1、4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,4.1 圓的方程,第四章 圓與方程,趙州橋，建于隋煬帝大業(yè)年間（595-605年），至今已有1400年的歷史，出自著名匠師李春之手，是今天世界上最古老的單肩石拱橋,是世界造橋史上的一個(gè)創(chuàng)造。,我們?cè)谇懊鎸W(xué)過，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和傾斜角也能確定一條直線在平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個(gè)圓呢？,復(fù)習(xí)引入,問題,當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了 因此一個(gè)圓最基本要素是圓心和半徑,引入新課,如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心（點(diǎn)）A的位置用坐標(biāo) (a,b) 表示，半徑r的大小等于圓上任意點(diǎn)M(x, y)與圓心A (a,b) 的距離,符合上述條件的圓的集

2、合是什么？你能用描述法來表示這個(gè)集合嗎？,符合上述條件的圓的集合：,圓的方程,問題,圓上任意點(diǎn)M(x, y)與圓心A (a,b)之間的距離能用什么公式表示？,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式：,則點(diǎn)M、A間的距離為：,即：,是否在圓上的點(diǎn)都適合這個(gè)方程？是否適合這個(gè)方程的坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上？,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)M(x, y)在圓上，由前面討論可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)適合方程；反之，若點(diǎn)M(x, y)的坐標(biāo)適合方程，這就說明點(diǎn) M與圓心的距離是 r ，即點(diǎn)M在圓心為A (a, b)，半徑為r的圓上,問題,把這個(gè)方程稱為圓心為A(a, b)，半徑長(zhǎng)為r 的圓的方程，把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,即 (x-a) 2 + (y-b)

3、 2 = r2,稱為圓心為A(a,b),半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,問題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么特征?,（1）有兩個(gè)變量x,y，形式都是與某個(gè)實(shí)數(shù)差的平方；,（2）兩個(gè)變量的系數(shù)都是1,（3）方程的右邊是某個(gè)實(shí)數(shù)的平方，也就是一定為正數(shù)。,特殊位置的圓方程,因?yàn)閳A心是原點(diǎn)O(0, 0)，將x0，y0和半徑 r 帶入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：,問題,圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為r 的圓的方程是什么？,得：,整理得：,例1 寫出圓心為 ，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn) ， 是否在這個(gè)圓上,解：圓心是 ，半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：,把 的坐標(biāo)代入方程 左右兩邊相等，點(diǎn) 的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn) 在這個(gè)圓上；,典型

4、例題,把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點(diǎn) 的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn) 不在這個(gè)圓上,怎樣判斷點(diǎn) 在圓 內(nèi)呢？還是在圓外呢？,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,探究,從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上，只需將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入這個(gè)圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個(gè)圓上，反之如果不成立則不在這個(gè)圓上,怎樣判斷點(diǎn) 在圓 內(nèi)呢？還是在圓外呢？,探究,可以看到：點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑 r ；,點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 r ,例2 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圓的方程,分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓,解法一：

5、設(shè)所求圓的方程是 （1）,因?yàn)锳(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程（1）于是,所以， 的外接圓的方程 ,解此方程組，得：,分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓,解：,例2 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圓的方程,待定系數(shù)法,解法二：,因?yàn)锳(5,1)和B(7,-3)，所以線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,-1)，直線 AB的斜率,因此線段AB的垂直平分線 l1 的方程是：,即：,所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：,因?yàn)锽(7,-3)和C(2,-8) ，所以線段BC的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(4.

6、5,-5.5)，直線BC的斜率,因此線段BC的垂直平分線 l2 的方程是：,即：,ABC的外接圓的圓心O的坐 標(biāo)是方程組 的解,解得：,即 O(2,-3),圓O的半徑長(zhǎng)：,練習(xí):,解:,解方程組:,例3 .已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1, 1)和B(2, 2)，且圓心C在直線上l：x y+1=0，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解：因?yàn)锳(1, 1)和B(2, 2)，所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo),直線AB的斜率:,典型例題,因此線段AB的垂直平分線 的方程是,即,例3 已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1, 1)和B(2, 2)，且圓心C在直線上l：x y+1=0，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解：,所以圓心C的坐

7、標(biāo)是,圓心為C的圓的半徑長(zhǎng),所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,解此方程組，得,練習(xí):求圓心在（-1, 2），與y軸相切的圓的方程,所求圓的方程為:(x+1)2+(y-2)2=1,解:,練習(xí):求圓心在直線y=x上,同時(shí)和兩坐標(biāo)軸相切,半徑為2的圓的方程.,解:,(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4,依題意得所求圓的方程為,(1) 圓心為C(a,b)，半徑為r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 圓心在原點(diǎn)時(shí) ，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 + y2 = r2 (2) 如何求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程? 由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有 a , b , r 三個(gè)參數(shù)，因此必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件才