1、第八章* 存貯論存貯論自20世紀(jì)初產(chǎn)生以來，經(jīng)歷了幾個(gè)不同的發(fā)展階段。最初它的模型十分簡單，只包含少數(shù)幾個(gè)反應(yīng)關(guān)鍵因素的參數(shù)，后來逐漸增加了更多的參數(shù)，以反映更多的細(xì)節(jié)問題。到了50年代，人們?yōu)榱嗣枋鲭S機(jī)的物資需求和購貨時(shí)間，開發(fā)出了隨機(jī)性存貯模型。所有的存貯模型都局限于對(duì)單一存貯對(duì)象的處理，這種單對(duì)象的存貯問題經(jīng)常被稱為存貯控制。70年代早期，人們?cè)絹碓揭庾R(shí)到物資管理在促進(jìn)工業(yè)發(fā)展中的重要作用。一種被稱為材料需求計(jì)劃（Materials Requirements Planning，簡稱為MRP）的新的物資管理技術(shù)被應(yīng)用于工業(yè)實(shí)踐中。后來這一技術(shù)改名為工廠資源計(jì)劃（Manufacturing

2、Resource Planning，簡稱為MRPC），它的中心思想就是通過生產(chǎn)周期、生產(chǎn)批數(shù)和生產(chǎn)批量，來計(jì)算生產(chǎn)過程的資源需要量。最早人們假設(shè)最終產(chǎn)品對(duì)資源的需求是一個(gè)確定的量，這就大大地簡化了按反方向?qū)Ω鱾€(gè)子過程的時(shí)間及資源需要量的計(jì)算，后來逐步突破了這一假設(shè)，使模型更接近于生產(chǎn)實(shí)際。70年代末、80年代初，在高利率和日本一些成功公司實(shí)例的刺激下，物資管理又掀起了一個(gè)新的高潮。由于高利率意味著對(duì)過量存貯的經(jīng)濟(jì)懲罰，所以適時(shí)生產(chǎn)（Just-in-time）這一概念在當(dāng)時(shí)相當(dāng)流行。雖然存貯論是在研究原料、產(chǎn)品等實(shí)體物資存貯的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，但它的研究范圍決非僅限于此，它有著十分廣泛的應(yīng)用空間

3、。一個(gè)企業(yè)運(yùn)營的流動(dòng)資本可以認(rèn)為是一種存貯，因其在被消耗的同時(shí)會(huì)以收入、債務(wù)或其他形式得到補(bǔ)充。有時(shí)也可以把實(shí)體物資所占用的空間看成是一種存貯，如圖書館為新書準(zhǔn)備的放置空間就可以看成為一種存貯，因?yàn)榭梢约僭O(shè)當(dāng)其被消耗掉時(shí)必須通過某些方式加以補(bǔ)充。本章將探討一些最基本的存貯模型。值得強(qiáng)調(diào)的是研究問題的出發(fā)點(diǎn)是揭示存貯系統(tǒng)的最基本的方面，以對(duì)其關(guān)鍵因素之間的聯(lián)系有一定的理解。建立一些基本的存貯模型并不是要為解決實(shí)際問題提供直接可用的結(jié)論或計(jì)算公式；盡管實(shí)際情況偶爾也會(huì)很好地適合于某一基本模型，但這畢竟是罕見的。研究這些基本模型是為了從中獲取對(duì)存貯系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)與理解，從而獲得針對(duì)具體系統(tǒng)開發(fā)具體模型的

4、能力，更好地解決存貯實(shí)際問題。庫存管理一方面要盡量減少物資的存貯量，以減少存貯費(fèi)用；另一方面又要盡量減少庫存的補(bǔ)充次數(shù)，以減少采購費(fèi)用。然而，這二者是相互矛盾的，對(duì)于年需要量一定的物資而言，存貯量越少補(bǔ)充次數(shù)就越多；同時(shí)補(bǔ)充次數(shù)越少也意味著存貯量越多。如何在矛盾雙方尋求平衡與統(tǒng)一，是庫存管理所要解決的關(guān)鍵問題。存貯系統(tǒng)是由存貯、補(bǔ)充和需求三個(gè)基本要素所構(gòu)成的資源動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其基本形態(tài)如圖8-1所示。需 求補(bǔ) 充存 貯圖8-1存貯系統(tǒng)示意圖1存貯（inventory）企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)總是要消耗一定的資源，由于資源供給與需求在時(shí)間和空間上的矛盾，使企業(yè)貯存定數(shù)量的資源成為必然，這些為滿足后續(xù)生產(chǎn)經(jīng)

5、營需要而貯存下來的資源就稱為存貯。2補(bǔ)充（replenishment）補(bǔ)充即存貯的輸入。由于后續(xù)生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)的不斷進(jìn)行，原來建立起來的存貯逐步減少，為確保生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)不間斷，存貯必須得到及時(shí)的補(bǔ)充。補(bǔ)充的辦法可以是企業(yè)外采購，也可以是企業(yè)內(nèi)生產(chǎn)。若是企業(yè)外采購，從訂貨到貨物進(jìn)入“存貯”往往需要一定的時(shí)間，這一滯后時(shí)間稱為采購時(shí)間。從另一個(gè)角度看，為了使存貯在某一時(shí)刻能得到補(bǔ)充，由于滯后時(shí)間的存在必須提前訂貨，那么這段提前的時(shí)間稱為提前期。存貯論主要解決的問題就是“存貯系統(tǒng)多長時(shí)間補(bǔ)充一次和每次補(bǔ)充的數(shù)量是多少？”，對(duì)于這一問題的回答便構(gòu)成了所謂的存貯策略。3需求（demand）需求即存貯的輸出

