知向量 , , ,解,(1) 求證,(2) 當(dāng) 與 的夾角 為何值時(shí)ADB 的面積最大?,(1),三、向量的混合積,(2),當(dāng) , 即 或 時(shí), ADB 的面積最大.,三、向量的混合積,幾何關(guān)系,向量的 代數(shù)運(yùn)算,坐標(biāo)關(guān)系,設(shè)三個(gè)非零向量,向量代數(shù)的意義,1,平面的點(diǎn)法式方程,2,平面的一般方程,第三節(jié)平面及其方程,3,兩平面的夾角,4,點(diǎn)到平面的距離,取定三維空間中的一個(gè)直角坐標(biāo)系，如果空間中的幾何圖形 S 與三元方程 F( x, y, z ) = 0 具有下述關(guān)系：,(1) 圖形 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方

12、程，,則 F( x, y, z ) = 0 叫作 S 的方程,S 叫作方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.,(2) 所有坐標(biāo)滿足此方程的點(diǎn)都在圖形 S 上,圖形及其方程,一、平面的點(diǎn)法式方程,則必有 ，從而,設(shè)平面通過(guò)點(diǎn) ，并且垂直于非零向量 ，下面建立平面的方程.,設(shè)平面上的任一點(diǎn)為 ，,稱垂直于平面的非零向量 為該平面的法向量,平面的點(diǎn)法式方程,由于,因此,解,取,所求平面方程為,化簡(jiǎn)得,一、平面的點(diǎn)法式方程,取法向量,化簡(jiǎn)得,所求平面方程為,解,二平面的法向量分別為,一、平面的點(diǎn)法式方程,二、平面的一般方程,由平面的點(diǎn)法式方程,平面的 一般方程,法向量,（三元一次方程）,二、

13、平面的一般方程,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).,二、平面的一般方程,平面通過(guò)x軸；,平面平行于x軸.,類似地可討論：,平面平行于 或通過(guò)y軸；,平面平行于 或通過(guò)z軸.,二、平面的一般方程,平面平行于xOy坐標(biāo)平面.,類似地可討論：,平面平行于yOz坐標(biāo)面.,平面平行于zOx坐標(biāo)面；,（常數(shù)）,二、平面的一般方程,令,代入,可得,平面的 截距式方程,二、平面的一般方程,設(shè) 是空間中 不在同一直線上的三點(diǎn)，則可以建立過(guò)這三點(diǎn) 的平面方程：,則向量 共面，從而混合積,設(shè)平面上的任一點(diǎn)為 ，,平面的 三點(diǎn)式方程,即,二、平面的一般方程,設(shè)此平面方程為,由平面過(guò)原點(diǎn)知 .,故所求平面

14、方程為,解,例3,法向量,三、兩平面的夾角,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角. 通常規(guī)定平面夾角為銳角，即 .,定義,三、兩平面的夾角,按照兩向量夾角余弦公式有,兩平面位置特征：,/,兩平面夾角余弦公式,例4,解,故夾角,三、兩平面的夾角,例5 一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1(1,1,1)和M2(0,1,1)， 且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.,解 設(shè)所求平面為：A(x1)+B(y1)+C(z1)=0,三、兩平面的夾角,例5 一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1(1,1,1)和M2(0,1,1)， 且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.,三、兩平面的夾角,四、點(diǎn)到平面的距離,設(shè) 是平面 外一點(diǎn)， 點(diǎn) 到平面

15、 的距離為d，則,四、點(diǎn)到平面的距離,由,可得,點(diǎn)到平面距離公式,1.平面的方程,（熟記平面的幾種特殊位置的方程）,2.兩平面的夾角.,3.點(diǎn)到平面的距離公式.,點(diǎn)法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意兩平面的位置特征）,五、小結(jié),三點(diǎn)式方程.,思考題,兩平面平行,兩平面重合.,解,解,設(shè)平面為,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,化簡(jiǎn)得,令,所求平面方程為,1,空間直線的一般方程,2,直線的對(duì)稱方程與參數(shù)方程,第四節(jié)空間直線方程,3,兩直線的夾角,4,直線與平面的夾角,5,6,7,點(diǎn)到直線的距離,異面直線間的距離,平面束方程,一、空間直線的一般方程,定義,空間直線可

