1、第 二 章2-3試證明圖2-5()的電網(wǎng)絡(luò)與(b)的機械系統(tǒng)有相同的數(shù)學(xué)模型。分析 首先需要對兩個不同的系統(tǒng)分別求解各自的微分表達(dá)式，然后兩者進(jìn)行對比，找出兩者之間系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。對于電網(wǎng)絡(luò)，在求微分方程時，關(guān)鍵就是將元件利用復(fù)阻抗表示，然后利用電壓、電阻和電流之間的關(guān)系推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后變換成微分方程的形式，對于機械系統(tǒng)，關(guān)鍵就是系統(tǒng)的力學(xué)分析，然后利用牛頓定律列出系統(tǒng)的方程，最后聯(lián)立求微分方程。證明：(a)根據(jù)復(fù)阻抗概念可得：即取A、B兩點進(jìn)行受力分析，可得：整理可得：經(jīng)比較可以看出，電網(wǎng)絡(luò)（a）和機械系統(tǒng)（b）兩者參數(shù)的相似關(guān)系為2-5 設(shè)初始條件均為零，試用拉氏變換法求解下列微分

2、方程式，并概略繪制x(t)曲線，指出各方程式的模態(tài)。(1) ()2-7 由運算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路如圖2-6所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)U()()。 圖2-6 控制系統(tǒng)模擬電路解：由圖可得聯(lián)立上式消去中間變量U1和U2,可得：2-8 某位置隨動系統(tǒng)原理方塊圖如圖2-7所示。已知電位器最大工作角度，功率放大級放大系數(shù)為K3,要求：(1) 分別求出電位器傳遞系數(shù)K0、第一級和第二級放大器的比例系數(shù)K1和K2；(2) 畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖；(3) 簡化結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖2-7 位置隨動系統(tǒng)原理圖分析：利用機械原理和放大器原理求解放大系數(shù)，然后求解電動機的傳遞函數(shù)，從而畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求出系統(tǒng)的傳

3、遞函數(shù)。解：（1）（2）假設(shè)電動機時間常數(shù)為Tm，忽略電樞電感的影響，可得直流電動機的傳遞函數(shù)為式中Km為電動機的傳遞系數(shù)，單位為。又設(shè)測速發(fā)電機的斜率為，則其傳遞函數(shù)為由此可畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：（3）簡化后可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2-9 若某系統(tǒng)在階躍輸入r(t)=1(t)時，零初始條件下的輸出 響應(yīng)，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。分析：利用拉普拉斯變換將輸入和輸出的時間域表示變成頻域表示，進(jìn)而求解出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后對傳遞函數(shù)進(jìn)行反變換求出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。解：（1），則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（2）系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)2-10 試簡化圖2-9中的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s )和C(s)/

4、N(s)?？汕蟪觯毫頡（s）0，簡化結(jié)構(gòu)圖如圖所示：所以：（b）令N（s）0，簡化結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：所以：令R（s）0，簡化結(jié)構(gòu)圖如下圖所示2-12 試用梅遜增益公式求圖2-8中各系統(tǒng)信號流圖的傳遞函 數(shù)C(s)/R(s)。圖2-11 題2-12系統(tǒng)信號流圖解：（a） 存在三個回路：存在兩條前向通路：所以：（b）9個單獨回路：6對兩兩互不接觸回路：三個互不接觸回路1組：4條前向通路及其余子式：所以，第 三 章3-4 已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 試求系統(tǒng)的超調(diào)量、峰值時間p和調(diào)節(jié)時間s。解：依題意時，并且是使第一次為零的時刻()可見，當(dāng)?shù)谝淮螢?時，所以根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義：，即，得所以：3-5

5、設(shè)圖3-3是簡化的飛行控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，試選擇參數(shù)K和Kt，使系統(tǒng)、。分析：求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)，如果可化為典型二階環(huán)節(jié)形式，則可與標(biāo)準(zhǔn)二階環(huán)節(jié)相對照，從而確定相應(yīng)參數(shù)。解 對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行化簡如圖所示。故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為和標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)對照后可以求出：3-7已知系統(tǒng)特征方程如下，試求系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根值。 分析 系統(tǒng)在右半平面的根數(shù)即為勞思表第一列符號改變的次數(shù)，虛根值可通過構(gòu)造輔助函數(shù)求得。解 由系統(tǒng)特征方程，列勞思表如下：（出現(xiàn)了全零行，要構(gòu)造輔助方程）由全零行的上一行構(gòu)造輔助方程，對其求導(dǎo)，得故原全零行替代為表中第一列元素變號兩次，故右半s平面有兩個閉環(huán)極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對輔助方程化簡得