6、，它反映生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)對(duì)資源的需要，即從存貯中提取的資源量。需求可以是間斷式的，也可以是連續(xù)式的。存貯系統(tǒng)所發(fā)生的費(fèi)用包括存貯費(fèi)用、采購費(fèi)用和缺貨費(fèi)用。存貯費(fèi)用（holding cost）是指貯存資源占用資本應(yīng)付的利息，以及使用倉庫、保管物、保管人力、貨物損壞變質(zhì)等支出的費(fèi)用。采購費(fèi)用（order cost）是指每次采購所需要的手續(xù)費(fèi)、電信費(fèi)、差旅費(fèi)等，它的大小與采購次數(shù)有關(guān)而與每次采購的數(shù)量無關(guān)。存貯系統(tǒng)所發(fā)生的費(fèi)用除存貯費(fèi)用和采購費(fèi)用之外，有時(shí)還會(huì)涉及缺貨費(fèi)用，缺貨費(fèi)用（stock-out cost）是指當(dāng)存貯供不應(yīng)求時(shí)所引起的損失，如機(jī)會(huì)損失、停工待料損失，以及不能履行合同而繳納的罰款等。

7、1古典經(jīng)濟(jì)采購批量模型古典經(jīng)濟(jì)采購批量模型是一種最簡單的存貯模型，這一模型是建立在如下假設(shè)基礎(chǔ)上的：（1）單一的存貯資源；（2）不允許缺貨，即缺貨損失無窮大；（3）采購時(shí)間很短，可以近似地看作“0”，即一旦采購庫存立刻得到補(bǔ)充；（4）每次的采購費(fèi)用為常數(shù)，不隨采購數(shù)量的多少而改變；（5）需求是連續(xù)穩(wěn)定的，即假設(shè)需求速度（單位時(shí)間的需求量）為常數(shù)；（6）單位資源在單位時(shí)間的存貯費(fèi)用為常數(shù)。從某一時(shí)點(diǎn)開始（不妨假設(shè)此時(shí)的存貯量為“Q”），隨著需求連續(xù)而穩(wěn)定地發(fā)生，存貯量將以速度d下降，當(dāng)存貯量降為“0”時(shí)（由于采購時(shí)間為零，所以不需要提前采購），為了確保需求的連續(xù)性必須進(jìn)行第一次采購，若采購批量為

8、“Q”，庫存立即恢復(fù)到初始狀態(tài)。此后，庫存量仍以速度d下降，從而導(dǎo)致第二次、第三次采購，如此循環(huán)下去。令代表第次的采購批量，那么是大于、小于還是等于呢？對(duì)于這一問題，我們?cè)谥廊绾斡?jì)算采購批量之前就可得出與相等的結(jié)論。假設(shè)第一次采購所發(fā)生的時(shí)刻為，那么時(shí)點(diǎn)上的庫存量（即第一次的采購批量）是由時(shí)點(diǎn)的整個(gè)未來過程的費(fèi)用效益關(guān)系來決定的；而也是如此。由于未來過程是無限的且不隨時(shí)間的變化而變化，所以對(duì)和時(shí)點(diǎn)來說其未來過程是完全一樣的，即與是相等的。由與相等可以推知每次的采購批量都是相等的。若將時(shí)間零點(diǎn)剛好選在第一次采購的時(shí)點(diǎn)上，古典經(jīng)濟(jì)采購批量模型系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程可用圖8-2來加以描述。代表采購批量，代

9、表相鄰兩次采購的時(shí)間間隔。實(shí)際上，就是以速率消耗掉單位庫存所需的時(shí)間，因此。QQQddTTT時(shí)間存貯水平圖8-2如何確定的取值是一個(gè)核心問題。有許多種方式可以建立起費(fèi)用隨變化而變化的費(fèi)用方程，然而有一些方式所建立起來的費(fèi)用方程是沒有結(jié)果的。例如，由于存貯水平是呈周期性變化的，那么各個(gè)周期的費(fèi)用就是相同的，所以只要使得一個(gè)周期的費(fèi)用最小，也就確保了全部費(fèi)用最小。從這一思路出發(fā)，可以得出如下費(fèi)用方程：周期費(fèi)用 = 采購費(fèi)用 + 存貯費(fèi)用 （8-1）式（8-1）中代表每次的采購費(fèi)用，是周期平均存貯量，代表單位貨物在單位時(shí)間里的存貯費(fèi)用。為尋求使周期費(fèi)用最小的采購批量有：（周期費(fèi)用）從而。最小的周期費(fèi)

10、用確實(shí)是在時(shí)取得，這一奇特的結(jié)果說明上述方法是不合適的。從直觀上可以看出，這種方法降低存貯費(fèi)用是以減少循環(huán)周期為代價(jià)的；而循環(huán)周期越短，在一定時(shí)間里補(bǔ)充庫存的次數(shù)就越多，此方法問題就出在我們追求的目標(biāo)是使某一時(shí)間間隔內(nèi)的費(fèi)用最小而不是周期費(fèi)用最小。找出了問題所在，可對(duì)費(fèi)用方程進(jìn)行如下調(diào)整： （8-2）式（8-2）中代表單位時(shí)間費(fèi)用。0圖8-3在這一方程里，我們感興趣的是的取值，即選擇適當(dāng)?shù)囊允箚挝粫r(shí)間費(fèi)用（費(fèi)用率）最小。圖8-3描述了費(fèi)用率與批量之間的數(shù)量關(guān)系。式（8-2）中的第一項(xiàng)是關(guān)于的倒數(shù)函數(shù)，因此隨的增加而減少；第二項(xiàng)是關(guān)于的線性函數(shù)，從零開始隨的增加單調(diào)遞增。因此，二項(xiàng)之和一定存在一

