1、01:48:17,概率論,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,數(shù)學是科學的大門和鑰匙., 培根,01:48:17,概率論,概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科，是重要的一個數(shù)學分支。,在生活當中，經(jīng)常會接觸到一些現(xiàn)象： 確定性現(xiàn)象：,在大量重復實驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象。,隨機現(xiàn)象：,在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。,在個別實驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性；,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 在經(jīng)濟、科技、教育、管理和軍事等方面已得到廣泛應用。,課程簡介,01:48:17,概率論,一 隨 機 試 驗 二 事件間的關(guān)系與運算 三 頻 率 與 概 率,1 隨 機 事 件 的 概率,01:48:17,概率論,E1：

2、拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。,這里試驗的含義十分廣泛，它包括各種各樣 的科學實驗，也包括對事物的某一特征的觀察。 其典型的例子有：,1) 隨機試驗,一 、 隨 機 試 驗,E3：觀察某一時間段通過某一路口的車輛數(shù)。,E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。,01:48:17,概率論,這些試驗具有以下特點：,進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)；,每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果。,E4：觀察某一電子元件的壽命。,E5：觀察某地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度。,可以在相同的條件下重復進行；,稱具備上面三個特點的試驗為隨機試驗。,01:48:17,概率論,2)

3、 樣本空間,定義 將隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合 稱為 E 的樣本空間， 記為 S 。樣本空間的 元素，即 E 的每個結(jié)果，稱為樣本點。,S1 : H , T S2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 S3 : 0,1,2,3 S4 : t | t 0 S5 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 ,要求：會寫出隨機試驗的 樣本空間。,01:48:17,概率論,隨機事件 : 稱試驗 E 的樣本空間 S 的子集為 E 的 隨機事件，記作 A, B, C 等等； 基本事件：由一個樣本點組成的單點集； 必然事件 : 樣本空間 S 本身； 不可能事件： 空集。,3) 隨 機

4、事 件,我們稱一個隨機事件發(fā)生當且僅當它所包 含的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)。,01:48:17,概率論,例如：S2 中,事件 A=2,4,6 表示 “出現(xiàn)偶數(shù)點”;,事件 B=1,2,3,4 表示 “出現(xiàn)的點數(shù)不超過4”.,01:48:17,概率論,1) 包含關(guān)系,二 、 事件間的關(guān)系與運算,如果A發(fā)生必導致B發(fā)生，則,2）相等關(guān)系,01:48:17,概率論,3) 和（并）事件,事件 發(fā)生當且僅當,A, B 至少發(fā)生一個 .,4) 積（交）事件,事件 發(fā)生當且僅當 A , B 同時發(fā)生.,01:48:17,概率論,5) 差事件,發(fā)生當且僅當 A 發(fā)生 B 不發(fā)生.,01:48:17,概率論,6)

5、 互不相容（互斥）,7) 對立事件 （逆事件）,請注意互不相容與對立事件的區(qū)別！,01:48:17,概率論,例如，在S4 中,事件 A=t|t1000,表示 “產(chǎn)品是次品”,事件 B=t|t 1000,表示 “產(chǎn)品是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“產(chǎn)品是一級品”,則,表示 “產(chǎn)品是合格品但不是一級品”;,表示 “產(chǎn)品是是一級品” ;,表示 “產(chǎn)品是合格品”.,01:48:17,概率論,8) 隨機事件的運算規(guī)律,冪等律:,交換律:,結(jié)合律:,分配律:,De Morgan（德摩根）定律:,01:48:17,概率論,練習：設 A, B, C 為三個隨機事件，用A, B, C 的運 算關(guān)系表

6、示下列各事件.,（1）A 發(fā)生.,(2) A 發(fā)生，B 與 C 都不發(fā)生.,(3) A ,B , C 都發(fā)生.,(4) A ，B , C 至少有一個發(fā)生.,01:48:17,概率論,(5) A ，B , C 都不發(fā)生.,(6) A ，B , C 不多于一個發(fā)生.,(7) A ，B , C 不多于兩個發(fā)生.,(8) A ，B , C 至少有兩個發(fā)生.,01:48:17,概率論,三 、 頻 率 與 概 率,1） 頻率的定義和性質(zhì),定義: 在相同的條件下，進行了n 次試驗， 在這 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) nA 稱為 事件 A 發(fā)生的頻數(shù)。比值 n A / n 稱為事件 A 發(fā)生的頻率，并

7、記成 fn(A) 。,01:48:17,概率論,它具有下述性質(zhì):,01:48:17,概率論,2 ） 頻率的穩(wěn)定性,實 驗 者 德摩根 蒲 豐 K 皮爾遜 K 皮爾遜,n nH fn(H),2048 4040 12000 24000,1061 2048 6019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,01:48:17,概率論,3） 概率的定義,定義 設 E 是隨機試驗，S 是它的樣本空間，對于 E 的每一個事件 A 賦予一個實數(shù)，記為 P(A), 稱為事件 A 的概率，要求集合函數(shù) P( . ) 滿足下列條件：,01:48:17,概率論,4 ） 概率的性質(zhì)與推廣,0

