1、.在 教版數(shù)學(xué) 修 2-3 的 本中，第二章概率的 2.2 和 2.4 分 介 了兩種離 散型 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 分 布 ， 超 幾 何 分 布 (hyper-geometric distribution) 與 二 項(xiàng) 分 布（binomial distribution ）。通 例， 學(xué)生 模型所刻畫的隨機(jī) 量的共同特點(diǎn)，從而建立新的模型，并能運(yùn)用兩模型解決一些 。然而在教學(xué) 程中，卻 學(xué)生不能準(zhǔn)確地辨 所要解決的 是屬于超幾何分布 是二 分布，學(xué)生 兩模型的定 不能很好的理解，一遇到含 “取 ”或 “摸 ”的 型，就 是超幾何分布，不加分析，隨便 用公式。事 上，超幾何分布和二 分

2、布確 有著密切的 系，但也有明 的區(qū) 。 本 于超幾何分布的定 是 的：一般的，若一個(gè)隨機(jī) 量x的分布列 ，其中， 稱 x 服從超幾何分布， 。其概率分布表 ：對 于 二 項(xiàng) 分 布 的 定 義 是 這 樣 的 ： 若 隨 機(jī) 變 量x的 分 布 列 為，其中 稱 x 服從參數(shù) n， p 的二 分布， 。其概率分布表 ：超幾何分布與二 分布都是取非 整數(shù) 的離散分布，表面上看， 兩種分布的概率求取有截然不同的表達(dá)式，但看它 的概率分布表，會 構(gòu)造上的相似點(diǎn)，如：隨機(jī) 量x的取 都從 0 化到 l， 概率和 n ，n ，l 三個(gè) 密切相關(guān) 可 兩種分布之 有著密切的 系。 本中 超幾何分布的模型

3、建立是 的：若有n 件 品，其中 m 件是 品，無返回地任意抽取n 件， 其中恰有的 品件數(shù)x 是服從超幾何分布的。而 二 分布 使用比 容易理解的射 來建立模型。若將但超幾何分布的概率模型改成：若有 n 件 品，其中 m 件是 品，有返回的任意抽取n 件， 其中恰有的 品件數(shù) x 是服從二 分布的。 在 里， 兩種分布的差 就在于“有 ”與“無 ”的差 ， 只要將概率模型中的 “無 ”改 “有 ”，或?qū)?“有 ”改 “無 ”，就可以 兩種分布之 的 化?！胺祷?”和 “不返回 ”就是兩種分布 的關(guān) 。;.如在 2.2節(jié)有這樣一個(gè)例題：高三（1 ）班的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲：在一個(gè)口袋中裝有

4、10 個(gè)紅球、 20 個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5 個(gè)球，摸到 4 個(gè)紅球 1個(gè)白球就是一等獎，求獲一等獎的概率。本題采用的解法是摸出球中的紅球個(gè)數(shù)x 服從超幾何分布， 但是如果將 “一次從中摸出5 個(gè)球 ”改為 “摸出一球記下顏色，放回后再摸一球，反復(fù) 5 次 ”，則摸出球中的紅球個(gè)數(shù) x 將不再服從超幾何分布，而是服從二項(xiàng)分布。我們分別來計(jì)算兩種分布所對應(yīng)的概率：這時(shí)發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩種不同的分布其對應(yīng)的概率之間的差距進(jìn)一步縮小了，我們做出這樣的猜想：樣本個(gè)數(shù)越大超幾何分布和二項(xiàng)分布的對應(yīng)概率相差就越小，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為無窮大時(shí)，超幾何分布和二項(xiàng)分布的對應(yīng)概率就相等，換而言之超幾何分

5、布的極限就是二項(xiàng)分布！也就是說。下面我們對以上猜想作出證明：產(chǎn)品個(gè)數(shù) n 無限大，設(shè)廢品率為p ，則，;.以上的證明與我們的直觀思想相吻合：在廢品為確定數(shù)m 的足夠多的產(chǎn)品中，任意抽取 n 個(gè)（由于產(chǎn)品個(gè)數(shù)n 無限多，無返回與有返回?zé)o區(qū)別，故可看作n 次獨(dú)立試驗(yàn)）中含有 k 個(gè)廢品的概率當(dāng)然服從二項(xiàng)分布。在這里，超幾何分布轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布的條件是（1）產(chǎn)品個(gè)數(shù)應(yīng)無限多，否則無返回地抽取n 件產(chǎn)品是不能看作n 次獨(dú)立試驗(yàn)的 .(2）在產(chǎn)品個(gè)數(shù) n 無限增加的過程中，廢品數(shù)應(yīng)按相應(yīng)的“比例 ”增大，否則上述事實(shí)也是不成立的。對于超幾何分布的數(shù)學(xué)期望，二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，當(dāng)我們將“不返回 ”改為 “返

6、回 ”時(shí)，兩種分布的數(shù)學(xué)期望相等，方差之間沒有相等關(guān)系。超幾何分布和二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差是否也具有我們以上猜想并證明的極限關(guān)系呢？事實(shí)上超幾何分布的數(shù)學(xué)期望，方差當(dāng)這兩個(gè)極限值分別是二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。需要指明的是這一性質(zhì)并非只為超幾何分布與二項(xiàng)分布之間所具有， 一般地， 如果隨機(jī)變量依分布收斂于隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差分別是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的極限。這樣超幾何分布與二項(xiàng)分布達(dá)到了統(tǒng)一。一般說來， 有返回抽樣與無返回抽樣計(jì)算的概率是不同的，特別在抽取對象數(shù)目不大時(shí)更是如此。但當(dāng)被抽取的對象數(shù)目較大時(shí)，有返回抽樣與無返回抽樣所計(jì)算的概率相差不大，人們在實(shí)際工作中常利用

7、這一點(diǎn)，把抽取對象數(shù)量較大時(shí)的無返回抽樣（例如破壞性試驗(yàn)發(fā)射炮彈；產(chǎn)品的壽命試驗(yàn)等），當(dāng)作有返回來處理。那么，除了在有無 “返回 ”上做文章， 有沒有什么辦法快速實(shí)現(xiàn)超幾何分布向二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化呢？設(shè)想 n 件產(chǎn)品裝在一個(gè)大袋中，其中m 件為廢品，無返回地從中抽取n 件，那么其中廢品件數(shù)x 服從超幾何分布。現(xiàn)若在大袋中再放進(jìn)兩個(gè)小袋，一袋裝正品，一袋裝廢品，然后從大袋中任摸一個(gè)小袋，無返回地從中任取一件產(chǎn)品，則這樣任取n 件，其中廢品件數(shù)x 就不再服從超幾何分布，而應(yīng)服從的二項(xiàng)分布了。事實(shí)上， 我們把摸到正品袋中的產(chǎn)品看作“成功 ”，摸到廢品袋中的產(chǎn)品看作“失敗 ”，則 “成功 ”與 “失敗 ”的概率相等，皆為且每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，正是典型的伯努力試驗(yàn)概型，因此可用二項(xiàng)分布去刻劃其概率分布列。，從這一點(diǎn)上講， 兩種分布僅 “一袋之隔 ”。將正品和廢品隔離，則超幾何分布將成為二項(xiàng)分布。超幾何分布和二項(xiàng)分布這兩種離散型