1、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì),一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念與正交表,多因素試驗(yàn)遇到的最大困難是試驗(yàn)次數(shù)太多，若十個(gè)因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量有影響，每個(gè)因素取兩個(gè)不同狀態(tài)進(jìn)行比較，有210=1024、 如果每個(gè)因素取三個(gè)不同狀態(tài)310=59049個(gè)不同的試驗(yàn)條件,在多因素試驗(yàn)中，有人采用“單因素輪換法”，但是這種方法不一定能找到好的條件,譬如：考察兩個(gè)因子，先固定A在A1，發(fā)現(xiàn)B3好，再固定B3，發(fā)現(xiàn)A1好，但是實(shí)際上好的條件是A2B2。 B1 B2 B3 A1 50 56 62 A2 56 70 60 A3 54 60 58,因子與水平,試驗(yàn)中要加以考察而改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫英文字母A、B、C等表示。因子在試驗(yàn)中

2、所取的狀態(tài)稱為水平。因子A的水平用代表因子的字母加下標(biāo)表示，記為A1，A2，Ak.。,在一次試驗(yàn)中每個(gè)因子總?cè)∫粋€(gè)特定的水平，稱各因子水平的一個(gè)組合為一個(gè)處理或一個(gè)試驗(yàn)條件。,試驗(yàn)指標(biāo)與試驗(yàn)結(jié)果,衡量試驗(yàn)條件好壞的特性（可以是質(zhì)量特性也可以是產(chǎn)量特性或其它）稱為指標(biāo)，用y表示。 由于y是一個(gè)隨機(jī)變量，因此可以假定它有如下的結(jié)構(gòu)式：y=+ 其中是一個(gè)依賴于試驗(yàn)條件的常量，隨試驗(yàn)條件的變化而改變，是一個(gè)隨機(jī)變量，常假定它服從正態(tài)分布N（0,2）。,正交表,選擇部分條件進(jìn)行試驗(yàn)，再通過數(shù)據(jù)分析來尋找好的條件，這便是試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。通過少量的試驗(yàn)獲得較多的信息，達(dá)到試驗(yàn)的目的：發(fā)現(xiàn)那些因子對(duì)試驗(yàn)結(jié)果確有

3、影響，因子的什么水平組合是最好的。 利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法就是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。,“L”表示正交表，“9”是行數(shù)，在試驗(yàn)中表示試驗(yàn)的條件數(shù)，“4”是列數(shù)，在試驗(yàn)中表示可以安排的因子的最多個(gè)數(shù)，“3”是表的主體只有三個(gè)不同數(shù)字，在試驗(yàn)中表示每一因子可以取的水平數(shù)。,正交表具有正交性，這是指它有如下兩個(gè)特點(diǎn)： （1）每列中不同的數(shù)字重復(fù)次數(shù)相同。 在表L9(34)中，每列有3個(gè)不同數(shù)字：1,2,3，每一個(gè)出現(xiàn)3次。 （2）將任意兩列的同行數(shù)字看成一個(gè)數(shù)對(duì)，那么一切可能數(shù)對(duì)重復(fù)次數(shù)相同。 在表L9(34)中，任意兩列有9種可能的數(shù)對(duì)：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2

4、,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一對(duì)出現(xiàn)一次。,（1）一類正交表的行數(shù)n，列數(shù)p，水平數(shù)qn=qk, k=2,3,4, p=(n-1)/(q-1) 如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等這類正交表可以考察因子間交互作用 （2）另一類正交表的行數(shù)，列數(shù)，水平數(shù)之間不滿足上述的兩個(gè)關(guān)系 如： L12(211)， L18(37)，L36(313)等,常用的正交表有兩大類,二、無交互作用的正交設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析,試驗(yàn)設(shè)計(jì)一般有四個(gè)步驟： 1. 試驗(yàn)設(shè)計(jì) 2. 進(jìn)行試驗(yàn)獲得試驗(yàn)結(jié)果 3. 數(shù)據(jù)分析 4. 驗(yàn)證試驗(yàn),例1 磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按

5、質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項(xiàng)指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗(yàn)找出好的條件，以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。,（一）試驗(yàn)的設(shè)計(jì) 在安排試驗(yàn)時(shí)，一般應(yīng)考慮如下幾步：,（1）明確試驗(yàn)?zāi)康模?（2）明確試驗(yàn)指標(biāo)； （3）確定因子與水平； （4）選用合適的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)，列出試驗(yàn)計(jì)劃。,在本例中：,試驗(yàn)?zāi)康模禾岣叽殴碾姍C(jī)的輸出力矩 試驗(yàn)指標(biāo)：輸出力矩 確定因子與水平：,選表：首先根據(jù)因子的水平數(shù)，找出一類正交表，再根據(jù)因子的個(gè)數(shù)確定具體的表，把因子放到表的列上去，稱為表頭設(shè)計(jì)。 把放因子的列中的數(shù)字改為因子的真實(shí)水平，便成為一張?jiān)囼?yàn)計(jì)劃表， 每一行便是一個(gè)試驗(yàn)條件。 在正交