6、由得余因式為 求解、，得系統(tǒng)的根為所以，系統(tǒng)有一對純虛根。3-9 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)（1）（）（）試求輸入分別為 和 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。分析：用靜態(tài)誤差系數(shù)法求穩(wěn)態(tài)誤差比用誤差傳遞函數(shù)求解更方便。對復(fù)雜的輸入表達(dá)式，可分解為典型輸入函數(shù)的線性組合，再利用靜態(tài)誤差系數(shù)法分別求各典型輸入引起的誤差，最后疊加起來即為總的誤差。解 （1）判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性可見，勞思表中首列系數(shù)全部大于零，該系統(tǒng)穩(wěn)定。求穩(wěn)態(tài)誤差K100/5=20,系統(tǒng)的型別，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以， ， (2)判斷穩(wěn)定性勞斯表中首列系數(shù)全部大于零，該系統(tǒng)穩(wěn)定。求穩(wěn)態(tài)誤差K10/100=0.1,系統(tǒng)的型別，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，

7、3-11設(shè)隨動系統(tǒng)的微分方程為其中，T、和K為正常數(shù)。若要求r(t)=1+ t時，c(t)對r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差不大于正常數(shù)，試問K應(yīng)滿足什么條件?分析：先求出系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)，再利用穩(wěn)態(tài)誤差計算公式，根據(jù)題目要求確定參數(shù)。解：對方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，可得按照上面三個公式畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：定義誤差函數(shù)所以 令，可得，因此，當(dāng)時，滿足條件。第 四 章4-4 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖(要求確定分離點坐標(biāo)d)： (1) （2）解：(1)， n3，根軌跡有3條分支； 起點：p10，p2-2，p3-5；沒有零點，終點：3條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。 實軸上的根軌

8、跡：-2,0,(; 漸進(jìn)線：，； 分離點：求解得：（舍去），；作出根軌跡如圖所示：(2)， n2，根軌跡有2條分支； 起點：p10，p2-0.5，；終點：，條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。 實軸上的根軌跡：-0.5,0,(; 分離點：求解得：，；作出根軌跡如圖所示：4-6 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求：確定 產(chǎn)生純虛根為1的值和值。解：令代入，并令其實部、虛部分別為零，即：，解得：畫出根軌跡如圖所示：4-10 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 要求：(1) 畫出準(zhǔn)確根軌跡(至少校驗三點)；(2) 確定系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定開環(huán)增益K；(3) 確定與系統(tǒng)臨界阻尼比相應(yīng)的開環(huán)增益K。分析：利用解析法

9、，采用逐個描點的方法畫出系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。然后將代入特征方程中，求解純虛根的開環(huán)增益，或是利用勞斯判據(jù)求解臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益。對于臨界阻尼比相應(yīng)的開環(huán)增益即為實軸上的分離點對應(yīng)的開環(huán)增益。解：（1） n3，根軌跡有3條分支,且均趨于無窮遠(yuǎn)處； 實軸上的根軌跡：-50,0,(00; 漸進(jìn)線：，； 分離點：求解得：，（舍去）；作出根軌跡如圖所示：（2）臨界開環(huán)增益為根軌跡與虛軸交點對應(yīng)的開環(huán)增益。令，代入，并令其實部、虛部分別為零，即，解得：（舍去） （3）系統(tǒng)處于臨界阻尼比，相應(yīng)閉環(huán)根位于分離點處，即要求分離點d對應(yīng)的K值。將sd-21.3代入幅值條件：4-14 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出b從

10、零變到無窮時的根軌跡圖。 (1) （）解：（1）做等效開環(huán)傳遞函數(shù) n=2,有2條根軌跡分支，n-m=1條趨于無窮遠(yuǎn)處； 實軸上的根軌跡：(; 分離點整理得出射角：根軌跡如圖所示：（2）做等效開環(huán)傳遞函數(shù) n=2,有2條根軌跡分支，且均趨于無窮遠(yuǎn)處； 實軸上的根軌跡：; 分離點整理得根軌跡如圖所示：第 五 章5-2 若系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為試確定系統(tǒng)的頻率特性。分析 先求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)，用替換s即可得到頻率特性。解：從中可求得：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換之間的關(guān)系為即 其中為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，又則令，則系統(tǒng)的頻率特性為5-7 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ;（、1、2）

11、當(dāng)取時， ,|()|.。當(dāng)輸入為單位速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1，試寫出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表達(dá)式G()。分析：根據(jù)系統(tǒng)幅頻和相頻特性的表達(dá)式，代入已知條件，即可確定相應(yīng)參數(shù)。解： 由題意知：因為該系統(tǒng)為型系統(tǒng)，且輸入為單位速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1，即所以：當(dāng)時，由上兩式可求得，因此5-14 已知下列系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)(參數(shù)K、T、T，2，)(1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) (10)其系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線分別如圖5-6(1)(10)所示，試根據(jù)奈氏判據(jù)判定各系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，若系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，確定其s右半平面的閉環(huán)極點數(shù)。分析：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)在右半平面開環(huán)極點個數(shù)P，由幅相曲線圖可知包圍點（）的圈數(shù)。解：（1）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（4）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)穩(wěn)定。（5）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（6）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)穩(wěn)定。（7）所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根，系統(tǒng)穩(wěn)定。（8）所以系統(tǒng)在