1、第一節(jié) 隨流擴散方程,第三章 隨流擴散與紊動擴散,隨流擴散：由于時均流速使污染物質(zhì)發(fā)生輸移的現(xiàn)象 紊動擴散：由于脈動流速使污染物質(zhì)發(fā)生輸移,對層流: u、 v、w為零,設(shè)流體質(zhì)點具有瞬時流速矢量 在x、y、z直角坐標上的分量分別為u、v、w：,圖 直角坐標系下的瞬時流速分量,1.一維隨流擴散方程 設(shè)v=w=0，只有u分量（沿x軸）,Fick定律：,污染物隨流輸移的通量：,在隨流作用和分子擴散作用下，單位時間內(nèi)通過直角坐標系yz平面上單位面積的示蹤物質(zhì)質(zhì)量：,第一節(jié) 隨流擴散方程,圖 隨流和分子擴散示意圖,質(zhì)量守恒式：,根據(jù)不可壓縮流體的一維連續(xù)性方程,一維隨流擴散方程,（3-1-1）,為了求得

2、在一定的初始條件和邊界條件下該方程的解析解,一般都補充假定u/t =0，亦即認為u也不隨t 而變。,圖 一維輸移的控制體示意,第一節(jié) 隨流擴散方程,用直角坐標表示，有,（3-1-2b）,對三維情形，有通量：,將之代入質(zhì)量守恒式： 由水流連續(xù)方程 ，可得:,（3-1-2a）,隨流擴散方程與分子擴散方程不同點是多了一些隨流項，共同點是兩者都是質(zhì)量守恒定律在擴散問題中的體現(xiàn)。,第一節(jié) 隨流擴散方程,（3-1-2c）,用圓柱坐標（r，q， z）表示，有,式中：ur 、 uq和us分別是流速在r、q和z方向上的分量。,第一節(jié) 隨流擴散方程,圓柱坐標與直角坐標的關(guān)系：,圖 圓柱坐標系,式中：r、z分別為徑

3、向距離、方位角、高度。,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,用解析法求解三維隨流擴散方程中濃度函數(shù)c(x ,y ,z ,t )在數(shù)學(xué)上是很困難的， 一般只對一維隨流擴散方程，且在邊界條件和初始條件都比較簡單的情況下才有可能。 嚴格說來，由于水中污染物的存在對流動會產(chǎn)生影響，例如熱污染、海水與河水混摻等，所以當求解隨流擴散方程（包括將要介紹的隨流紊動擴散方程）時， 應(yīng)將它與流體運動基本方程組聯(lián)立求解包括流速和濃度等未知函數(shù)。 在示蹤物質(zhì)的假定下，可以將流場和濃度場分開求解，即先求解流速，然后求解濃度。,一、一維隨流擴散的置換解法及瞬時源無界空間的解析解,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,一維隨流擴散方程:

4、,令=t，=x-ut，其中u為常數(shù)。采用微分連鎖規(guī)則, 有:,( 3-2-1 ),( 3-2-2 ),將t 寫作t，便得：,( 3-2-3 ),與一維分子擴散方程相似,如果站在速度為 u 的動坐標 x 上觀察，則一維隨流擴散問題變?yōu)樵陟o止水體中的擴散問題。,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,在靜止水體中的擴散解式中，以(x-ut)置換x之后，如果還滿足一維隨流擴散問題給定的初始條件和邊界條件，這就是問題的解這種解法稱為置換解法。,圖 一維隨流擴散,將上兩式按=t、=x-ut 進行變換之后，得:,( 3-2-4 ),和,( 3-2-5 ),和,( 3-2-6 ),( 3-2-7 ),第二節(jié) 隨流擴散

5、方程的解析解,可以將置換解法應(yīng)用到一維隨流二維(或三維)擴散的某些問題中來。一維隨流二維和三維擴散方程分別為:,1、瞬時點源無界空間一維隨流擴散與分子擴散瞬時點源無界空間解式相應(yīng)，有解:,可以驗證，該解滿足: 初始條件：c(x, 0)= md(x) 邊界條件：c(,t )=0， c(, t )/x=0,( 3-2-8 ),第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,瞬時點源無界空間一維隨流擴散的解:,( 3-2-8 ),圖3-1 瞬時點源一維隨流擴散,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,隨著時間的增加，正態(tài)曲線的峰值愈小， 但離散程度愈大。,該式也是瞬時無限平面源無界空間的一維隨流擴散問題的解。,2、瞬時半無限長