16、看成兩平面的交線,空間直線 的一般方程,直線L的方程為,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.,二、空間直線的對(duì)稱式與參數(shù)方程,則必有 ，從而,設(shè)直線L通過(guò)點(diǎn) ，并且平行于非零向量 ，下面建立直線L的方程.,設(shè)直線上的任一點(diǎn)為 ，,稱平行于直線的非零向量 為該直線的方向向量,直線的 點(diǎn)向式方程或?qū)ΨQ式方程,由于,因此,二、空間直線的對(duì)稱式與參數(shù)方程,注,在直線的點(diǎn)向式方程中某些分母為零時(shí),即平行于z軸的直線；,表示,即平行于yOz面（在平面x=2上）的直線.,其分子也應(yīng)理解為零.,例如,表示,而,二、空間直線的對(duì)稱式與參數(shù)方程,令,直線的 參數(shù)方程,可得,已知直線的點(diǎn)向式方程,解,故可取直線的方向

17、向量,因此所求直線方程為,例1 一直線過(guò)點(diǎn),，且與直線,平行，求其方程.,依題意,所求直線與已知直線平行,已知直線的方向向量為,二、空間直線的對(duì)稱式與參數(shù)方程,解 取已知平面的法向量,則直線的對(duì)稱式方程為,垂直的直線方程.,為所求直線的方向向量.,例2 求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面,二、空間直線的對(duì)稱式與參數(shù)方程,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,二、空間直線的對(duì)稱式與參數(shù)方程,例4 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線：,解,在直線上任取一點(diǎn),取,解得,點(diǎn)坐標(biāo),二、空間直線的對(duì)稱式與參數(shù)方程,因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對(duì)稱式方程,參數(shù)方程,二、空間直線的

18、對(duì)稱式與參數(shù)方程,三、兩直線的夾角,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角. 通常規(guī)定直線夾角為銳角，即 .,三、兩直線的夾角,按照兩向量夾角余弦公式有,兩條直線位置特征：,兩直線夾角余弦公式,/,三、兩直線的夾角,四、平面與直線的夾角,定義,直線與其在平面上的投影直線的夾角稱為 直線與平面的夾角.,此夾角也為銳角，即 .,四、平面與直線的夾角,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置特征：,/,按照兩向量夾角余弦公式有,解,為所求夾角,四、平面與直線的夾角,解,先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令,四、平面與直線的夾角,代入平面方程得 ,交點(diǎn),

19、取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,四、平面與直線的夾角,五、點(diǎn)到直線的距離,設(shè) 是過(guò)點(diǎn) 的一 條直線，直線L外一點(diǎn) 到直線L的距離 為d，則,六、異面直線間的距離,和 分別是 和 的 方向向量，,則 和 之間的距離,設(shè)有兩條異面直線 和,七、平面束方程,定義,通過(guò)給定直線的所有平面的全體稱為平面束.,設(shè)直線L的方程為,則通過(guò)直線L的平面束方程為,表示除了平面 之外的平面束中的 任一平面.,當(dāng) 時(shí)，即,七、平面束方程,例7,已知直線,求L在平面 上的投影方程.,解,直線L在平面 上的投影即是過(guò)L且垂直于 的平面 與 的交線.,設(shè)通過(guò)直線L的平面束方程為,整理得,其中 是待定系數(shù). 要使 ，

20、即,解得 .,七、平面束方程,即當(dāng) 時(shí)，平面束方程表示平面 ，,代入平面束方程得 ，即,所以直線L在平面 上的投影方程為,一、空間直線方程,一般式,對(duì)稱式,參數(shù)式,八、小結(jié),直線,二、線與線的關(guān)系,直線,夾角公式:,五、小結(jié),平面 :,L,L / ,夾角公式：,三、面與線間的關(guān)系,直線 L :,五、小結(jié),思考題,思考題解答,且有,故當(dāng) 時(shí)結(jié)論成立,1,曲面方程的概念,2,旋轉(zhuǎn)曲面,第五節(jié)曲面及其方程,3,柱面,4,二次曲面,求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的,化簡(jiǎn)得,即,說(shuō)明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.,引例:,顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此

21、平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.,解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為,軌跡方程.,一、曲面方程的概念,定義1,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:,(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.,兩個(gè)基本問(wèn)題 :,(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀,( 必要時(shí)需作圖 ).,一、曲面方程的概念,故所求方程為,例1 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)

