1、第二篇 數(shù)學(xué)物理方程,陳尚達(dá) 材料與光電物理學(xué)院,本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解 重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量 法。 特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程。,第二篇緒論,數(shù)學(xué)物理思想,數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程。,數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng) 域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律。,在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常要研究空間連續(xù)分布的各種物理場(chǎng)的狀態(tài)和物理過程，例如電磁波在空間和時(shí)間中的變

2、化，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中雜質(zhì)濃度在硅片中的分布和隨時(shí)間變化關(guān)系等等。總之，是研究某個(gè)物理量在空間某個(gè)區(qū)域的分布以及它怎樣隨時(shí)間變化。其中的自變數(shù)不僅僅是時(shí)間，而且還必須包括空間坐標(biāo)。,解決這些問題，首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規(guī)律和時(shí)間中的變化規(guī)律，這就是物理課題中所研究并加以討論的物理規(guī)律。 物理規(guī)律反映同一物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，即普遍性，亦即共性。,個(gè)性：同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性，即個(gè)性。物理規(guī)律不反映這種個(gè)性。 例如，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中，有“恒定表面濃度擴(kuò)散”和“限定源擴(kuò)散”。前者是表面雜質(zhì)濃度一定，后者是雜質(zhì)總量一定，雖擴(kuò)散規(guī)律一樣，但其結(jié)果顯然不同。 又如電磁

3、波在空間的傳播。,因此，為解決具體問題，必須考慮“環(huán)境”的影響，即邊界所處的物理狀況邊界條件。,同時(shí)，研究問題還不能割斷歷史。 例如同一根琴弦，用不同的東西去敲，發(fā)出的聲音是不一樣的。雖然其振動(dòng)是按照同一規(guī)律進(jìn)行，但是由于所謂“初始”時(shí)刻的振動(dòng)是不一樣的，故后來振動(dòng)也不一樣。 又如，不同初始濃度的硅片雜質(zhì)擴(kuò)散，在相同的工藝條件下，其擴(kuò)散結(jié)果也是不一樣的。,故還必須考慮研究對(duì)象特定“歷史”，即初始時(shí)刻的狀態(tài)初始條件。,邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，即問題的特殊性。在數(shù)學(xué)上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。,物理規(guī)律用數(shù)學(xué)的語言“翻譯”出來，往往是偏微分方程數(shù)學(xué)物理方程。數(shù)學(xué)

4、物理方程，作為同一類物理現(xiàn)象的共性，跟具體條件無關(guān)。在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)物理方程本身（不連帶定解條件）叫作泛定方程。,從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系,根據(jù)分析問題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問題分為正向問題和逆向問題.,不同出發(fā)點(diǎn),正向問題，即為已知源求場(chǎng),逆向問題，即為已知場(chǎng)求源.,前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容。 后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容。,多數(shù)為二階線性偏微分方程,振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程,熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方程,靜電場(chǎng)和引力勢(shì)滿足拉普拉斯方程或泊松方程,數(shù)學(xué)物理方程的類型和所描述的物理規(guī)

5、律,三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,退化為拉普拉斯方程,第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題,1、數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出 2、定解條件 3、數(shù)學(xué)物理方程的分類 4、達(dá)朗貝爾公式,7.1.1波動(dòng)方程的建立,1、 弦的微小橫振動(dòng),考察一根長(zhǎng)為,且兩端固定、水平拉緊的弦,討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：,確定弦的運(yùn)動(dòng)方程,（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律,（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）,要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移,7.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出,注意：物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡(jiǎn)

6、化。 數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)。,圖7.1,（7.1.1）,注意到:,故由圖7.1得,這樣，(7.1.1)和(7.1.2)簡(jiǎn)化為,(7.1.3),(7.1.4),因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出,故有,(7.1.5),即為,討論：,（1）設(shè)弦的重量不能忽略不計(jì)，則弦振動(dòng)方程為怎樣形式？,（7.1.7）,（7.1.8）,(7.1.9),式中,稱為力密度,處單位質(zhì)量上的橫向外力,式（7.1.9）稱為弦的受迫振動(dòng)方程。,2、 均勻桿的縱振動(dòng),（7.1.10）,圖7.2,從圖容易得到B段的伸長(zhǎng)為,而相對(duì)

