1、數(shù)量關系 ,第八章,第一部分 矢量代數(shù),第二部分 空間解析幾何,在三維空間中:,空間形式 點, 線, 面,基本方法 坐標法; 矢量法,坐標,方程（組）,矢量代數(shù)與空間解析幾何,四、利用坐標作矢量的線性運算,第一、二節(jié),一、矢量的概念,二、矢量的線性運算,三、空間直角坐標系,五、矢量的模、方向角、投影,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,矢量及空間直角坐標系,第八章,表示法:,一、矢量的概念,矢量:,(又稱向量).,既有大小, 又有方向的量稱為矢量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,規(guī)定: 零矢量與任何矢量平行 ;,記作,矢量的模 :,矢量的大小,表示法:,矢

2、量的模 :,矢量的大小,一、矢量的概念（舊版）,矢量:,(又稱向量).,既有大小, 又有方向的量稱為矢量,自由矢量:,與起點無關的矢量.,單位矢量:,模為 1 的矢量,零矢量:,模為 0 的矢量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、矢量的線性運算,1. 矢量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 矢量的減法,三角不等式,二、矢量的線性運算（舊版）,1. 矢量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運算規(guī)律 :,交換律,結合律,三角形法則可推廣到多個矢量相加 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,機動 目錄 上頁

3、下頁 返回 結束,3. 矢量與數(shù)的乘法, 是一個數(shù) ,規(guī)定 :,總之:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 設 M 為,解:,定理1.,設 a 為非零矢量 , 則,( 為唯一實數(shù)), 取 ,且,再證數(shù) 的唯一性 .,則,取正號, 反向時取負號,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,依定義顯然成立。,向量的單位化：,三、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 o ,坐標面,卦限(八個),zox面,1. 空間直角坐標系的基本概念,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,向徑,在直角坐標系

4、下,坐標軸上的點 P, Q , R ;,坐標面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數(shù)組,(稱為點 M 的坐標),原點 O(0,0,0) ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,向徑 (矢徑):,起點為原點的矢量.,坐標軸 :,坐標面 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 矢量的坐標表示,在空間直角坐標系下,設點 M,則,沿三個坐標軸方向的分矢量.,的坐標為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,四、利用坐標作矢量的線性運算,設,則,平行矢量對應坐標成比例:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,已知兩點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,B,A,以任意兩點為起終的向

5、量如何用坐標表達呢？,作出A,B兩點對應的矢徑，則,例2.,一向量的終點在點B(2,-1,7)，,解:,設A(x,y,z),它的矢量坐標表,達為,求起點坐標。,例3. 已知兩點,在AB直線上求一點 M , 使,解: 設 M 的坐標為,如圖所示,及實數(shù),得,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,說明: 由,得定比分點公式:,點 M 為 AB 的中點 ,于是得,中點公式:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,五、矢量的模、方向角、方向余弦,1. 矢量的模與兩點間的距離公式,則有,由勾股定理得,因,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 求證以,證:,即,為等

6、腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,為頂點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 在 z 軸上求與兩點,等距,解: 設該點為,解得,故所求點為,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?,離的點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,提示:,(1) 設動點為,利用,得,(2) 設動點為,利用,得,且,例6. 已知兩點,和,解:,求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 方向角與方向余弦,設有兩非零矢量,任取空間一點 O ,稱 =AOB (0 ) 為矢量,的夾角.,類似可定義矢量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角 , , ,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,方向余弦的性質:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算矢量,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例8. 設點 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次為,求點 A 的坐標 .,則,因點 A 在第一卦限 ,故,于是,故點 A 的坐標為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,參考題,解: 因,1. 設,求矢量,在 x 軸上的投影及在 y,軸上的分矢量.,在 y 軸