6、設(shè)計(jì)中n個(gè)試驗(yàn)條件是一起給出的的，稱為“整體設(shè)計(jì)”，并且均勻分布在試驗(yàn)空間中。,9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的分布,（二）做試驗(yàn)，并記錄試驗(yàn)結(jié)果,在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，要注意幾點(diǎn)： 1. 除了所考察的因子外的其它條件，盡可能保持相同 2. 試驗(yàn)次序最好要隨機(jī)化 3. 必要時(shí)可以設(shè)置區(qū)組因子,（三）數(shù)據(jù)分析,1. 數(shù)據(jù)的直觀分析 （1）尋找最好的試驗(yàn)條件,在A1水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#1，#2，#3，而在這三次試驗(yàn)中因子B的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)，因子C的三個(gè)水平也各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。 在A2水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#4，#5，#6，在這三次試驗(yàn)中因子B與C的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。 在A3水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#7，#

7、8，#9，在這三次試驗(yàn)中因子B與C的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。,將全部試驗(yàn)分成三個(gè)組，那么這這三組數(shù)據(jù)間的差異就反映了因子A的三個(gè)水平的差異，為此計(jì)算各組數(shù)據(jù)的和與平均： T1=y1+y2+y3=160+215+180=555, T2=y4+y5+y6=168+236+190=594, T3=y7+y8+y9=157+205+140=502,同理 對(duì)因子B與C將數(shù)據(jù)分成三組分別比較 所有計(jì)算列在下面的計(jì)算表中,（2）各因子對(duì)指標(biāo)影響程度大小的分析 極差的大小反映了因子水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響大小。這里因子的極差是指各水平平均值的最大值與最小值之差，譬如對(duì)因子A來講： RA=198167.3=

8、30.7 其它的結(jié)果也列在上表中 （3）各因子不同水平對(duì)指標(biāo)的影響圖,因子各水平對(duì)輸出力矩的影響,由于正交表的特點(diǎn)，使試驗(yàn)條件均勻分布在試驗(yàn)空間中，因此使數(shù)據(jù)間具有整齊可比性，上述的直觀分析可以進(jìn)行。但是極差大到什么程度可以認(rèn)為水平的差異確實(shí)是有影響的呢？,2. 數(shù)據(jù)的方差分析 要把引起數(shù)據(jù)波動(dòng)的原因進(jìn)行分解，數(shù)據(jù)的波動(dòng)可以用偏差平方和來表示。,正交表中第j列的偏差平方和的計(jì)算公式：,其中Tij為第j列第i水平的數(shù)據(jù)和，T為數(shù)據(jù)總和，n為正交表的行數(shù)，q為該列的水平數(shù)。該列表頭是哪個(gè)因子，則該Sj即為該因子的偏差平方和，譬如SA=S1,正交表總的偏差平方和為：,在這里有：,表4.6 例4.1的

9、方差分析表,3. 最佳條件的選擇,對(duì)顯著因子應(yīng)該取最好的水平 對(duì)不顯著因子的水平可以任意選取，在實(shí)際中通常從降低成本、操作方便等角度加以選擇。 上面的例子中對(duì)因子A與B應(yīng)該選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1,（四）驗(yàn)證試驗(yàn),對(duì)A2B2C1進(jìn)行三次試驗(yàn)，結(jié)果為： 234，240，220，平均值為231.3此結(jié)果是滿意的。,交互作用,一個(gè)因子的水平好壞或好壞的程度受另一因子水平制約的情況，稱為因子A與B的交互作用。 其直觀表示如下面的圖(b)與(c)所示。,三、有交互作用的正交設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析,兩個(gè)因子的不同水平搭配下的得率,（1）試驗(yàn)的設(shè)計(jì) 明確試驗(yàn)?zāi)康模?明確試驗(yàn)指標(biāo)； 確定

10、試驗(yàn)中所考慮的因子與水平，并確定可能存在并要考察的交互作用； 選用合適的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)，列出試驗(yàn)計(jì)劃。,例2 為提高某種農(nóng)藥的收率，需要進(jìn)行試驗(yàn)。,試驗(yàn)?zāi)康模禾岣咿r(nóng)藥的收率 試驗(yàn)指標(biāo)：收率 確定因子與水平以及所要考察的交互作用：,還要考察因子A與B的交互作用,選表：首先根據(jù)因子的水平數(shù)，找出一類正交表 再根據(jù)因子的個(gè)數(shù)及交互作用個(gè)數(shù)確定具體的表。 把因子放到表的列上去，但是要先放有交互作用的兩個(gè)因子，并利用交互作用表，標(biāo)出交互作用所在列，以便于今后的數(shù)據(jù)分析。 把放因子的列中的數(shù)字改為因子的真實(shí)水平，便成為一張?jiān)囼?yàn)計(jì)劃表,表4.9 L8（27）的交互作用表,表4.10 試驗(yàn)計(jì)劃,（二）數(shù)