22、時(shí),球面方程為,解 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為,即,依題意,距離為 R 的軌跡方程,表示上(下)球面 .,一、曲面方程的概念,例2 研究方程,解 配方得,此方程表示:,說(shuō)明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通過(guò)配方研究它的圖形.,表示怎樣曲面,半徑為,的球面.,球心為,一、曲面方程的概念,定義2 一條平面曲線,繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn),一周,所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.,該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.,例如 :,二、旋轉(zhuǎn)曲面,該定曲線稱為母線.,建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為,當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn),給定 yoz 面上曲線 C:,則有,則有,該點(diǎn)轉(zhuǎn)到,二、旋轉(zhuǎn)曲

23、面,思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？,二、旋轉(zhuǎn)曲面,例3 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z軸, 半頂角為,的圓錐面方程.,解: 在yoz面上直線L 的方程為,繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為,兩邊平方,二、旋轉(zhuǎn)曲面,例4 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線,分別繞 x,軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.,解 繞 x 軸旋轉(zhuǎn),繞 z 軸旋轉(zhuǎn),這兩種曲面都叫作旋轉(zhuǎn)雙曲面.,所成曲面方程為,所成曲面方程為,二、旋轉(zhuǎn)曲面,單葉,雙葉,引例. 分析方程,表示怎樣的曲面 .,的坐標(biāo)也滿足方程,解:在 xoy 面上，,表示圓C,沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓,故在空間,過(guò)此點(diǎn)作

24、,柱面.,對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面,在圓C上任取一點(diǎn),其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,三、柱面,定義3,平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成,的軌跡叫做柱面.,表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;,準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線.,z 軸的橢圓柱面.,z 軸的平面.,表示母線平行于,(且 z 軸在平面上),表示母線平行于,C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.,三、柱面,一般地,在三維空間,柱面,柱面,平行于 x 軸;,平行于 y 軸;,平行于 z 軸;,準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.,母線,柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.,母線,準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2.,

25、母線,三、柱面,三元二次方程,適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅,就幾種常見(jiàn)標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ),四、二次曲面,1. 橢球面,(1)范圍：,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,四、二次曲面,與,的交線為橢圓：,(4) 當(dāng) ab 時(shí),同樣,的截痕,及,也為橢圓.,當(dāng)abc時(shí),(3) 截痕:,為正數(shù)),四、二次曲面,為旋轉(zhuǎn)橢球面;,為球面.,2.拋物面,(1) 橢圓拋物面,( p , q 同號(hào)),(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）,特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞

26、z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.,( p , q 同號(hào)),四、二次曲面,拋物線,所有拋物線的頂點(diǎn)也組成一條拋物線.,p, q同正,p, q同負(fù),3. 雙曲面,(1)單葉雙曲面,橢圓.,時(shí), 截痕為,(實(shí)軸平行于x 軸；,虛軸平行于z 軸）,平面,上的截痕情況:,雙曲線:,四、二次曲面,虛軸平行于x 軸）,時(shí), 截痕為,時(shí), 截痕為,(實(shí)軸平行于z 軸;,相交直線:,雙曲線:,四、二次曲面,(2) 雙葉雙曲面,雙曲線,橢圓,注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:,雙曲線,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,四、二次曲面,4. 橢圓錐面,橢圓,在平面 x0 或 y0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線 .,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原

27、點(diǎn)的連線均在曲面上.,四、二次曲面,1. 空間曲面,三元方程,球面,旋轉(zhuǎn)曲面,如, 曲線,繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:,柱面,如,曲面,表示母線平行 z 軸的柱面.,又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .,五、內(nèi)容小結(jié),2. 二次曲面,三元二次方程,橢球面,拋物面:,橢圓拋物面,雙曲拋物面,雙曲面:,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,橢圓錐面:,五、內(nèi)容小結(jié),斜率為1的直線,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方 程,平行于 y 軸的直線,平行于 yoz 面的平面,圓心在(0,0),半徑為 3 的圓,以 z 軸為中心軸的 圓柱面,平行于 z 軸的平面,1. 指出下列方程的圖形:,六、思考,1,空間曲線的一般方程,2,空間曲線