1、滁州學(xué)院國土信息工程系,第八章：測(cè)量誤差基本理論,主講人：錢 如 友 TELEmail：,現(xiàn)代測(cè)量學(xué)課程教案,滁州學(xué)院國土信息工程系,內(nèi)容提要（Outline）,誤差傳播定律,4,滁州學(xué)院國土信息工程系,8-1 測(cè)量誤差的概念,一、測(cè)量誤差的來源,1、儀器精度的局限性,2、觀測(cè)者感官的局限性,3、外界環(huán)境的影響,滁州學(xué)院國土信息工程系,一.產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因,一.產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因,產(chǎn)生測(cè)量誤差的三大因素： 儀器原因 儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。 人的原因 判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗(yàn),等。 外界影響 氣象因素(溫度變化,風(fēng),大氣折光),結(jié)論：觀測(cè)誤差不可避免(粗

2、差除外),有關(guān)名詞： 觀測(cè)條件: 上述三大因素總稱為觀測(cè)條件 等精度觀測(cè):在上述條件基本相同的情況下進(jìn)行的各 次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)。,滁州學(xué)院國土信息工程系,二、測(cè)量誤差的分類與對(duì)策,（一）分類,系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，誤差 出現(xiàn)在符號(hào)和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。,例： 誤差 鋼尺尺長誤差Dk 鋼尺溫度誤差Dt 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C ,處理方法 計(jì)算改正 計(jì)算改正 操作時(shí)抵消(前后視等距) 操作時(shí)抵消(盤左盤右取平均) ,滁州學(xué)院國土信息工程系,二、測(cè)量誤差的分類與對(duì)策,一般可采用下列方法消除或減弱系統(tǒng)誤差影響。,（1）測(cè)量系統(tǒng)誤差大小，并對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行改正。,（2）

3、采用對(duì)稱測(cè)量方法。,（3）檢校儀器。使系統(tǒng)誤差減低到最小，或減弱其影響,滁州學(xué)院國土信息工程系,二、測(cè)量誤差的分類與對(duì)策,（一）分類,偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”,粗差特別大的誤差（錯(cuò)誤）,例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差， 導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差 。,滁州學(xué)院國土信息工程系,（二）處理原則,粗差細(xì)心，多余觀測(cè),系統(tǒng)誤差找出規(guī)律，加以改正,偶然誤差多余觀測(cè)，制定限差,滁州學(xué)院國土信息工程系,如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？,例如： 對(duì)同一量觀測(cè)了n次 觀測(cè)值為 l1,l2,l3,.ln 如何取值？,如何評(píng)價(jià)數(shù)

4、據(jù)的精度？,滁州學(xué)院國土信息工程系,8-2 偶然誤差的特性,1.偶然誤差的定義： 設(shè)某一量的真值為X，對(duì)該量進(jìn)行了n次觀測(cè)， 得n個(gè)觀測(cè)值 ，則產(chǎn)生了n個(gè)真誤 差 ：,(8-1-1),真 誤差,真 值,觀測(cè) 值,滁州學(xué)院國土信息工程系,例如： 對(duì)358個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差i為 i= 180 (i +i+ I) 其結(jié)果如表6-1，圖6-1, 分析三角形內(nèi)角和的誤差I(lǐng)的規(guī)律。,滁州學(xué)院國土信息工程系,-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=,k/d,有限性：偶然誤差應(yīng)小于限值。 漸降性：誤差

5、小的出現(xiàn)的概率大 對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差概率相等,抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增大時(shí)，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。,滁州學(xué)院國土信息工程系,偶然誤差的特性,有限性：在有限次觀測(cè)中，偶然誤差應(yīng)小于限值。 漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大 對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差概率相等 抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增大時(shí)，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。,滁州學(xué)院國土信息工程系,一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（中誤差）,中誤差？,滁州學(xué)院國土信息工程系,8 -3評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn),平均誤差,一、中誤差,滁州學(xué)院國土信息工程系,按觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差,滁州學(xué)院國土信息工程系,正態(tài)分布,滁州學(xué)院國土信息工程系,m1較小, 誤差分布比較集中，觀

6、測(cè)值精度較高； m2較大，誤差分布比較離散，觀測(cè)值精度較低。,兩組觀測(cè)值中誤差圖形的比較：,m1=2.7 m2=3.6,滁州學(xué)院國土信息工程系,但大多數(shù)被觀測(cè)對(duì)象的真值不知，任何評(píng)定觀測(cè)值的精度，即： =？ m=？ 尋找最接近真值的值x,滁州學(xué)院國土信息工程系,集中趨勢(shì)的測(cè)度（最優(yōu)值）,中位數(shù)：設(shè)把n個(gè)觀測(cè)值按大小排列，這時(shí)位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。 眾數(shù)：在n個(gè)數(shù)中，重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。 切尾平均數(shù)：去掉 lmax, lmin以后的平均數(shù)。,算術(shù)平均數(shù)：,滿足最小二乘原則的最優(yōu)解,滁州學(xué)院國土信息工程系,一、算術(shù)平均值：,滿足最小二乘原則的最優(yōu)解,滁州學(xué)院國土信息工程系,證