11、個(gè)最小值，且這一最小值發(fā)生在費(fèi)用率對(duì)批量導(dǎo)數(shù)為“0”的處，即： （8-3）式（8-3）就是非常著名的經(jīng)濟(jì)批量模型，該式還經(jīng)常被稱為威爾遜-哈利斯公式（Wilson-Harris）或平方根法則等。因?yàn)椋顑?yōu)的采購時(shí)間間隔或稱為循環(huán)周期應(yīng)為： （8-4）把經(jīng)濟(jì)采購批量代入單位時(shí)間費(fèi)用方程，可得最小費(fèi)用率為： （8-5）注意，式（8-5）中并未包括貨物的自身價(jià)值，這是由于單位時(shí)間內(nèi)貨物的需要量與貨物的單價(jià)均為確定的量，即二者的乘積為常數(shù)，所以貨物自身的價(jià)值并不會(huì)影響經(jīng)濟(jì)批量的取值。認(rèn)真分析一下經(jīng)濟(jì)批量模型，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它所反映的各因素之間的關(guān)系正是我們所希望的。因?yàn)楹吞幱诜肿由?，所以?dāng)采購費(fèi)用、需求速度

12、增加時(shí)經(jīng)濟(jì)批量隨之增加。同樣由于處在分母上，所以當(dāng)存貯費(fèi)用增加時(shí)經(jīng)濟(jì)批量減少。下面我們通過一個(gè)相當(dāng)直接、相當(dāng)?shù)湫偷拇尜A問題來演示這一模型的應(yīng)用。例8-1 為了報(bào)刊發(fā)行的需要，報(bào)社必須關(guān)心適時(shí)補(bǔ)充新聞紙庫存的問題。假設(shè)這種新聞紙以“卷”為單位進(jìn)貨，印刷需求的速度是每周32卷。補(bǔ)充費(fèi)用（包括簿記費(fèi)、交易費(fèi)和經(jīng)銷費(fèi)等）是每次25元。紙張的存貯費(fèi)（包括租用庫存費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)和占用資金的利息等）是每卷每周1元。試求這家報(bào)社這種新聞紙的經(jīng)濟(jì)采購批量和補(bǔ)充的時(shí)間間隔。已知：，求：和解：利用式（8-3）有：（卷）利用式（8-4）有：（周）這家報(bào)社新聞紙的經(jīng)濟(jì)采購批量為40卷，采購的間隔時(shí)間為周。例8-2 某軋鋼廠

13、計(jì)劃每月生產(chǎn)角鋼5000噸，每噸每月的存貯費(fèi)用為4元。每組織一批生產(chǎn)，需要2500元的固定費(fèi)用。若該廠每月生產(chǎn)角鋼一批，批量為5000噸，那么全年費(fèi)用為：（元/年）若按經(jīng)濟(jì)批量模型計(jì)算經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量有：（噸）每月生產(chǎn)的批數(shù)：（批）利用式（8-5）計(jì)算全年費(fèi)用為：（元/年）二者比較，按經(jīng)濟(jì)批量模型組織生產(chǎn)每年可節(jié)約3萬元的費(fèi)用。2允許缺貨的經(jīng)濟(jì)批量模型允許缺貨的經(jīng)濟(jì)批量模型的假設(shè)與古典經(jīng)濟(jì)采購批量模型的假設(shè)基本相同，唯一的區(qū)別就在于缺貨不是絕對(duì)禁止的，而僅僅是規(guī)定了一定的損失。由于這一區(qū)別的存在，一般來說當(dāng)缺貨不受損失或損失較小時(shí)，最優(yōu)策略就有可能是發(fā)生短缺的策略。當(dāng)存貯水平降為“0”時(shí)，如果不是

14、立即訂貨而是延遲一定時(shí)間，這就意味著追加一定量的缺貨費(fèi)用以換取更大的存貯費(fèi)用的節(jié)約。這種存貯模型的圖形雖然仍為“鋸齒”形，但它的圖形已部分地出現(xiàn)在水平線以下，如圖8-4所示。這里的負(fù)庫存代表“售出”但未“交付”的貨物。時(shí)間存貯水平圖8-4根據(jù)以往的記法，令為單位缺貨在單位時(shí)間里的損失，為剛剛得到補(bǔ)充后的存貯量，即最大存貯量。圖8-5可以幫助我們建立起費(fèi)用方程，即單位時(shí)間的費(fèi)用為： （8-6）圖8-5式（8-6）分別對(duì)和求偏導(dǎo)并令為“0”，求解方程組可得： （8-7） （8-8）將和代入的表達(dá)式，可得： （8-9）相鄰兩次采購的時(shí)間間隔： （8-10）比較允許缺貨和不允許缺貨條件下的最小費(fèi)用率和

