1、湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,1,第4章 微分方程與差分方程,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,2,在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等許多實(shí)際問題中，,系統(tǒng)中的變量間往往可以表示成一個(gè)（組）微分方程,或差分方程，它們是兩類不同的方程，前者處理的量,的離散變量，,間隔時(shí)間周期作為統(tǒng)計(jì)的.,動(dòng)態(tài),是連續(xù)變量；而后者處理的量則是依次取非負(fù)整數(shù)值,例如在經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)據(jù)中就有很多以,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,3,4.1 幾類可降階的高階微分方程,四、 小結(jié),一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,4,下面介紹三類可降階的高階微分方程的解法.,二階和二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高

2、階微分方程.,有些高階微分方程，可以通過自變量或未知函數(shù)的,代換降低階數(shù)，從而求出解來.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,5,一、,令,因此,即,同理可得,依次通過 n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .,型的微分方程,變量代換,則,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,6,例1,解,（此處,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,7,例2 解微分方程,. 解 對(duì)方程兩邊積分得：,再對(duì)以上二階方程積分得,最后對(duì)以上一階方程積分，得通解為,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,8,型的微分方程,設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,二、,則,變量代換,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,9,例3

3、求解,解 令,代入方程，得,分離變量,積分得,利用,于是有,兩端再積分得,利用,因此所求特解為,則,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,10,三、,型的微分方程,令,故方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,變量代換,則,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,11,代入方程得,兩端積分得,(一階線性齊次方程),故所求通解為,解 設(shè),則,例4 求解,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,12,解 令,代入方程，得,積分得,利用初始條件,則,例5 解初值問題,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,13,故所求特解為,積分得,得,根據(jù),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,14,四、小結(jié),可降階微分方程的解法, 降階法,逐次積分,令,令,則,則,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,15,思考與練習(xí),1. 方程,如何代換求解?,答: 令,或,一般說, 用前者方便些.,均可.,有時(shí)用后者方便.,例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?,答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡便.,(2) 遇到開平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).,例5,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)