1、復(fù)習(xí)：曲頂柱體的體積,求曲頂柱體體積步驟如下：, 分割：將矩形 任意分為 n 塊可求面積的小塊,其面積仍記為 。相應(yīng)地將曲頂柱體分割 成 n 個小曲頂柱體，分別記為, 近似代替：在每一小塊上任意取一點 則小曲 頂柱體的體積 可用直柱體的體積近似代替，即, 求和：把 n 個小曲頂柱體的體積相加，便得到所求曲頂柱體體積的近似值,取極限，如果該極限存在，那末此極限值就定義為曲頂柱體 的體積。這個和式的極限正好就是上一章引進(jìn)的二重積分， 故所求曲頂柱體的體積，等于相應(yīng)的二重積分的值：, 取極限：記 在和式中令,由于此曲頂柱體的底面是一矩形，所以此曲頂柱體的體積還可以用另一種方法來計算。,先復(fù)習(xí)定積分應(yīng)

2、用中的一個結(jié)果：設(shè)空間立體位于平面 與平面 之間，用與 軸垂直的平面截立 體，截得截面的截面面積為 ，則此立體的體積為,化二重積分為二次積分,作與 軸垂直的平 面，設(shè)截得曲頂柱 體截面的面積為,立體位于平面 與平面 之間，,則曲頂柱體體積為,而 就是平面 上， 由曲線 與直線 所圍成的曲邊梯形的面積，所以,從而,因此,類似地，也可以用與 軸垂直的平面來截曲頂柱體，同樣可得,從上面的分析，可以得到下列結(jié)果：,定理1 設(shè) 在矩形 上可積， 含參變量積分 存在，則,設(shè) 在矩形 上連續(xù)，則,我們經(jīng)常使用的是連續(xù)函數(shù)，對連續(xù)函數(shù)有下列結(jié)果：,定理2 設(shè) 在矩形 上可積， 含參變量積分 存在，則,類似地可

3、以給出先對 后對 積分的結(jié)果：,前面討論了矩形區(qū)域上的二重積分的計算方法，下面考慮一般區(qū)域上二重積分的計算。,第一種情形： 積分區(qū)域 D 由兩條曲線 及兩條直線 圍成，即,這種區(qū)域的特點是：與 軸垂直的直線與區(qū)域的邊界至多有兩個交點，或者有部分邊界是平行于 y 軸的直線段。,根據(jù)積分區(qū)域的特點， 分三種情況討論。,作包含此積分區(qū)域的矩形,令,于是,這時二重積分可化為先對 后對 的二次積分。,這時二重積分可化為先對 后對 的二次積分。,這種區(qū)域的特點是：與 軸垂直的直線與區(qū)域的邊界至多有兩個交點，或者有部分邊界是平行于 x 軸的直線段。,第三種情形：一般情形，這時可用平行于 軸與平行于 軸的直線將積分區(qū)域分成上述兩種情形求解。,X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,若區(qū)域如圖，,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,解,積分區(qū)域如圖,解,積分區(qū)域如圖,解,原式,解,解,解,解,曲面圍成的立體如圖.,解 設(shè)這兩個直交圓柱面的方程為：,由圖形的對稱性,二、用極坐標(biāo)計算二重積分,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,區(qū)域特征如圖,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖,解,解