15、采購時(shí)間間隔，可以發(fā)現(xiàn)允許缺貨的最小費(fèi)用率要比不允許缺貨的最小費(fèi)用率來得小，而采購的時(shí)間間隔卻延長了。例8-3 例8-1的其他條件不變，只將不允許缺貨改為允許缺貨，而且令單位缺貨在一周里的損失為3元，試求此時(shí)的經(jīng)濟(jì)采購批量、最大的存貯量和采購間隔期。已知：，求：和解：利用式（8-7）有：（卷）利用式（8-8）有：（卷）利用式（8-10）有：（周）此時(shí)的經(jīng)濟(jì)采購批量約為46卷，最大的庫存量約為35卷，采購間隔期約為周。3生產(chǎn)批量模型庫存的補(bǔ)充并非總是能瞬間完成的，有時(shí)它是一點(diǎn)點(diǎn)逐漸進(jìn)行的。如果庫存的貨物不是從外部買入的，而是自己內(nèi)部生產(chǎn)的，情況就是如此。因?yàn)閹齑嫜a(bǔ)充從外部買入轉(zhuǎn)為內(nèi)部生產(chǎn)，所以相

16、應(yīng)的采購批量也改為生產(chǎn)批量，其模型稱為生產(chǎn)批量模型。存貯量時(shí)間圖8-6生產(chǎn)批量模型與采購批量模型非常相似，它的存貯動(dòng)態(tài)如圖8-6所示。圖中加重標(biāo)以的粗線段表示生產(chǎn)持續(xù)的時(shí)間，當(dāng)然在此期間需求也在連續(xù)而穩(wěn)定地進(jìn)行，生產(chǎn)的產(chǎn)品一部分滿足需求，一部分作為存貨進(jìn)入存貯過程。讓表示生產(chǎn)率，且有。不失一般性，假設(shè)分析過程從“0”庫存開始；由于此時(shí)生產(chǎn)與需求同時(shí)進(jìn)行，所以庫存的凈增長率為，庫存將連續(xù)增加這么長時(shí)間，就是生產(chǎn)完一批貨物所需的時(shí)間。如果仍然用表示生產(chǎn)批量，那么有，所以最大庫存量。有了最大的庫存量表達(dá)式，即可進(jìn)一步建立起平均存貯量的表達(dá)式及費(fèi)用率方程。將費(fèi)用率方程對(duì)生產(chǎn)批量求導(dǎo)并令該導(dǎo)數(shù)為“0”，

17、可求得經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量及最低的費(fèi)用率： （8-11） （8-12）例8-4 某廠每月生產(chǎn)需要甲零件100件，該廠自己組織該零件的生產(chǎn)，生產(chǎn)速度為每月500件，每批生產(chǎn)的固定費(fèi)用為5元，每月每件產(chǎn)品存貯費(fèi)為元，求經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量、最低費(fèi)用率以及生產(chǎn)間隔期。已知：，求：、和解：（件）（元）（月）（天）每批生產(chǎn)批量約為56件，每月生產(chǎn)所需最低固定費(fèi)用及存貯費(fèi)用約為18元，生產(chǎn)間隔期約為17天。4允許缺貨的生產(chǎn)批量模型該模型的假設(shè)條件除允許缺貨外，其余條件皆與生產(chǎn)批量模型相同。其存貯動(dòng)態(tài)如圖8-7所示。斜率=SBtt3t2t10存貯量時(shí)間圖8-7斜率=取0，為一個(gè)存貯周期，為生產(chǎn)周期（即一批產(chǎn)品生產(chǎn)所持續(xù)的時(shí)

18、間），0，時(shí)間里存貯量為“0”，為最大缺貨量。由圖8-7容易知道：，即即或存貯周期費(fèi)用：（1） 存貯費(fèi)將代入表達(dá)式消去，存貯費(fèi)為（2） 缺貨費(fèi)用將代入表達(dá)式消去，缺貨費(fèi)用為（3） 固定費(fèi)用存貯周期的平均費(fèi)用率：令求解可得，相應(yīng)有 （8-13） （8-14） （8-15）例8-5 若例8-4的限制條件發(fā)生變化，允許缺貨，單位缺貨的月費(fèi)用為元，其他條件不變。試求經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量、最大的存貯量和最大的缺貨量。已知：，求：、和解：（件）（件）（件）經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量約為63件，最大存貯量約為40件，而最大缺貨量約為10件。5價(jià)格有折扣的存貯模型圖8-8以上所討論的模型都假設(shè)貨物的單價(jià)是一個(gè)常數(shù)，所以得出的存貯策

19、略都與貨物單價(jià)無關(guān)?，F(xiàn)在介紹貨物單價(jià)（或生產(chǎn)成本）隨訂購（或生產(chǎn)）數(shù)量而變化時(shí)的存貯策略。我們?？吹揭环N商品有所謂零售價(jià)、批發(fā)價(jià)和出廠價(jià)，購買同一種商品的數(shù)量不同，商品單價(jià)也不同。一般情況下購買數(shù)量越多，商品單價(jià)越低。記貨物單價(jià)為，設(shè)按三個(gè)數(shù)量等級(jí)變化，如圖8-8所示。當(dāng)訂貨量為時(shí)，一個(gè)采購周期內(nèi)所發(fā)生的費(fèi)用為：當(dāng)時(shí)，周期費(fèi)用為：當(dāng)時(shí)，周期費(fèi)用為：當(dāng)時(shí)，周期費(fèi)用為：平均單位貨物所需要的費(fèi)用為（如圖8-9所示）：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：圖8-9如果不考慮、和的定義域，它們之差是一個(gè)常數(shù)，因此它們的導(dǎo)數(shù)函數(shù)具有相同的形式。對(duì)圖8-9的直觀觀察，可以啟發(fā)我們考慮和哪一個(gè)更小的問題。設(shè)經(jīng)濟(jì)批量為，對(duì)在不考慮