8、1:48:17,概率論,01:48:17,概率論,01:48:17,概率論,性質(zhì) 9,要求：熟練掌握概率的性質(zhì)。,01:48:17,概率論,1）加法原理：完成某件事有兩類方法，第一類有n種，第二類有m種，則完成這件事共有n+m種方法。,3） 排列： (1)可重復排列:在有放回選取中，從n個不同元素中取 r個元素進行排列，稱為有重復排列，其總數(shù)為 。,四、排列組合公式,2）乘法原理：完成某件事有兩個步驟，第一步有n種方法，第二步有m種方法，則完成這件事共有nm種方法。,01:48:17,概率論,4）組合：（1）從 n 個不同元素中取 r 個元素組成一組，不考慮其順序，稱為組合，其總數(shù)為,（2）選

9、排列：在無放回選取中，從 n 個不同元素中取 r 個元素進行排列，稱為選排列，其總數(shù)為,說明 ：如果把 n 個不同元素分成兩組，一組r個，另一組n-r個，組內(nèi)元素不考慮順序，那么不同分法有 種。,01:48:17,概率論,（2）常用組合公式：,說明：熟練運用排列組合公式對求概率問題是很重要的,01:48:17,概率論,等可能概型（古典概型）,2 等可能概型,01:48:17,概率論,生活中有這樣一類試驗，它們的共同特點是： 樣本空間的元素只有有限個； 每個基本事件發(fā)生的可能性相同。,一、 等可能概型（古典概型）,我們把這類實驗稱為等可能概型，又叫做古典概型。,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,0

10、1:48:17,概率論,設 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件兩兩互不相容；所以,若事件 A 包含 k 個基本事件，即 A =e1, e2, ek , 則有 ：,01:48:17,概率論,例 1 把一套4卷本的書隨機地擺放在書架上，問： 恰好排成序（從左至右或從右至左）的概率是多少？,解：,將書隨機地擺放在書架上，每一種放法就是一 個基本事件，共有放法4！種。,把書恰好排成序有兩種放法。 所以，所求概率為,01:48:17,概率論,例 2 將 n 只球隨機的放入 N (N n) 個盒子中去， 求每個盒子至多有一只球的概率(設盒子的容量不限）。,解： 將 n

11、 只球放入 N 個盒子中去, 共有,而每個盒子中至多放一只球,共有,思考：某指定的n 個盒子中各有一球的概率。,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,01:48:17,概率論,解：,例3 同時擲 5 顆骰子，試求下列事件的概率： A = 5 顆骰子不同點 ； B = 5 顆骰子恰有 2 顆同點 ； C = 5 顆骰子中有 2 顆同點，另外 3 顆 同是另一個點數(shù),01:48:17,概率論,退 出,前一頁,后一頁,目 錄,01:48:17,概率論,例4 設有 N 件產(chǎn)品，其中有 M 件次品，今從中任 取 n 件，問其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有

12、可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件產(chǎn)品中抽取 n 件，取法共有,01:48:17,概率論,于是所求的概率為：,此式即為超幾何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,01:48:17,概率論,2） 有放回抽樣,而在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,于是所求的概率為：,從 N 件產(chǎn)品中有放回地抽取n 件產(chǎn)品進行排列，可能的排列數(shù)為 個，將每一排列看作基本事件，總數(shù)為 。,此式即為二項分布的概率公式。,01:48:17,概率論,例 5 某廠家稱一批數(shù)量為1000件的產(chǎn)品的

13、次品率 為5%?，F(xiàn)從該批產(chǎn)品中有放回地抽取了30件，經(jīng) 檢驗發(fā)現(xiàn)有次品5件，問該廠家是否謊報了次品率？,解：,假設這批產(chǎn)品的次品率為5%，那么1000件產(chǎn)品 中有次品為50件。這時有放回地抽取30件，次品有5 件的概率為,01:48:17,概率論,人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件 在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推 斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次實驗中竟 然發(fā)生了，從而推斷該廠家謊報了次品率。,01:48:17,概率論,例 6 將 n個男生和m個女生(mn) 隨機地排成一列, 問：任意兩個女生都不相鄰的概率是多少？,解：,任意兩個女生都不相鄰時，,首先n個男生的排法有n!

