1、第8章 回歸正交試驗設計,本章問題的提出,正交設計：優(yōu)方案只能限制在已定的水平上，而不是一定試驗范圍內(nèi)的最優(yōu)方案 回歸分析可通過所確立的回歸方程 ，對試驗結果進行預測和優(yōu)化，但回歸分析只能對試驗數(shù)據(jù)進行被動的處理和分析，不涉及對試驗設計的要求。 回歸正交設計可將兩者結合起來。它可以在因素的試驗范圍內(nèi)選擇適當?shù)脑囼烖c，用較少的試驗建立一個精度高、統(tǒng)計性質(zhì)好的回歸方程，并能解決試驗優(yōu)化問題。,回歸正交設計（Orthogonal regression design）,回歸正交設計處理的對象： 可以在因素的試驗范圍內(nèi)選擇適當?shù)脑囼烖c 用較少的試驗建立回歸方程 能解決試驗優(yōu)化問題 不適合有非數(shù)量性因素的

2、問題,8.1 一次回歸正交試驗設計及結果分析,建立試驗指標（y）與m個試驗因素x1，x2，xm之間的一次回歸方程： 例：m3時，一次回歸方程： yab1x1b2x2b3x3b12x1x2b13x1x3b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3個因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 若不考慮交互作用，為三元一次線形回歸方程： yab1x1b2x2b3x3,8.1.1 一次回歸正交設計的基本方法,（1）確定因素的變化范圍 以因素xj為例： 設xj 的變化范圍為xj1， xj2 xj1為xj的下水平 xj2為xj的上水平 xj0為xj的零水平： xj0 (xj1 xj2)/2 因素xj的變

3、化間距 j： j上水平 零水平xj2xj0 j= (xj2 xj1)/2,8.1.1 一次回歸正交設計的基本方法,（2）因素水平的編碼 編碼（coding）：將因素xj的各水平進行線性變換： zj：因素xj的編碼 ，稱為規(guī)范變量 xj：自然變量 上水平xj2的編碼 ：zj21 下水平xj1的編碼：zj1-1 零水平xj0的編碼：zj00,編碼目的： 使每因素的每水平在編碼空間是“平等”的，規(guī)范變量zj的取值范圍都是1，-1內(nèi)變化，不會受到自然變量xj的單位和取值大小的影響。 編碼能將試驗結果y與因素xj（j1，2，m）各水平之間的回歸問題，轉換成試驗結果y與編碼值zj之間的回歸問題，從而大大簡

4、化了回歸計算量。,（3）一次回歸正交設計表,將二水平的正交表中“2”用“1”代換 ，例：,回歸正交設計表的特點： 任一列編碼的和為0 任兩列編碼的乘積之和等于0 說明經(jīng)轉換后的正交表同樣具有正交性。,（4）試驗方案的確定,表頭設計 ： 可參考正交設計的表頭設計方法 交互作用列的編碼等于表中對應兩因素列編碼的乘積 零水平試驗（中心試驗 ）目的是為了進行更精確的統(tǒng)計分析，得到精度較高的回歸方程。,8.1.2 一次回歸方程的建立 (請注意！),總試驗次數(shù)為n ： nmcm0 mc:二水平試驗次數(shù) m0:零水平試驗次數(shù) 一次回歸方程系數(shù)的計算： 常數(shù)項：a 一次項系數(shù)：bj 交互項系數(shù)： bjk,說明

5、： 求得的回歸系數(shù)直接反映了該因素作用的大小 回歸系數(shù)的符號反映了因素對試驗指標影響的正負,8.1.3. 回歸方程及偏回歸系數(shù)的方差分析,（1）無零水平試驗時 平方和： 總平方和： 一次項偏回歸平方和 ： 交互項偏回歸平方和： 回歸平方和 ： 殘差平方和 ：,自由度,dfTn1 各種偏回歸平方和的自由度1 回歸平方和的自由度 ： 殘差自由度：,均方 F檢驗： 回歸方程顯著性檢驗 偏回歸系數(shù)顯著性檢驗 ： 判斷因素或交互作用對試驗的影響程度 經(jīng)檢驗不顯著的因素或交互作用應歸入殘差，重新檢驗 可直接從回歸方程中剔除這些一次和交互項,例8-1：p.126129(注意與書中例65的聯(lián)系),例8-1用石

6、墨爐原子吸收分光光度計測定食品中的鉛，為提高測定靈敏度，希望吸光度(y)大。為提高吸光度，討論了x1(灰化溫度/)， x2(原子化溫度/)和 x3 (燈電流/mA)三個因素對吸光度的影響，并考慮交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1300700， x218002400，x3810mA。試通過回歸正交試驗確定吸光度與三個因素之間的函數(shù)關系式。,例8-1：p.126129,(1)因素水平編碼,(2)正交表的選擇和試驗方案的確定,有何想法！,(3)回歸方程的建立 依題意 m0=0,n=mc=8,(3)回歸方程的建立,計算各回歸系數(shù):p127128,(3)回歸方程的建立,寫出y與規(guī)范變量zj的回歸