20、定義域的情況下求其極小點(diǎn)。若，求、和，由決定的取值；若，求和，由決定的取值；若，則取。以上步驟不難推廣到單價(jià)折扣具有個(gè)等級(jí)的情況。例8-6 某企業(yè)生產(chǎn)每年需要某種零件10000件，每次的采購費(fèi)是100元，每件每年的保管費(fèi)用為元，不允許缺貨。零件單價(jià)隨采購數(shù)量的不同而變化，采購量小于1000件時(shí)，單價(jià)為10元；采購量介于10001999時(shí)，單價(jià)為8元；采購量大于等于2000件時(shí)，單價(jià)為7元，試確定經(jīng)濟(jì)采購批量。已知：，求：解：（件）因?yàn)椋苑謩e計(jì)算和：（元/件）（元/件）由可知經(jīng)濟(jì)采購批量件。由于采購批量不同，采購周期（相鄰兩次采購的時(shí)間間隔）的長短也就不一樣，所以上述分析利用了單位貨物費(fèi)用來

21、比較方案的優(yōu)劣。當(dāng)然也可以利用不同批量下的年度費(fèi)用來比較方案的優(yōu)劣，下面討論例8-6在這一準(zhǔn)則下的結(jié)果。設(shè)采購批量為時(shí)的年度費(fèi)用是，于是（元/件）（元/件）（元/件）由于，而當(dāng)時(shí)年度費(fèi)用單調(diào)增加，所以最小的年度費(fèi)用為，即經(jīng)濟(jì)采購批量件。這與采用單位貨物費(fèi)用準(zhǔn)則所得到的結(jié)果完全一致。例8-7 將例8-6的折扣方式加以調(diào)整，折扣價(jià)只對(duì)超出限額部分有效（例如，如果采購批量為2050件，那么前1000件的價(jià)格是10元，中間1000件的價(jià)格是8元，最后50件的價(jià)格是7元），試確定經(jīng)濟(jì)采購批量。解：利用單位貨物費(fèi)用準(zhǔn)則有（件）（元/件）當(dāng)時(shí)：因此有（元/件）。當(dāng)時(shí)：令有（件）（元/件），經(jīng)濟(jì)采購批量件。當(dāng)

22、時(shí)，利用年度費(fèi)用準(zhǔn)則有因此有元/年。當(dāng)時(shí)，利用年度費(fèi)用準(zhǔn)則有令，有（件）因此有元/年，經(jīng)濟(jì)采購批量件。6隨機(jī)性存貯模型研究隨機(jī)存貯問題的目的只是初步反映存貯系統(tǒng)中隨機(jī)因素的處理思想，并非試圖一覽所有的隨機(jī)存貯問題。與處理確定性問題相比，處理不確定性問題所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)要多得多、也難得多；因此，企圖把那些不確定因素人為確定下來的誘惑是很大的。然而必須強(qiáng)調(diào)在這一誘惑下所采取的行動(dòng)將是十分危險(xiǎn)的。隨機(jī)性存貯模型的重要特征是需求為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于需求而言，已知的信息只是它的概率或概率分布。隨機(jī)性存貯模型的不允許缺貨條件只能從概率的意義上來加以理解，如不發(fā)生缺貨的概率為0.95或0.90等；存貯策略的

23、優(yōu)劣也只能通過期望值的大小來加以衡量。本節(jié)首先研究的是報(bào)童問題（newsboy problem），雖然報(bào)童問題也有大量的直接應(yīng)用，但更重要的目的是通過報(bào)童問題來揭示更復(fù)雜的隨機(jī)存貯問題的分析方法。1報(bào)童問題有這樣一類存貯問題，在全部的需求過程中對(duì)采購決策僅有一次，也就是說隨著庫存的減少甚至耗竭并沒有補(bǔ)充庫存的機(jī)會(huì)。由于在這個(gè)階段里的需求是一個(gè)不確定的量，這就可能使決策者處于進(jìn)退兩難的境地。為了使全部潛在的收益得以實(shí)現(xiàn)，要求批量足夠大；而為了避免過剩造成的損失，又要求批量不能太大。街角賣報(bào)的報(bào)童就面臨著這樣的問題。這種模型雖然是通過解決報(bào)童問題提出來并得以命名的，但它適用于許多與之相似的存貯問題

24、；例如，為一場球賽應(yīng)準(zhǔn)備多少“熱狗”，為一年一度的圣誕節(jié)應(yīng)準(zhǔn)備多少圣誕樹等。事實(shí)上，報(bào)童在一天內(nèi)賣的每一張具體的報(bào)紙對(duì)研究問題并不重要，重要的只是一天下來到底賣了多少，所以我們可以不對(duì)時(shí)間段內(nèi)的一些細(xì)節(jié)加以考慮。報(bào)童問題的最顯著特征就是它的批量決策是一次性的。報(bào)童問題中的需求盡管是不確定的，但必須知道批量過大和批量過小后果間的適當(dāng)關(guān)系。用代表單位貨物的采購價(jià)，代表貨物售出價(jià)；那么就代表售出單位貨物的利潤額。用代表單位貨物的殘值，如果過剩的貨物完全報(bào)廢的值為零；有時(shí)的取值也可能為負(fù)，比如當(dāng)過剩的貨物需要付費(fèi)處理時(shí)就是如此。然而，在任何情況下都應(yīng)存在，因?yàn)槿绻皇沁@樣，就可以從過剩的貨物中獲得收益