7、明（x是最或然值）,將上列等式相加，并除以n,得到,滁州學(xué)院國土信息工程系,二、觀測(cè)值的改正值,若被觀測(cè)對(duì)象的真值不知，則取平均數(shù) 為最優(yōu)解x,改正值的特性,定義改正值,似真差,滿足最小二乘原則的最優(yōu)解,最小二乘,滁州學(xué)院國土信息工程系,標(biāo)準(zhǔn)差可按下式計(jì)算,中誤差,滁州學(xué)院國土信息工程系,證明,將上列左右兩式相減，得,滁州學(xué)院國土信息工程系,分別取平方,滁州學(xué)院國土信息工程系,取和,對(duì),代入前式,滁州學(xué)院國土信息工程系,計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差例子,滁州學(xué)院國土信息工程系,小結(jié),一、已知真值X，則真誤差,一、真值不知，則,二、中誤差,二、中誤差,滁州學(xué)院國土信息工程系,相對(duì)中誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)結(jié)

8、果之比，并化為分子為1的分?jǐn)?shù)，即,例 丈量兩段距離，D1=100m，m1=1cm和D2=30m， m2=1cm， 試計(jì)算兩段距離的相對(duì)中誤差。,解,二、相對(duì)中誤差,8.3評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn),滁州學(xué)院國土信息工程系,在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不應(yīng)超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。,或,如果某個(gè)觀測(cè)值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測(cè)。,三、極限誤差,8.3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn),滁州學(xué)院國土信息工程系,8 -4誤差傳播定律,已知：mx1,mx2,mxn 求：my=?,y=?,滁州學(xué)院國土信息工程系,觀測(cè)值函數(shù)的中誤差 誤差傳播定律,二、幾種常用函

9、數(shù)的中誤差,（一）和(差)函數(shù),已知：mx,my, 求：mz=?,二、幾種常用函數(shù)的中誤差,（一）和(差)函數(shù),已知：mx,my, 求：mz=?,和,二、幾種常用函數(shù)的中誤差,（一）和差函數(shù),已知：mx,my, 求：mz=?,和,二、幾種常用函數(shù)的中誤差,（一）和差函數(shù),已知：mx,my, 求：mz=?,二、幾種常用函數(shù)的中誤差,（一）和差函數(shù),已知：mx,my, 求：mz=?,和,二、幾種常用函數(shù)的中誤差,（二）倍乘函數(shù),已知：mx, 求：mz=?,和,平方,二、幾種常用函數(shù)的中誤差,（二）倍乘函數(shù),已知：mx, 求：mz=?,解：,列函數(shù)式,中誤差式,二、幾種常用函數(shù)的中誤差,（三）線性函

10、數(shù),已知：mxi, 求：mz=?,（三）線性函數(shù),特殊,xi為獨(dú)立觀測(cè)值,例6距離誤差,例：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù) 平均值 ； 觀測(cè)值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的中誤 差 ； 算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差 ：,凡是相對(duì)中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。,一般函數(shù)形式的誤差傳播定律： 設(shè)有一般函數(shù): 式中，x1、x2、xn為互相獨(dú)立的觀測(cè)值，相應(yīng)的中誤差分別為mx1、mx2、 mxn；Z是各觀測(cè)值的函數(shù)。經(jīng)推導(dǎo)(教材P150），函數(shù)Z的中誤差計(jì)算式為： 式中， 是函數(shù)Z對(duì)各觀測(cè)值（變量）的偏導(dǎo)數(shù)，它們都是觀測(cè)值的函數(shù)，將觀測(cè)值代入后便都是常數(shù)。 例如，h=Ssin，則,滁州學(xué)院

11、國土信息工程系,中誤差關(guān)系式：,小結(jié) 第一步：寫出函數(shù)式 第二步：寫出全微分式(線性化) 第三步：寫出中誤差關(guān)系式 注意：只有自變量微分之間相互獨(dú)立才可以進(jìn)一步寫出中誤差關(guān)系式。,觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總,滁州學(xué)院國土信息工程系,例: 對(duì)一個(gè)三角形，觀測(cè)了A、B兩個(gè)角： A=642106 8.0 ，B= 7035 40 6.0 。 試求第三個(gè)角C及其中誤差。,C = 45o 03 1410 ,解：由題意可得: A+ B + C=180 于是： C=180 AB = 450314 根據(jù)誤差傳播律，有:,滁州學(xué)院國土信息工程系,關(guān)于誤差傳播定律，要求大家一定掌握“一般形式的函數(shù)中誤差計(jì)算式”，因?yàn)樗恰巴ㄊ健薄?需要指出的是，當(dāng)函數(shù)與觀測(cè)值的量綱不一致時(shí)，應(yīng)注意量綱的統(tǒng)一。例如 函數(shù)h=Ssin，h與的量綱不同，按誤差傳播定律求h的中誤差時(shí)，需進(jìn)行單位換算：