7、方程 y=0.50475+0.00975z1+0.033752-0.00575z3+0.00475z1z2+0.00725z1z3 根據(jù)偏回歸系數(shù)絕對值大小，確定因素和交互作用的主次順序 x2x1x1x3x3x1x2 根據(jù)偏回歸系數(shù)的正負，得到各因素對試驗指標的影響方向,(4)方差分析,(4)方差分析,dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1 dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=7-5=2 MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113 MS3=SS3/df

8、3=0.000265 MS12=SS12/df12=0.000181 MS13=SS13/df13=0.000421 MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148 MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062 F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27 F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98 F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27 F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92 F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79

9、FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65,方差分析表,F0.01(1,2)=98.49 F0.05(1,2)=18.51 F0.01(5,2)=99.30 F0.05(5,2)=19.30,新的方差分析表,F0.05(1,6)=5.99 F0.01(1,6)=13.74,(5)最終的回歸方程,y=0.50475+0.03375z2 z2=(x2-2100)/300 y=0.50475+0.03375 (x2-2100)/300 整理后得: y=0.2685+0.0001125x2 是否還有更簡單的方法呢？,（2）有零水平試驗時,目的：進行回歸方程的失擬性（lack

10、of fit）檢驗 （要求m02 ） 前面所提的對回歸方程進行的顯著性檢驗，只能說明相對殘差平方和而言，各因素對試驗結果的影響是否顯著。即使所建立的回歸方程是顯著的， 也只反映了回歸方程在試驗點與試驗結果擬合得較好，不能說明在整個研究范圍內(nèi)回歸方程都與實測值有好的擬合。 失擬性檢驗：為了檢驗一次回歸方程在整個研究范圍內(nèi)的擬合情況,失擬性檢驗步驟： 設m0次零水平試驗結果為y01，y02，y0m0 重復試驗誤差： 平方和： 重復試驗誤差的自由度： 回歸方程失擬部分： 失擬平方和 ： 失擬平方和自由度：,失擬檢驗 ： 對于給定的顯著性水平（一般取0.1） 當FLfF(dfLf，dfe1)時，就認為

11、回歸方程失擬不顯著，失擬平方和SSLf是由隨機誤差造成的，所建立的回歸方程是擬合得很好。只有當回歸方程顯著、失擬檢驗不顯著時，才能說明所建立的回歸方程是擬合得很好的。,例8-2：p.129131,例8-2從某植物中提取黃酮類物質(zhì)，為了對提取工藝進行優(yōu)化，選取三個相對重要的因素：乙醇濃度x1、液固比x2、和回流次數(shù)x3 進行了回歸正交試驗，不考慮交互作用。已知x160%80%， x2812，x313次。同時安排三次零水平試驗。試通過回歸正交試驗確定黃酮提取率與三個因素之間的函數(shù)關系式并確定優(yōu)化方案。,P129 例8-2,(1)因素水平編碼,(2)正交表選擇及實驗方案確定,(3)回歸方程的建立 依

12、題意 m0=3,n=mc+m0=11,回歸方程：y=6.6182+0.5125z1+0.5375z2+0.3125z3 因素作用主次：x2x1x3,(4)方差分析,(4)方差分析,dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 dfR=df1+df2+df3=1+1+1=3 dfe=dfT-dfR=10-3=7 MS1=SS1/df1=2.101 MS2=SS2/df2=2.311 MS3=SS3/df3=0.781 MSR=SSR/dfR=5.193/3=1.731 MSe=SSe/dfe=0.103/7=0.0147 F1=MS1/MSe=2.101/0.0147=142.9 F2

13、=MS2/MSe=2.311/0.0147=157.2 F3=MS3/MSe=0.781/0.0147=53.1 FR=MSR/MSe=1.731/0.0147=117.8,方差分析表,F0.01(1,7)=12.25 F0.05(1,7)=5.59 F0.01(3,7)=8.45 F0.05(3,7)=4.35,(5)失擬性檢驗,本例中，零水平試驗次數(shù)m0=3，可進行失擬性檢驗。,SSLf=SSe-SSe1=0.103-0.00667=0.0963 dfe1=m0-1=3-1=2 dfLf=dfe-dfe1=7-2=5,檢驗結果表明，失擬不顯著，回歸模型與實際情況擬合很好。,(6)最終的回歸

14、方程,y=6.6182+0.5125z1+0.5375z2+0.3125z3 z1=(x1-70)/10 z2=(x2-10)/2 z3=(x3-2)/1 y=-0.2818+0.05125x1+0.26875x2+0.3125x3 x1=80 x2=12 x3=3時，Y7.9807(經(jīng)用規(guī)劃求解) 同樣要提出問題，能否用更簡單方式？,8.2 二次回歸正交組合設計,回歸方程的建立： 根據(jù)最小二乘法原理得到正規(guī)方程組 求解正規(guī)方程組，得回歸系數(shù) 試驗次數(shù)=方程的個數(shù) 方程的個數(shù)回歸系數(shù)個數(shù) 要求：試驗次數(shù)回歸方程的項數(shù) 回歸正交組合設計：在一次回歸正交試驗設計的基礎上再增加一些特定的試驗點，通過