25、，從而得出批量越大越好的結(jié)論。被稱為單位過剩貨物的損失。同上述各節(jié)的模型一樣，仍用來代表采購批量；用代表每次采購的固定費(fèi)用；用表示顧客需求沒有被完全滿足時(shí)的單位缺貨損失；用代表不確定的需求，其概率分布為，需求的概率分布可以被理解為需求為的概率。為了把收益表示成關(guān)于的表達(dá)式，暫時(shí)假想是確定的。由于和對(duì)應(yīng)的收益表達(dá)式是不一樣的，所以我們將分別就這兩種情況加以討論。當(dāng)時(shí)，單位的貨物能以的價(jià)格銷售掉，剩余的將以的價(jià)格處理掉。由于每次的采購費(fèi)用為，所以收益的表達(dá)式應(yīng)為： （8-16）當(dāng)時(shí)，所有單位的貨物都能以的價(jià)格銷售掉。在此情況下，雖然不存在剩余貨物的問題，但卻造成了缺貨損失，所以此時(shí)收益的表達(dá)式應(yīng)為

26、： （8-17）由式（8-16）和（8-17）可以得出一個(gè)包含各種情況的期望收益表達(dá)式。期望收益即各種情況下的收益以其發(fā)生概率為權(quán)重的代數(shù)和，即：整理有 （8-18）至此，剩下的問題就只有尋找能使達(dá)到最大值的了。盡管從邏輯上來講和都是整數(shù)型的量；但在此我們?nèi)匀粚⑺鼈兲幚沓蛇B續(xù)型的量，這將給整個(gè)問題的求解以及解的表示帶來極大的方便。為此，原來求和的形式必須由積分的形式來代替，同時(shí)也應(yīng)變?yōu)殡S機(jī)變量的概率密度函數(shù)。變化后的表達(dá)式為： （8-19）圖8-10這是一個(gè)關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，其圖形如圖8-10所示。求的極大值涉及處于積分限上的積分項(xiàng)的微分問題；然而，這并算不上什么難題，被稱為萊布尼茲（Leibn

27、iz）的公式就解決了這一問題?，F(xiàn)將萊布尼茲公式表述如下：如果那么將萊布尼茲公式應(yīng)用于式（8-19），可得的微分形式：因是一個(gè)密度函數(shù)，所以：令并整理有： （8-20）除非擁有關(guān)于的進(jìn)一步信息，否則式（8-20）就是批量的最嚴(yán)密表達(dá)式了。雖然上式作為的解是不夠理想的，但它確實(shí)可以表明的取值。式（8-20）左側(cè)的積分可被解釋為需求超過的概率，即最優(yōu)批量的確定應(yīng)使順利售空的概率等于。這種解在存貯模型中并非罕見，在本節(jié)的下一個(gè)問題中我們會(huì)再次遇到它。無論什么時(shí)候，總是由以其為限的需求的累積分布等于一個(gè)固定的代數(shù)式來決定的，因此這種解也被稱為轉(zhuǎn)折點(diǎn)比率策略。下面我們利用一個(gè)示例演示這一模型的應(yīng)用。例8-

28、8 假設(shè)報(bào)童以每張8角的價(jià)格購進(jìn)報(bào)紙，以每張15角的價(jià)格出售，如果報(bào)紙過剩，報(bào)童可以以每張1角的價(jià)格退回給報(bào)社。由于報(bào)童進(jìn)報(bào)過少不會(huì)造成直接的缺貨損失，所以缺貨損失定為“0”。再假設(shè)需求是以150為期望值，以25為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，試求報(bào)童最佳的進(jìn)報(bào)量。已知：、求：解：即在的右側(cè)密度函數(shù)下方的面積應(yīng)該為。根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得采購批量（等于期望值），即最優(yōu)的進(jìn)報(bào)批量剛好與需求的期望值相等。現(xiàn)假設(shè)報(bào)童找到了一個(gè)愿出5角的價(jià)格購買其剩余報(bào)紙的廠商，即假設(shè)從1增至5，此時(shí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)比變?yōu)椋杭醋顑?yōu)采購批量增至其右側(cè)的密度函數(shù)下方的面積只有。通過查閱正態(tài)分布表可知；即，由于降低了過剩的損失（風(fēng)險(xiǎn)），所以

29、采購批量有所增加。采購的固定費(fèi)用并沒有在轉(zhuǎn)折點(diǎn)比率中出現(xiàn)，也就是說并不會(huì)影響的取值。然而，對(duì)的影響有時(shí)也會(huì)扮演一個(gè)重要的角色，當(dāng)大到使最優(yōu)期望收益變?yōu)樨?fù)值時(shí)，最優(yōu)策略將變?yōu)楦静粡氖逻@一商業(yè)活動(dòng)。例8-9 某商店為今年的圣誕節(jié)準(zhǔn)備圣誕樹，每棵的進(jìn)貨價(jià)為50元，售價(jià)為70元，未能售出的圣誕樹商店可以以40元的價(jià)格反銷給生產(chǎn)商。已知銷售量是一個(gè)服從泊松分布的隨機(jī)變量，即存在。據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，需求的期望值，問該商店應(yīng)采購多少棵圣誕樹？已知：、求：解：，于是有故最佳的采購量，即該店應(yīng)購進(jìn)7棵圣誕樹，此時(shí)的期望收益最大。2批量訂貨點(diǎn)模型由于批量訂貨點(diǎn)模型將考慮問題的時(shí)間方面，因而它要比以往任何一種模型都復(fù)雜

