1、快速搶答！,sinc(x)d (x-1) =,tri(x)d (x + 0.5) =,sinc(x)*d (x-1) =,tri(x) * d (x + 0.5) =,0,sinc(x-1),0.5 d (x + 0.5),tri(x + 0.5),恩格斯(Engels) 把傅里葉的數(shù)學(xué)成就與他所推崇的哲學(xué)家黑格爾(Hegel) 的辯證法相提并論. 他寫道：傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩，黑格爾是一首辯證法的詩.,1.7 傅里葉分析基礎(chǔ),1.7.1 二維傅里葉變換,函數(shù) (滿足狄氏條件) 具有有限周期t,可以展為傅里葉級數(shù):,n級諧波頻率:n/t 相鄰頻率間隔: 1/t,從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換,由于t

2、 分立的n級諧波頻率 n/t f, f: 連續(xù)的頻率變量 相鄰頻率間隔: 1/t 0, 寫作df, 求和積分,寫成兩部分對稱的形式:,這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換,定義及存在條件,函數(shù)f(x,y)在整個x-y平面上絕對可積且滿足狄氏條件(有有限個間斷點(diǎn)和極值點(diǎn),沒有無窮大間斷點(diǎn)), 定義函數(shù),f(x,y): 原函數(shù), F(fx,fy): 像函數(shù)或頻譜函數(shù),傅里葉變換的核: exp(-j2pfx),由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為傅里葉逆變換:,f(x,y)和F(fx,fy)稱為傅里葉變換對,x (y) 和 fx (fy )稱為一對共軛變量, 它們在不同的范疇(時空域或頻域) 描述同一個物理對象.

3、,描述了各頻率分量的相對幅值和相移.,F(fx,fy)是f(x,y)的頻譜函數(shù),1.7.2 廣義傅里葉變換,一、定義,周期函數(shù)：1.只有有限個極值點(diǎn)和間斷點(diǎn)，可展成傅氏級。 2.絕對可積 非周期函數(shù),延拓為周期函數(shù),但光學(xué)中不少有用的函數(shù)，如：脈沖函數(shù)，階躍函數(shù)，不能滿足以上條件，因此必須把以上傅里葉變換定義推廣，才能求出其傅氏變換式。,才可展成傅氏級數(shù)。,定義： 雖然函數(shù) 不存在傅里葉變換，但是卻存在一個函數(shù)序列 ，它存在傅里葉變換，對應(yīng)的頻譜函數(shù)為函數(shù)序列 。而 卻是 當(dāng) 的極限。則定義 的極限為函數(shù) 的廣義傅里葉變換。,。,1.8 傅里葉變換的性質(zhì),1. 線性定理 Linearity,2

4、. 空間縮放 Scaling (相似性定理）,注意空域坐標(biāo)(x,y)的擴(kuò)展(a,b1),導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化. 反之亦然.,3. 位移定理 Shifting,頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移,導(dǎo)致頻譜的位移.,空間位移:原函數(shù)在空域中的平移,相應(yīng)的頻譜函數(shù)振幅分布不變,但位相隨頻率線性改變.,4. 帕色伐(Parseval)定理,若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓, 則| g(x) |2dx 代表信號的總能量(或總功率),| G(f) |2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率),Parseval定理說明,信號的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.

5、或者說等于各頻率分量的能量之和能量守恒,Parseval定理的證明,交換積分順序,先對x求積分:,利用復(fù)指函數(shù)的F.T.,利用d 函數(shù)的篩選性質(zhì),思考題:,5. 卷積定理,空域中兩個函數(shù)的卷積, 其F.T.是各自F.T.的乘積.,空域中兩個函數(shù)的乘積, 其F.T.是各自F.T.的卷積.,將時、空域的卷積運(yùn)算，化為頻域的乘積運(yùn)算，特別有用. 亦可用于求復(fù)雜函數(shù)的F.T.和復(fù)雜函數(shù)的卷積,卷積定理的證明,交換積分順序:,應(yīng)用位移定理,應(yīng)用F.T.定義,利用卷積定理的例子,d (fx,fy),sinc(fx),提問：,傅里葉變換和傅里葉逆變換,重要性質(zhì)：,6. 相關(guān)定理,自相關(guān)與功率譜的關(guān)系:,作為

6、練習(xí)自己證明。提示:利用卷積定理、相關(guān)定義和共軛函數(shù)的F.T.,反過來有:,7. F.T.積分定理,在函數(shù) g 的各連續(xù)點(diǎn)上,留作習(xí)題自證.,可分離變量函數(shù)的變換,= G1(fx) G2(fy),按二維F.T.的定義:,其傅里葉變換也是可分離變量的函數(shù),將二維函數(shù)的F.T. 化為二個獨(dú)立坐標(biāo)上的一維函數(shù)的F.T.的乘積。物理上的大多數(shù)函數(shù)可以這樣處理。,注意: 不可與兩個函數(shù)乘積的F.T.相混淆!,傅里葉變換的計(jì)算方法,1. 用定義直接計(jì)算: rect(x), circ(r) , . 2. 用廣義傅里葉變換的定義計(jì)算并求極限: 1. 3. 用傅里葉變換的性質(zhì)間接導(dǎo)出:,F.T.的積分定理 F.