15、適當?shù)慕M合形成試驗方案,8.2.1 二次回歸正交組合設計表,（1）二元二次回歸正交組合設計試驗方案 二元二次回歸方程： 該方程共有6個回歸系數(shù)，所以要求試驗次數(shù)n6，而二水平全面試驗的次數(shù)為22=4次，顯然不能滿足要求，于是在此基礎上再增加5次試驗。,試驗方案,正交組合設計的三類試驗點及次數(shù)： 二水平試驗：一次回歸正交試驗設計中的試驗點 全實施：mc2m 1/2實施：mc2m1 1/4實施：mc2m2 星號試驗： 與原點（中心點）的距離都為 m2m 零水平試驗： 各因素水平編碼都為零時的試驗 試驗次數(shù)m0,二元二次回歸正交組合設計,總的試驗次數(shù)為：n=mc+2m+m0,（2） 三元二次回歸正交

16、組合設計試驗方案,三元二次回歸方程： 該方程共有10個回歸系數(shù)，所以要求試驗次數(shù)n10，而二水平全面試驗的次數(shù)為23=8次，顯然不能滿足要求，于是在此基礎上再增加7次試驗。,三元二次回歸正交組合設計,（3）星號臂長度與二次項的中心化,星號臂長度 星號臂長度與因素數(shù)m，零水平試驗次數(shù)m0及二水平試驗數(shù)mc有關 參考：公式（8-33）或表8-18 （P134),二次項的中心化,對二次項的每個編碼進行中心化處理 ： (二次項編碼)(二次項編碼算術平均值) 利用Excel列出回歸正交組合設計表 表8-19 二元二次回歸正交組合設計編碼表 表8-20 三元二次回歸正交組合設計編碼表 m0=4時， m0=

17、2時，m0=3時(作業(yè)),8.2.2 二次回歸正交組合設計的應用,（1）基本步驟 因素水平編碼 試驗因素的水平被編為，1，0，1， 變化間距：j上水平零水平零水平下水平,8.2.2.二次回歸正交組合設計的應用,（1）基本步驟 確定合適的二次回歸正交組合設計 參考表8-22（p.136) 可參考附錄226頁,試驗方案的實施 回歸方程的建立 常數(shù)項：a 一次項偏回歸系數(shù)：bj 交互項偏回歸系數(shù)：bkj 二次項偏回歸系數(shù)：bjj,回歸方程顯著性檢驗,失擬性檢驗 與一次回歸正交設計是相同的。 回歸方程的回代： 利用中心化公式，將zj轉換成 zj2 利用編碼公式，將規(guī)范變量轉換成自然變量 最優(yōu)試驗方案的

18、確定: 根據(jù)極值的必要條件： 可以求出最優(yōu)的實驗條件(借助于規(guī)劃求解),例8-3 P138,例8-3 為了提高某種淀粉類高吸水性樹脂的吸水倍率，在其它合成條件一定的情況下，重點考察丙烯酸中和度和交聯(lián)劑用量對試驗指標（產(chǎn)品吸水倍率）的影響，已知丙烯酸中和度（x1）的變化范圍為0.70.9，交聯(lián)劑用量（x2）的變化范圍為13 mL，試用二次正交組合設計分析出這兩個因素與試驗指標（y）之間的關系。,例8-3 P138,(1)因素水平編碼,計算依據(jù),m=2，取m0=2，根據(jù)星號臂計算公式或查表得=1.078 x1=0.9 ，x-1=0.7， x10=0.8 1=(0.9-0.8)/1.078=0.09

19、3,x2=3 ，x-1=1， x10=2 2=(3-2)/1.078=0.93,(2)試驗方案,(2)正交組合設計,（3）回歸方程的建立,(4)回歸方程及偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗,(4)方差分析,dfT=n-1=10-1=9 df1=df2=df12=df1=df2=1 dfR=df1+df2+df12+df1+df2=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=9-5=4 MS1=522.5/1=522.5 MS2=SS2/df2=4461.2/1=4461.2 MS12=SS12/df12=182.3 MS1=SS1/df1=1458.8 MS2=SS2/df1=4705.8 MSR=SSR/dfR=11330.6/5=2266.1 MSe=SSe/dfe=49.9/4=12.5 F1=MS1/MSe=522.5/12.5=41.8 F2=MS2/MSe=4461.2/12.5=356.9 F12=MS12/MSe=182.3/12.5=14.6 F1=MS1/MSe=1458.8/12.5=116.7 F2=MS2/MSe=4705.8/12.5=376.5 FR=MSR/MSe=2266.1/12.5=181.3,方差分析表,F0.01(1,4)=21.20 F0.