30、。庫存的補(bǔ)充會(huì)有一個(gè)滯后時(shí)間，這一滯后時(shí)間記為，為簡化問題假設(shè)是一個(gè)確定的量。由于需求的隨機(jī)性，即使是一個(gè)確定量也無法保證剛好在庫存為“0”（耗空）時(shí)到貨。處理這一模型的綜合策略是當(dāng)庫存降到某一固定水平時(shí)即開始訂貨，這一標(biāo)志著采購開始的庫存水平稱為訂貨點(diǎn)，記為；另一個(gè)決策變量是采購批量，因采購總是在庫存降為時(shí)發(fā)生，而其他條件也都一樣，因此沒有理由使每次采購的批量不相等。無論、和取什么值，總是存在到貨之前庫存被消耗空的可能。這里假設(shè)當(dāng)庫存降為“0”時(shí)，后續(xù)所發(fā)生的需求作為反向訂貨（負(fù)庫存）被累積下來，當(dāng)貨物到達(dá)時(shí)再給予補(bǔ)償。用代表單位缺貨的懲罰成本，這一單位缺貨懲罰成本與缺貨持續(xù)的時(shí)間是沒有關(guān)系

31、的。為了與前面的模型相一致，每次訂貨的固定費(fèi)用仍用來表示，單位貨物在單位時(shí)間里的存貯費(fèi)用也還用來表示。盡管在這一模型中的需求率已不是一個(gè)確定量，但仍然可以用來表示需求率的期望值。的量綱是單位時(shí)間的貨物量，單位時(shí)間一般指一年。在滯后期這一時(shí)間里，需求的概率分布由密度函數(shù)給出，概率分布的數(shù)學(xué)期望用來表示。盡管在上述記法中沒有涉及、和三者之間的關(guān)系，但在它們之間卻隱含著這一簡單關(guān)系。其實(shí)這一關(guān)系并不難理解，因?yàn)槿绻皇沁@樣，滯后期內(nèi)的期望需求將大于或小于其他等時(shí)間段內(nèi)的期望需求。由于、和三者之間存在著的固定關(guān)系，所以三者中的任何一個(gè)都可以用其他兩個(gè)表示出來，從理論上來講任意地去掉一個(gè)符號(hào)應(yīng)該是沒什么

32、問題的。然而，在單獨(dú)考慮它們時(shí)，每一個(gè)都有其獨(dú)特而有用的含義；因此，三者都將繼續(xù)保留下去。時(shí)間庫存圖8-11圖8-11顯示了存貯隨時(shí)間的變化形式；雖然和在每一存貯周期里都是相同的，但各存貯周期卻不具有相同的時(shí)間段，并且剛剛補(bǔ)充后的存貯水平（即峰頂）也不具有相等的高度。年度費(fèi)用是由訂貨費(fèi)用、缺貨費(fèi)用和存貯費(fèi)用構(gòu)成的，因此有： （8-21）式中為年度費(fèi)用期望值、為訂貨費(fèi)用、為缺貨費(fèi)用、為存貯費(fèi)用。訂貨費(fèi)用是容易獲得的，它是每次訂貨費(fèi)用與每年存貯周期期望值的乘積。若所有的需求都被滿足，由于為每年的期望需求，而是每一存貯周期內(nèi)的平均需求量，所以每年存貯周期的期望值應(yīng)為，因此有。缺貨費(fèi)用的表達(dá)式為單位缺

33、貨費(fèi)、每一存貯周期的缺貨數(shù)量期望值，以及年平均存貯周期數(shù)三者之積。每年的平均存貯周期數(shù)是，這一點(diǎn)剛剛討論過；因此，問題只是如何去決定每一存貯周期的缺貨數(shù)量期望值。缺貨只能在滯后期的需求超出訂貨點(diǎn)時(shí)才會(huì)發(fā)生；因此，如果用代表滯后時(shí)間里的需求，那么缺貨數(shù)量應(yīng)為：為求得這一數(shù)量的數(shù)學(xué)期望值，必須給出各種取值以其發(fā)生概率為權(quán)重的加權(quán)和。讓代表缺貨數(shù)量期望值，那么： （8-22）關(guān)于如何求解以后將作進(jìn)一步地說明，但現(xiàn)在對(duì)于表示每年的缺貨費(fèi)用期望值，就已經(jīng)足夠了；即： （8-23）為單位貨物每年的存貯費(fèi)與年均存貯量之積。年均存貯量將由一個(gè)“典型”存貯周期的平均存貯量來代替?！暗湫汀钡拇尜A周期，即它的一切數(shù)

34、值都是全部周期相應(yīng)數(shù)值的數(shù)學(xué)期望；也就是說，它的初始存貯水平是各個(gè)周期初始存貯水平的期望值、它的周期時(shí)間是所有周期時(shí)間的期望值等等。我們并不能希望這樣的存貯周期真的出現(xiàn)，實(shí)際上它只是為了幫助建立年度平均存貯量表達(dá)式而構(gòu)想出的一個(gè)概念。這一構(gòu)想的概念可以發(fā)揮一定的作用，僅僅是因?yàn)槠谕祷蚱骄蹈芊衔覀兊闹庇X?！暗湫汀敝芷诳捎蓤D8-12來加以描述，周期從某次到貨開始。關(guān)于存貯水平，唯一確定的信息就是開始訂貨時(shí)的庫存量為。因在滯后期這段時(shí)間里，需求仍以其隨機(jī)形式連續(xù)進(jìn)行，而且需求的期望值為，所以剛好到貨前的存貯水平期望值就為（它可以取負(fù)值），從而可知此周期的初始庫存期望值是。隨后，由于需求過程的

