1、2020/9/3,高數(shù)同濟六版,*第五節(jié),一、被積函數(shù)含參變量的積分,二、積分限含參變量的積分,含參變量的積分,第十章,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,一、被積函數(shù)含參變量的積分,上的連續(xù)函數(shù),則積分,確定了一個定義在a, b上的函數(shù),記作,x 稱為參變量, 上式稱為含參變量的積分.,含參積分的性質(zhì),定理1.(連續(xù)性),上連續(xù),則由 確定的含參積分在a, b上連續(xù)., 連續(xù)性, 可積性, 可微性 :,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,證:,在閉區(qū)域R上連續(xù), 所以一致連續(xù),即,只要,就有,就有,這說明,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,定理1 表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運,算與積分運

2、算的順序是可交換的.,同理可證,續(xù),則含參變量的積分,由連續(xù)性定理易得下述可積性定理:,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,定理2. (可積性),上連續(xù),同樣,推論:,在定理2 的條件下, 累次積分可交換求積順序,即,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,定理3. (可微性),都在,證: 令,函數(shù),2020/9/3,高數(shù)同濟六版,因上式左邊的變上限積分可導,因此右邊,且有,此定理說明, 被積函數(shù)及其偏導數(shù)在閉矩形域上連續(xù),時,求導與求積運算是可以交換順序的 .,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,例1.,解:,由被積函數(shù)的特點想到積分:,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,例2.,解:,考慮含參變量 t 的積分

3、所確定的函數(shù),顯然,由于,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,故,因此得,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,二、積分限含參變量的積分,在實際問題中, 常遇到積分限含參變量的情形,例如,為定義在區(qū)域,上的連續(xù)函數(shù),則,也是參變量 x 的函數(shù) ,其定義域為 a , b .,利用前面的定理可推出這種含參積分的性質(zhì).,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,定理4.(連續(xù)性),上連續(xù),則函數(shù),證: 令,則,由于被積函數(shù)在矩形域,上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù),2020/9/3,高數(shù)同濟六版,定理5. (可微性),都在,中的可微函數(shù),則,證:,令,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,利用復合函數(shù)求導法則及變限積分求導, 得,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,例3.,解:,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,例4.,分小時, 函數(shù),的 n 階導數(shù)存在, 且,證: 令,在原點的某個閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),由定理5 可得,2020/9/3,高數(shù)同濟六版,即,同理,于