1、,解排列組合問題的十七種常用策略,2.掌握解決排列組合問題的常用策略;能運 用解題策略解決簡單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問題分析問題的能力,3.學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問題.,教學(xué)目標(biāo),1.進一步理解和應(yīng)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理。,完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有 m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2 種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方法,復(fù)習(xí)鞏固,1.分類計數(shù)原理(加法原理),完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有： 種不同的方

2、法,2.分步計數(shù)原理（乘法原理）,分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件,3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別,分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。,解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:,1.認真審題弄清要做什么事,2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還 是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多 少步及多少類。,3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是 組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多 少個元素.,解決排列組合綜合性問題，往往類與步交 叉，因此必須掌握一些常用的解題策略,一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略,例1.由0,1,

3、2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù).,解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安 排,以免不合要求的元素占了這兩個位置,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件,7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？,練習(xí)題,二.相鄰元素捆綁策略,例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁

4、相 鄰, 共有多少種不同的排法.,解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成 一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個 復(fù)合元素，再與其它元素進行排列， 同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。,要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用 捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并 為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時 要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.,某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為（ ）,練習(xí)題,20,三.不相鄰問題插空策略,例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個 獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出 場順序有多少種？,解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共 有 種，

5、,元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端,某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ）,練習(xí)題,四.定序問題倍縮空位插入策略,例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多 少不同的排法,解:,(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列 問題,可先把這幾個元素與其他元素一起 進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元 素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù) 是：,（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有 種方法，其余的三個 位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種

6、 方法,1,思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?,（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法,4*5*6*7,定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插 空模型處理,練習(xí)題,10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？,五.重排問題求冪策略,例5.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有 多少種不同的分法,解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配 到車間有 種分法.,7,1. 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ）,42,2. 某8層大樓一樓電梯上來

7、8名乘客人,他們 到各自的一層下電梯,下電梯的方法 （ ）,練習(xí)題,六.環(huán)排問題線排策略,例6. 5人圍桌而坐,共有多少種坐法?,解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成 圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從 此位置把圓形展成直線其余4人共有_ 種排法即,（5-1)！,一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有,練習(xí)題,6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈,七.多排問題直排策略,例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.,一般地,元素分成

8、多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.,有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_,346,練習(xí)題,八.排列組合混合問題先選后排策略,例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi), 每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝 法.,解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共 有_種方法.再把5個元素(包含一個復(fù)合 元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_種方法.,根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_,解決排列組合混合問題,先選后排是最基本 的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似 嗎?,練習(xí)題,一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各

9、1人 現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人 完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人 參加,則不同的選法有_ 種,192,九.小集團問題先整體局部策略,例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中恰有兩個偶數(shù)夾1,這兩個奇數(shù)之 間,這樣的五位數(shù)有多少個？,解：把,當(dāng)作一個小集團與排隊 共有_種排法，再排小集團內(nèi)部共有 _種排法，由分步計數(shù)原理共有 _種排法.,小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進行處理。,.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫, 幅油畫,幅國畫, 排成一行陳列,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩 端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_,2. 5男生和女

10、生站成一排照像,男生相鄰,女 生也相鄰的排法有_種,十.元素相同問題隔板策略,例10.有10個運動員名額，在分給7個班，每 班至少一個,有多少種分配方案？,解：因為10個名額沒有差別，把它們排成 一排。相鄰名額之間形成個空隙。,在個空檔中選個位置插個隔板， 可把名額分成份，對應(yīng)地分給個 班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法 共有_種分法。,將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為,練習(xí)題,10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一個，有多少裝法？,十一.正難則反總體淘汰策略,例11.從0,1,2,3,4,5,6,

11、7,8,9這十個數(shù)字中取出三 個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的 取法有多少種？,解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很 困難,可用總體淘汰法。,再淘汰和小于10的偶數(shù)共_,符合條件的取法共有_,5,+,有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.,我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、 副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的 抽法有多少種?,練習(xí)題,十二.平均分組問題除法策略,例12. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？,解: 分三步取書得 種方法,但這里出現(xiàn) 重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF 若第一步取A

12、B,第二步取CD,第三步取EF 該分法記為(AB,CD,EF),則 中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 種取法 ,而 這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共 有 種分法。,平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以 (n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。,1 將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4 個隊, 有多少分法？,2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人 但正副班長不能分在同一組,有多少種不同 的分組方法,（1540）,3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地

13、轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_,十三. 合理分類與分步策略,例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能 能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人 唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?,解：,10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞 3人為全能演員。,本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)： *以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn) *以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn) *以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn) 都可經(jīng)得到正確結(jié)果,解含有約束條件的排列組合問題，可按元素 的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分 步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不 漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦

14、確定要貫穿于解題過程的 始終。,1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_,34,練習(xí)題,2. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2 號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x 2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法.,27,十四.構(gòu)造模型策略,例14. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān) 掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2 盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？,解：把此問題當(dāng)作一個排隊模型在6盞 亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈 有_ 種,一

15、些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊 模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決,練習(xí)題,某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右 兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？,120,十五.實際操作窮舉策略,例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2 3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五 個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,. 有多少投法,解：從5個球中取出2個與盒子對號有_種 還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，,十五.實際操作窮舉策略,例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2 3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個

16、球投入這五 個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,. 有多少投法,解：從5個球中取出2個與盒子對號有_種 還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也 只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有2 種,對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用 公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀 圖會收到意想不到的結(jié)果,練習(xí)題,同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來, 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？,(9),2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則 不同的著色方法有_種,72,十六. 分解與合成策略,例1

17、6. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除,分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=235 7 1113依題 意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個 因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有 的偶因數(shù)為：,例17.正方體的8個頂點可連成多少對異面 直線,解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四 體共有體共_,6,658=174,分解與合成策略是排列組合問題的一種最 基本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾 個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的 結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問 題合成,從而得到問題的答案 ,每個比較復(fù) 雜的問題都要用到這種解題策略,十七.化歸策略,例18. 25人排成55方隊,現(xiàn)從中選3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的 選法有多少種？,解：,將這個問題退化成9人排成33方隊,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，,從55方隊中選取3行3列有_選法 所以從55方隊選不在同一行也不在同 一列的3人有_選法。,處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題,如此繼續(xù)下去.從33方隊中選3人的方法 有