35、作用，庫存逐漸減少到下一批補(bǔ)充到貨。下一批貨物的到達(dá)標(biāo)志著本周期的結(jié)束，周期結(jié)束時(shí)存貯水平的期望值仍然為，“典型” 周期的平均庫存就是：時(shí)間庫存圖8-12通過如此討論可知，年度存貯費(fèi)用的期望值表達(dá)式為： （8-24）綜合各項(xiàng)費(fèi)用，年度總費(fèi)用的期望值為：這是一個(gè)以和為變量要求極小化的函數(shù)。因和均為非負(fù)的量，所以此極小值應(yīng)存在，并且在對(duì)和的偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)上達(dá)到，即經(jīng)濟(jì)批量表達(dá)式為： （8-25）值得注意的是，隨機(jī)經(jīng)濟(jì)批量模型與古典經(jīng)濟(jì)批量模型十分相似。顯然，在古典經(jīng)濟(jì)批量模型中，如果給一個(gè)增量，那么在確定條件下的經(jīng)濟(jì)批量就與在不確定條件下的經(jīng)濟(jì)批量完全一致了。當(dāng)然，在此和仍然還是未知量。求年度總費(fèi)

36、用的期望值對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，可得：對(duì)式（8-22）利用萊布尼茲公式進(jìn)行微分有：將此式代入上述的偏微分表達(dá)式并令其為零，求解可得： （8-26）同報(bào)童問題一樣，的最優(yōu)解又出現(xiàn)了這種積分形式。方程左側(cè)是在滯后期這一時(shí)間里需求超出的概率；也就是說訂貨點(diǎn)必須足夠大，從而保證缺貨的概率僅為轉(zhuǎn)折點(diǎn)比率。盡管現(xiàn)在已經(jīng)得到了和的表達(dá)式，但由于二者相互包含，所以問題并沒有真正徹底地得到解決。幸好存在一種相當(dāng)有效的逐步漸近的方法，能使這一問題得以圓滿解決；這種方法的基本步驟是：（1） 令，利用式（8-25）計(jì)算的暫時(shí)值，即為確定條件下的經(jīng)濟(jì)批量；（2） 利用式（8-26），通過求出；（3） 利用式（8-22），通過求出

37、；（4） 返回第一步，利用計(jì)算；如此循環(huán)直至和的值趨于穩(wěn)定，最終穩(wěn)定的和即為最優(yōu)解。在實(shí)際工作中，這一過程的收斂是相當(dāng)快的，經(jīng)常和就已經(jīng)是和最優(yōu)值非常理想的近似了，所以這一方法是十分有效的。對(duì)于此隨機(jī)存貯模型，目前并沒有得到一個(gè)嚴(yán)密形式的解，得到的只是為了獲得目標(biāo)解的一個(gè)循環(huán)過程，所以需要借助于帶有具體數(shù)據(jù)的例子來展示一下不確定性對(duì)問題的影響。然而，在引入具體例子之前，讓我們把注意力集中于這一積分的計(jì)算是十分必要的。，這里是滯后期需求的密度函數(shù)，或許服從正態(tài)分布是一種重要的情況，在這種情況下有：將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度的形式，以便利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，具體轉(zhuǎn)化過程如下：令，有：其中第一個(gè)積分式

38、為：這里的概率密度函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。第二個(gè)積分式的計(jì)算更是簡單，它是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的互補(bǔ)分布函數(shù)；因此可簡化為：當(dāng)然，這一表達(dá)式僅僅在滯后期需求的分布是正態(tài)分布時(shí)才有效；如果說它不是正態(tài)分布而是伽瑪分布，那么必須按伽瑪分布尋找計(jì)算的途徑。全部需求可以認(rèn)為是個(gè)別顧客需求的總和，如果顧客數(shù)量足夠多，那么這個(gè)和應(yīng)近似服從正態(tài)分布。因此，許多實(shí)際問題的需求都被假設(shè)是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。例8-10 某商店經(jīng)銷A商品，已知到貨滯后期為年，滯后期需求服從期望值為1000、標(biāo)準(zhǔn)差為250的正態(tài)分布。滯后期及滯后期需求分布同時(shí)也暗示出了年度平均需求一定為10000件。與每次訂貨相關(guān)聯(lián)的包裝處置費(fèi)為100元，存貯費(fèi)用為每件每年元，缺貨費(fèi)用為每件1元。試確定經(jīng)濟(jì)采購批量和訂貨點(diǎn)。已知：、求：和解：在此是一個(gè)以1000為期望值、以250為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，通過轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布并查表有：從而有，即又因所以從而有，即我們會(huì)發(fā)現(xiàn)比增加了104個(gè)單位，而比增加4個(gè)單位；因此，可以認(rèn)為此過程已收斂。因?yàn)閺膶?shí)際出發(fā)，批量和訂貨點(diǎn)都應(yīng)該取整數(shù)，所以沒有必要試圖通過保留小數(shù)來提高解的精度。由于和向其最優(yōu)值的收斂過程都是