7、T.的卷積定理,1.9 常用傅里葉變換對,作業(yè),1、已知復(fù)函數(shù) g(x,y) 的傅里葉變換式為 G(fx,fy), 證明：,2、若F g(x,y) = G(fx,fy)，F(xiàn) h(x,y) = H(fx,fy), 求證 (1) F g*(x,y) h(x,y)= G(fx,fy) H(fx,fy) （2）F g(x,y) h(x,y)= G*(fx,fy) H(fx,fy),3、求下列函數(shù)的傅里葉變換,(1) F -1F g(x,y)= g(x,y) (2) F F g(x,y) = g(-x,-y),(3) F g*(x,y)= G*(-fx,-fy),1.3 二維線性系統(tǒng)與線性不變系統(tǒng),用算

8、符表示系統(tǒng),定義:,= a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y),若對任意復(fù)常數(shù)a1， a2有：,則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,1.3.1 線性系統(tǒng),1、線性系統(tǒng)的定義,線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì),線性系統(tǒng)對幾個激勵的線性組合的整體響應(yīng)等于單個激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。,光學(xué)系統(tǒng)可看成二維線性系統(tǒng) 常用 “基元”函數(shù)有d 函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等等。,2、脈沖響應(yīng)和疊加積分,系統(tǒng)對處于原點(diǎn)的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：,系統(tǒng)對輸入平面上坐標(biāo)為(x,h)處的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：,在線性系統(tǒng)中引入脈沖響應(yīng)的意義:,1. 任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合,2. 若已知線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù), 則系統(tǒng)的輸

9、出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合,任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合,根據(jù)d 函數(shù)的卷積性質(zhì)或d 函數(shù)的篩選性質(zhì):,此式的物理意義: 脈沖分解,函數(shù) f(x, y)可以看成輸入(x, y)平面上不同位置處的許多d 函數(shù)的線性組合.每個位于(x, h)的d 函數(shù)的權(quán)重因子是 f (x, h).,對于線性系統(tǒng):,只要知道各個脈沖響應(yīng)函數(shù), 系統(tǒng)的輸出即為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合. 問題是如何求對任意點(diǎn)的脈沖d (x-x, y- h)的響應(yīng)h(x, y; x,h),對一般系統(tǒng)而言, 脈沖響應(yīng)函數(shù)的形式可能是點(diǎn)點(diǎn)不同的,只有對一類特殊的系統(tǒng)線性不變系統(tǒng), h(x, y; x,h)= h(x-x ,

10、 y-h) 成立, 分析可以得到簡化.,脈沖響應(yīng)函數(shù)h(x, y ; x, h )的求法:,1.3.2 二維線性不變系統(tǒng) 2-D Linear Shift-Invariant System,設(shè)系統(tǒng)在 t = 0時刻對脈沖的響應(yīng)為 h(t), 即:,若輸入脈沖延遲時間 t ,其響應(yīng)只有相應(yīng)的時間延遲t, 而函數(shù)形式不變, 即,則此線性系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng). 系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時間而變, 是穩(wěn)定的系統(tǒng). 時間軸平移了, 響應(yīng)也隨之平移同樣的時間,即具有平移不變性.,一、定義,則此線性系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng). 系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時間而變, 是穩(wěn)定的系統(tǒng). 時間軸平移了, 響應(yīng)也隨之平移同樣的時間,

11、即具有平移不變性.,線性不變系統(tǒng) Linear Shift-Invariant System,實(shí)際物理系統(tǒng)大多可近似為平移不變系統(tǒng).,一個二維脈沖函數(shù)在輸入面上位移時, 線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即：,線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng):,線性不變系統(tǒng)的輸入-輸出變換關(guān)系不隨空間位置變化.,這樣的系統(tǒng)稱為二維線性不變系統(tǒng)。,h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h),推廣到二維空間函數(shù),1.5 線性級線性不變系統(tǒng)的空域描述,例：空不變(二維)系統(tǒng) : 等暈成像系統(tǒng),h(x-x ; y-h),光學(xué)成像系統(tǒng)在等暈區(qū)內(nèi)是空

12、間不變的.,例,輸入輸出關(guān)系: 空域,輸出是輸入與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積積分.這也是線性空不變系統(tǒng)的判據(jù).,線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù),傳遞函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的.F.T.,1.6 線性不變系統(tǒng)的頻域描述,傳遞函數(shù)頻率響應(yīng),注意：,H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的頻譜函數(shù),h(x,y)是對d(x,y)函數(shù)的響應(yīng),d 函數(shù)的頻譜恒為1, 即含有所有頻率成分, 并且各頻率成分的權(quán)重都相等(=1).,但h(x,y)的頻譜已經(jīng)改變成H (fx,fy), H (fx,fy)反映了系統(tǒng)對不同頻率成分的響應(yīng), 即頻率響應(yīng),例: 已知線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為 h(x,y) = 7sinc(7x)d(y) 試用