7、伸長(zhǎng)則為,確切的說，相對(duì)伸長(zhǎng)隨地點(diǎn)而異， B的兩端相對(duì)伸長(zhǎng)不一樣。根據(jù)胡克 定理，B段的運(yùn)動(dòng)方程為：,討論,（7.12）,其中,這與弦振動(dòng)方程（7.8）具有完全相同的形式,3*、傳輸線方程（電報(bào)方程）,（7.1.13）,同理可得：,(7.1.14),式（7.1.13）及（7.1.14）即為一般的傳輸線方程。,圖7.3,(1)無失真線,(7.1.15),其中,(2)無損耗線,（7.1.16）,(7.1.17),具有與振動(dòng)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同,(3)無漏導(dǎo)，無電感線,（7.1.18）,(7.1.19),它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導(dǎo)方程類似的數(shù)學(xué)形式， 盡管它們的物理本

8、質(zhì)根本不同,7.1.2 熱傳導(dǎo)類型方程的建立,1、熱傳導(dǎo)方程,圖7.3,2、 擴(kuò)散方程,(7.1.24),其中,將一維推廣到三維，即得到,(7.1.25),上述方程與熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式,若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為,這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為,（7.1.26）,從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象， 但可以用同一類方程來描述。,7.1.3 靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程,上兩方程分別稱為泊松方程和拉普拉斯方程。,2、 穩(wěn)定溫度分布,導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化,故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程 （7.1.22)，(7.1.23) 即為下列拉普拉斯方程和泊松

9、方程.,(7.1.29),(7.1.30),總結(jié),三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,退化為拉普拉斯方程,作業(yè),P152 1, 4,（7.1.8）,推導(dǎo)不忽略重力時(shí)的弦振動(dòng)方程,7.2 定解條件,7.2.1 初始條件 對(duì)于隨著時(shí)間發(fā)展變化的問題，必須考慮到研究對(duì)象的特定“歷史”，也就是某個(gè)所謂“初始”時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件。,1、波動(dòng)方程的初始條件,例7.2.1 一根長(zhǎng)為,的弦，兩端固定于,和,，如圖7.4所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。,b,解: 初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間， 按題意初始速度為零，即有,初始位移如圖所示,2、熱傳導(dǎo)方程的初始條件 對(duì)于輸運(yùn)過程（擴(kuò)散，熱傳導(dǎo)），初始狀態(tài)指的是研究的

10、物理量 的初始分布（初始濃度分布、初始溫度分布）。因此，初始條件為,（7.2.2）,其中 是已知函數(shù)。,3、沒有初始條件的問題 在周期性外源引起的輸運(yùn)問題或周期性外力作用下的振動(dòng)問題中，經(jīng)過很多周期后，初始條件引起的自由運(yùn)輸或自由振動(dòng)可以認(rèn)為消失，這樣就完全可以忽略初始條件的影響，這類問題稱為沒有初始條件的問題。 穩(wěn)定場(chǎng)問題（靜電場(chǎng)、穩(wěn)定濃度分布，穩(wěn)定溫度分布等）根本就不存在初始條件問題，無需多說。,7.2.2 邊界條件 研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對(duì)象所處的特定“環(huán)境”，二周圍環(huán)境的影響通常體現(xiàn)為邊界上的物理情況，即邊界條件。,常見的線性邊界條件分為三類：,第二類邊界條件,規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值,（7.2. 4）,第三類邊界條件,規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值,（7.2.5）,7.2.3 銜接條件 由于某些原因，研究的區(qū)域里出現(xiàn)躍變點(diǎn)，