14、種，,每兩個相鄰男生之間有一個位置可以站女生，還有 隊列兩側(cè)各有一個位置可以站女生，這樣m個女生 共有n+1個位置可以站，,所以，任意兩個女生都不相鄰這一事件的概率為,n+m個學生隨機地排成一列共有排法(n+m)!種,總共排法有 種。,01:48:17,概率論,解： 設 A=“第 k 次取出的球是黑球”,例 7 袋中有 a只白球，b 只黑球從中將球取出 依次排成一列，問第 k 次取出的球是黑球的 概率,01:48:17,概率論,例 8 從 19 這 9 個數(shù)中有放回地取出 n 個. 試求取出的 n 個數(shù)的乘積能被 10 整除的概率 解：A =取出的 n 個數(shù)的乘積能被 10 整除； B = 取

15、出的 n 個數(shù)至少有一個偶數(shù) ； C =取出的 n 個數(shù)至少有一個 5 則 A = B C.,01:48:17,概率論,3 條 件 概 率,一 條 件 概 率,二 乘 法 定 理,三 全概率公式和貝葉斯公式,01:48:17,概率論,稱為在事件B已發(fā)生的條件下事件A的條件概率， 簡稱為A在B之下的條件概率。,設A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且,則,一、條 件 概 率,1）條件概率的定義：,01:48:17,概率論,2）條件概率的性質(zhì)：,01:48:17,概率論,而,所求概率為,解：設 A= 3個小孩至少有一個女孩 B= 3個小孩至少有一個男孩 ,例 1 已知某家庭有3個小孩，且至少有一個是女

16、 孩，求該家庭至少有一個男孩的概率,01:48:17,概率論,我們得,這就是兩個事件的乘法公式,1）兩個事件的乘法公式：,二、乘法公式,由條件概率的定義,01:48:17,概率論,則有,這就是n個事件的乘法公式,2）多個事件的乘法公式,01:48:17,概率論,則,由乘法公式，我們有,例2 袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取 出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進 一個白球，直至取出黑球為止求取了n 次都未 取出黑球的概率,解：,01:48:17,概率論,01:48:17,概率論,例 3 設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時 打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二 次落下打

17、破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破， 第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次 而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透鏡第 i 次落下打 破”，以 B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”， 有：,01:48:17,概率論,三、全概率公式和貝葉斯公式,01:48:17,概率論,1）全 概 率 公 式：,設隨機事件,01:48:17,概率論,由全概率公式，有,例5 某小組有20名射手，其中一、二、三、四 級射手分別為2、6、9、3名又若選一、二、 三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標 的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機 選一

18、人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目 標的概率 解：,01:48:17,概率論,設隨機事件,則有：,2）貝葉斯（Bayes）公式,01:48:17,概率論,現(xiàn)有一人用此法檢驗患有肝癌，求此人真正患有 肝癌的概率,說明：全概率公式， Bayes公式中 可以是,例 6 用某種方法普查肝癌，設： A= 用此方法判斷被檢查者患有肝癌 ， D= 被檢查者確實患有肝癌 ， 已知,01:48:17,概率論,所以，由Bayes公式，得,解： 由已知，得,01:48:17,概率論,則由Bayes公式，得,設B= 取出的球全是白球 ,例 7 袋中有10個黑球，5個白球現(xiàn)擲一枚均勻的 骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個

19、球若已知取 出的球全是白球，求擲出3點的概率 解：,01:48:17,概率論,說明：乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式非常重要，在運用時關(guān)鍵是找到樣本空間的劃分。,01:48:17,概率論,則稱 A 與 B 是相互獨立的隨機事件,二、事件獨立性的性質(zhì)：,1）如果事件A 與 B 相互獨立，而且,定義：,設 A、B 是兩個隨機事件，如果,4 獨 立 性,一、獨立性的定義,01:48:17,概率論,2）必然事件S與任意隨機事件A相互獨立； 不可能事件與任意隨機事件A相互獨立,3)若隨機事件 A 與 B 相互獨立，則,也相互獨立.,這個性質(zhì)很重要！,注意：在實際應用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據(jù)

20、定義來判斷，而是根據(jù)實際意義來加以判斷的。,01:48:17,概率論,若事件 A 與 B 相互獨立，則 AB；,若 AB =，則事件 A 與 B 不相互獨立,證明：,例 1,設事件 A 與 B 滿足：,01:48:17,概率論,但是，由題設,這表明，事件 A 與 B 不相互獨立,此例說明：互不相容與相互 獨立不能同時成立。,由于AB =，所以,01:48:17,概率論,1）三個事件的獨立性：,則稱A、B、C是相互獨立的隨機事件,注意：在三個事件獨立性的定義中，四個等式是缺一不可的即：前三個等式的成立推不出最后一個等式；反之，最后一個等式的成立也推不出前三個等式的成立,如果,三、多個事件的獨立性,設A、B、C是三個隨機事件，,01:48:17,概率論,2）n個事件的相互獨立性：,01:48:17,概率論,3）獨立隨機事件的性質(zhì)：,則：（1）其中任意 個隨機事件也相互 獨立；,01:48:17,概率論,若 是相互獨立的事件，則,4）相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率的計算：,在獨立的條件下有：,01:48:17,概率論,注 意,01:48:17,概率論,此例說明：小概率事件雖然在一次試驗中幾乎是不發(fā)生的，但是遲早要發(fā)生。,不論 p 多么小,01:48:17,概率論,例 2 設有電路如圖，其中 1, 2,