11、據(jù)分析 1. 數(shù)據(jù)的方差分析,在二水平正交表中一列的偏差平方和有 一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算公式：,其中T1j、T2j分別是第j列一水平與二水平數(shù)據(jù)的和，n是正交表的行數(shù)。,表4.11 例4.3的計(jì)算表,表4.12 例4.3的方差分析表,表4.13 AB的搭配表,（三）避免混雜現(xiàn)象表頭設(shè)計(jì)的一個(gè)原則,在進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)時(shí)一列上只能放一個(gè)因子或放一個(gè)交互作用。 若在一列上有兩個(gè)因子或兩個(gè)交互作用或一個(gè)因子一個(gè)交互作用稱為混雜,混雜應(yīng)該避免,否則數(shù)據(jù)分析要產(chǎn)生問題。,在用正交表安排試驗(yàn)時(shí)要求： 因子與所在列的自由度相等 交互作用與所占列的自由度的和相等 所以二水平因子應(yīng)該用二水平正交表，三水平因子應(yīng)該用三水平正交

12、表。 二水平因子的交互作用的自由度為1，所以在二水平正交表上占一列。 三水平因子的交互作用的自由度為4，所以在三水平正交表上占兩列。,選擇正交表時(shí)必須滿足下面一個(gè)條件：“所考察的因子與交互作用自由度之和n1”，其中n是正交表的行數(shù)。 不過在存在交互作用的場(chǎng)合，這一條件滿足時(shí)還不一定能用來安排試驗(yàn)，所以這是一個(gè)必要條件。,例3 給出下列試驗(yàn)的表頭設(shè)計(jì)：,（1）A、B、C、D為二水平因子，同時(shí)考察交互作用AB，AC （2）A、B、C、D為二水平因子，同時(shí)考察交互作用AB，CD （3）A、B、C、D、E為三水平因子，同時(shí)考察交互作用AB 它們分別要用L8（27），L16（215），L27（313）,

13、解 （1）由于因子均為二水平的，故選用二水平正交表，又因子與交互作用的自由度之和為： fA+fB+fC+fD+fAB+fAC=1+1+1+1+1+1=6 故所選正交表的行數(shù)應(yīng)滿足：n6+1=7，所以選L8(27)，表頭設(shè)計(jì)如下：,（2）由于因子均為二水平的，故仍選用二水平正交表，又因子與交互作用的自由度之和為6，故所選正交表的行數(shù)應(yīng)滿足：n6+1=7，但L8(27)無法安排這四個(gè)因子與兩個(gè)交互作用，因?yàn)椴还芩膫€(gè)因子放在哪四列上，兩個(gè)交互作用或一個(gè)因子與一個(gè)交互作用總會(huì)共用一列，從而產(chǎn)生混雜，譬如： 因此選用L16(215)，表頭設(shè)計(jì)如下：,（3）由于因子均為三水平的，故選用三水平正交表，又因子

14、與交互作用的自由度之和為： fA+fB+fC+fD+fE+fAB=2+2+2+2+2+4=14 故所選正交表的行數(shù)應(yīng)滿足：n14+1=15，所以選L27(313)，表頭設(shè)計(jì)如下：,四、有重復(fù)試驗(yàn)的情況,例4 某廠為提高零件內(nèi)孔研磨工序質(zhì)量進(jìn)行工藝參數(shù)的選優(yōu)試驗(yàn)，考察孔的錐度值，希望其越小越好。 在試驗(yàn)中考察的因子水平如下：,表4.14 因子水平表,采用正交表L8(27)安排試驗(yàn)，表頭設(shè)計(jì)如下：,各偏差平方和的計(jì)算公式如下：,其中T為數(shù)據(jù)總和，n為正交表行數(shù)，m為每一條件重復(fù)數(shù)，其自由度為mn-1,其中yi為第i個(gè)條件數(shù)據(jù)的和，其自由度n-1,第j列的偏差平方和為：,在二水平正交表中,其中Tij為第j列第i水平數(shù)據(jù)的和，q為該列水平數(shù)，其自由度為q-1,第二類誤差的偏差平方和為,其自由度為n(m-1),表4.15 例4.5的計(jì)算表,Se1=S3+S5+S6+S7=1.714 fe1=4， Ve1=0.4285 Se2=3.788， fe2=24， Ve2=0.1578 F1=2.715F0.90(4,24)=2.1