1、第四章 能帶理論,前面討論了固體直接與離子實有關(guān)的問題，例如晶體結(jié)構(gòu)，結(jié)合能，振動等，但固體中許多現(xiàn)象與性質(zhì)主要與電子有關(guān)。 本章的主要內(nèi)容就是用量子力學解釋(能帶論)與電子運動規(guī)律相關(guān)的問題。,本章的內(nèi)容及要求： （1）熟練掌握自由電子模型和緊束縛近似的方法； （2）基本掌握布洛赫定理，周期性邊界條件； （3）基本掌握一、二、三維的態(tài)密度、能態(tài)密度， 費米面的計算； （4）了解一維周期場中電子運動的近自由電子近似 方法、能隙的計算； （5）了解束縛近似原子軌道線性組合法的近似 方法、能帶的計算。,3、能帶論提供了分析半導體理論問題的基礎(chǔ)，推動了半 導體技術(shù)的發(fā)展,1、能帶理論的研究是從金屬理

2、論發(fā)展來的，把電子氣 當作自由氣體，它能解決歐姆定律問題。,2、第一次說明了固體為什么有導體、半導體和絕緣體之 分,能帶論 用單電子近似來研究晶體中電子能量狀態(tài)的 理論，它是研究電子運動的主要理論基礎(chǔ),能帶論只是一個近似理論，它的假設(shè)前提是： 1、絕熱近似 把離子實與價電子分開討論，離子實的運動相對 于電子運動可以忽略或固定不動，離子實給電子提 供一個固定的周期性勢場。 2、單電子近似 假定每個電子運動都是獨立的，把多電子問題看 成單電子問題。,共有化電子的運動狀態(tài) 假定離子實處在其平衡位置，把每個電子的運動看成是獨立的在一個等效勢場中的運動，把離子實偏離平衡位置的影響看成微擾。,理想晶體 晶

3、格具有周期性，等效勢場V(r)具有周期性,能帶論的出發(fā)點是固體中的電子不再束縛于個別原子， 而是在整個固體內(nèi)運動（越過勢壘，任意運動） 。 _共有化運動,能帶論的核心問題是求解一個在周期勢場中的單電子 問題，基本方程：,波動方程,晶格周期性勢場,4.1 布洛赫定理和布洛赫波, 方程的解具有以下性質(zhì), 布洛赫定理,為一矢量,當平移晶格矢量,波函數(shù)只增加了位相因子,布洛赫定理 勢場 具有晶格周期性時，電子的波函數(shù)滿足薛定諤方程,當波函數(shù)具有如下形式：, 晶格周期性函數(shù), 布洛赫函數(shù),滿足布洛赫定理：,近（準）自由電子模型 若電子的能量超過勢壘，則電子可以相當自由的在整個固體內(nèi)運動，近似于自由電子的

4、運動，該模型稱為準自由電子近似。 我們采用量子力學的微擾理論，即以自由電子的波函數(shù)作為零級近似的波函數(shù)，而把周期場作為微擾。,4.2 一維周期場中電子運動的近自由電子近似,1. 模型和微擾計算,近自由電子近似模型 金屬中電子受到原子 實周期性勢場的作用 假定勢場的起伏較小,零級近似：,周期性勢場的起伏量作為微擾來處理,1）零級近似下電子的能量和波函數(shù), 空格子中電子的能量和波函數(shù),一維N個原子組成的金屬，金屬的線度,零級近似下,薛定諤方程,波函數(shù)和能量本征值,波函數(shù)滿足正交歸一化, l 為整數(shù),2）微擾下電子的能量本征值,哈密頓量,滿足周期邊界條件,根據(jù)微擾理論，電子的能量本征值,一級能量修正

5、,二級能量修正, 按原胞劃分寫成, 引入積分變量,利用勢場函數(shù)的周期性,i),ii),將 和 代入, 周期場V(x)的第n個傅里葉系數(shù),二級能量修正式,計入微擾后電子的能量,3）微擾下電子的波函數(shù),電子的波函數(shù),波函數(shù)的一級修正,計入微擾電子的波函數(shù),令,可以證明,電子波函數(shù), 具有布洛赫函數(shù)形式, 電子波函數(shù)的意義,電子波函數(shù)和散射波, 波矢為k的前進的平面波, 平面波受到周期性勢場作用產(chǎn)生的散射波,散射波的波矢,相關(guān)散射波成份的振幅,當相鄰原子的散射波有相同的位相,即分母為0時：,散射波,散射波成份的振幅,波函數(shù)一級修正項, 微擾法不再適用了, 電子能量的意義,二級能量修正,當, 電子的能

