1、1,第三章 矩陣習(xí)題課,2,一. 主要內(nèi)容,1. 矩陣的定義,簡記為,實(shí)矩陣: 元素是實(shí)數(shù),復(fù)矩陣： 元素是復(fù)數(shù),3,一些特殊的矩陣：,零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、 對(duì)角陣、數(shù)量陣、單位陣,2. 矩陣的基本運(yùn)算,矩陣相等:,同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等,兩個(gè)矩陣同型，且對(duì)應(yīng)元素相等,矩陣加（減）法：兩個(gè)同型矩陣，對(duì)應(yīng)元素相加（減）,加法滿足,4,數(shù)乘滿足,數(shù)與矩陣相乘：,數(shù) 與矩陣 的乘積記作 或 ，規(guī)定為,矩陣與矩陣相乘：,設(shè),規(guī)定,其中,5,乘法滿足,矩陣乘法不滿足：交換律、消去律,6,A是n 階方陣，,方陣的冪：,方陣的多項(xiàng)式：,方陣的行列式：,滿足:,7,轉(zhuǎn)置矩陣:,一些

2、特殊的矩陣:,把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .,滿足：,對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣：,冪等矩陣： 為n階方陣，且,8,伴隨矩陣：,行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所 構(gòu)成的如下矩陣,9,3. 逆矩陣,定義：,唯一性： 若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.,判定定理:,n階方陣A可逆,且,推論：,設(shè)A、B為同階方陣，若,則A、B都可逆，且,10,滿足規(guī)律：,逆矩陣求法：,（1）待定系數(shù)法 （2）伴隨矩陣法 （3）初等變換法,分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似,*4. 分塊矩陣,11,5. 初等變換,對(duì)換變換、倍乘變換、倍加變換,三種初等變換都是可逆的，且

3、其逆變換是同一類型的 初等變換,12,矩陣的等價(jià)：,初等矩陣： 由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣 稱為初等矩陣.,如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B, 就稱矩陣A與矩陣B等價(jià)。記作,三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣：,初等對(duì)換矩陣、初等倍乘矩陣、初等倍加矩陣,6. 初等矩陣,初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。,13,7. 初等矩陣與初等變換的關(guān)系：,初等變換,初等矩陣,初等逆變換,初等逆矩陣,定理：,14,8. 用初等變換法求矩陣的逆矩陣,可逆矩陣可以經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣.,定理：,可逆矩陣可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積,推論1：,推論2：,如果對(duì)可逆矩陣 和同階單位矩

4、陣 作同樣的初等,行變換，那么當(dāng) 變成單位矩陣 時(shí)， 就變成 。,15,即，,16,9. 解矩陣方程的初等變換法,或者,17,矩陣的基本運(yùn)算 方陣的冪 逆矩陣的求解、證明 矩陣方程 矩陣的分塊運(yùn)算,二. 典型例題,1. 矩陣的基本運(yùn)算,分析：根據(jù)乘法定義及矩陣相等定義求,解：設(shè)所求矩陣為,由,得,其中a，b為實(shí)數(shù),18,例2：設(shè),分析：直接計(jì)算困難，可利用逆矩陣的定義先化簡再計(jì)算,解：,19,分析：根據(jù)矩陣加法定義及行列式性質(zhì)求,解：,20,2. 方陣的冪,解： （遞推法）,所以，當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),21,解：,22,又,23,3. 逆矩陣的求解、證明,例6:求A的逆矩陣,解：,24,注意:用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換,25,4. 矩陣方程,注意：解矩陣方程時(shí)，要注意已知矩陣與X的位置關(guān)系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩陣方程，在方程兩邊同時(shí)左乘A的逆，而不能右乘， 因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律。,矩陣方程,解,26,例8:,解：,（用初等變換法）,27,5. 矩陣的分塊