6、量是發(fā)散的,k和k兩個狀態(tài)具有相同的能量，k和k態(tài)是簡并的,4）電子波矢在 附近的能量和波函數(shù),簡并微擾問題中，波函數(shù)由簡并波函數(shù)線性組合構(gòu)成,狀態(tài), 是一個小量,周期性勢場中，對其有主要影響的狀態(tài), 只考慮影響最大的狀態(tài)，忽略其它狀態(tài)的影響,狀態(tài) 對狀態(tài) 的影響,簡并波函數(shù),薛定諤方程,考慮到,得到,分別以 或 從左邊乘方程，對 x 積分,利用,線性代數(shù)方程,a, b有非零解,波函數(shù)滿足正交歸一化,i),波矢k離 較遠，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大,將 按 泰勒級數(shù)展開,能量本征值, k和k能級相互作用的結(jié)果是原來能級較高的k提高原來能級較低的k下降了, 量子力學中微擾作用下，兩個相互影響的

7、能級，總是原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了, 能級間“排斥作用”,ii),波矢k非常接近 ，k狀態(tài)的能量和k能量差別很小,將 按 泰勒級數(shù)展開,結(jié)果分析,i) 兩個相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-，原來能量高的狀態(tài) ，能量提高；原來能量低的狀態(tài) 能量降低,兩個相互影響的狀態(tài)k和k微擾后，能量變?yōu)镋+和E-,ii) 當 0 時, 0, 0 兩種情形下完全對稱的能級圖, A和C、B和D代表同一狀態(tài)，因為它們從0, 0兩個方向當0的共同極限,2. 能帶和帶隙（禁帶）, 零級近似下，將電子看作是自由粒子，能量本征值曲線為拋物線, 微擾情形下：電子的k不在n/a附近時，與k狀態(tài)相

8、互作用的其它態(tài)的能量與k狀態(tài)的零級能量相差大,即滿足, k狀態(tài)不計二級能量修正, 拋物線,當電子的, 微擾計算中，只考慮以上兩種狀態(tài)之間的相互作用,存在一個的態(tài) ，和 狀態(tài)能量相同,由于周期性勢場的微擾，能量本征值在 處斷開,能量的突變,兩個態(tài)的能量間隔, 禁帶寬度,電子波矢取值, 對于一個l，有一個量子態(tài)k,能量本征值, 當N很大時，Ek視為準連續(xù), 由于晶格周期性勢場的影響，晶體中電子準連續(xù)的能級分裂為一系列的能帶,能量本征值在 處斷開, 結(jié)果分析討論,1) 能帶底部，能量向上彎曲；能帶頂部，能量向下彎曲,2) 禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點處,3) 禁帶的寬度, 取決于金屬中勢場的形式,

9、 能帶及一般性質(zhì),自由電子的能譜是拋物線型, 晶體弱周期性勢場的微擾，電子能譜在布里淵邊界,產(chǎn)生了寬度 的禁帶, 發(fā)生能量躍變,在遠離布里淵區(qū)邊界，近自由電子的能譜和自由電子的能譜相近, 每個波矢k有一個量子態(tài)，當晶體中原胞的數(shù)目趨于無限大時，波矢k變得非常密集，這時能級的準連續(xù)分布形成了一系列的能帶, 各能帶之間是禁帶, 在完整的晶體中，禁帶內(nèi)沒有允許的能級, 一維布喇菲格子，能帶序號、能帶所涉及波矢k的范圍和布里淵區(qū)的對應(yīng)關(guān)系,一維布喇菲格子，能帶序號、波矢k和布里淵區(qū)對應(yīng)關(guān)系, 每個能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目,各個能帶k的取值數(shù)目, 原胞的數(shù)目, 計入自旋，每個能帶中包含2N個量子態(tài), 電子

10、波矢和簡約波矢的關(guān)系, 第一布里淵區(qū),近自由電子中電子的波矢,在一維情形中 m為整數(shù),簡約波矢 的取值范圍,簡約波矢，計為 和電子波矢k之間的關(guān)系, l 為整數(shù), 用簡約波矢來表示能級, 電子的能級, m為整數(shù)，對應(yīng)于不同的能帶,第一能帶位于簡約布里淵區(qū)，其它能帶可以通過倒格矢,移到簡約布里淵區(qū),每一個能帶在簡約布里淵區(qū)都有各自的圖像，得到所有能帶在簡約布里淵區(qū)的圖像, 簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū)，要標志一個狀態(tài)需要表明： 1)它屬于哪一個能帶（能帶標號） 2)它的簡約波矢 是什么？,電子波矢k和簡約波矢 的關(guān)系,周期性勢場的起伏只使得不同能帶相同簡約波矢 的狀態(tài)之間的相互影響, 對于一般的 （遠離布里淵邊界）