6、線源無界空間的一維隨流擴散 與分子擴散瞬時半無限長線源解式相應(yīng)，有解：,它滿足瞬時半無限長線源無界空間的定解條件 初始條件：當x0時，c(x, 0)= 0； 當x0時，c(x, 0)= c0 邊界條件：c(, t )=0， c(-, t )=c0,( 3-2-9 ),第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,它滿足瞬時有限長線源無界空間的定解條件 初始條件：當|x|x1時，c(x, 0)= 0； 當|x|x1時，c(x, 0)= c0 邊界條件：c(, t )=0,3、瞬時有限長線源無界空間的一維隨流擴散 與分子擴散瞬時半無限長線源解式相應(yīng)，有解：,( 3-2-10 ),第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,4、

7、瞬時無限長線源無界空間的一維隨流二維擴散 有解：,若Dx = Dy = D，有：,( 3-2-11 ),( 3-2-12 ),上兩式均滿足瞬時無限長線源無界空間的定解條件 初始條件：c(x，y，0)= mz(r)， r =(x2+y2)1/2 邊界條件：c(， y， t )=c(x， t )=0,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,5、瞬時點源無界空間的一維隨流三維擴散有解:,因為Dx = Dy = Dz = D，有：,( 3-2-14 ),( 3-2-13 ),上式均滿足瞬時點源無界空間的一維隨流三維擴散的定解條件 初始條件：c(x，y，z，0)= M(r)，r =(x2+y2+z2)1/2 邊界

8、條件：c(, y, z, t )=c(x, , z, t )=c(x, y, , t )=0,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,二、時間連續(xù)恒定點源無界一維隨流三維擴散,設(shè)坐標原點與污染源點重合，連續(xù)投放示蹤物質(zhì)，單位時間投放的示蹤物質(zhì)質(zhì)量為 (常數(shù))。先考慮在瞬時 投入質(zhì)量 dt 產(chǎn)生的濃度場 dc 。,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,根據(jù)瞬時點源無界空間的一維隨流三維擴散的解有：,對t 從0到t 時進行積分，得t 時刻的濃度場：,( 3-2-15 ),取變換： 其中：,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,則式(3-2-15)變?yōu)椋?( 3-2-16 ),式中：,如果求穩(wěn)態(tài)的濃度場，可令上式積分下限中的

9、t，變?yōu)?,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,數(shù)學(xué)上可以證明：對b 0，有： 于是可得穩(wěn)態(tài)解：,( 3-2-17 ),因為Dx = Dy = Dz = D，式(3-2-17)變?yōu)椋?第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,( 3-2-18 ),在穩(wěn)態(tài)時，式（3-2-17）變?yōu)?,由上式可以繪出在 Z=0 平面上的等濃度線。,圖 3-2 時間連續(xù)恒定點源一維隨流三維擴散的等濃度線,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,三、時間連續(xù)恒定點源無界空間一維隨流擴散,初始條件：x 0 , c(x，0)=0; 邊界條件：c(0，t)= c0（常數(shù)），c(，t)=0,一維對流擴散方程：,若用置換法：,上式滿足初始條件，但不滿足邊

10、界條件。,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,圖 3-3 時間連續(xù)恒定點源一維隨流擴散濃度與時間的關(guān)系曲線,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,通過拉普拉斯(Laplace)變換方法求得解：,( 3-2-19 ),四、一維隨流橫向擴散的穩(wěn)態(tài)解（分層流）,三維隨流擴散方程：,當v = w = 0，并忽略在x方向和y方向上的分子擴散項，便得一維隨流橫向擴散方程：,( 3-2-20 ),第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,設(shè)各點的速度同為u（常量） 濃度的初始情形如圖3-4所示，x軸上方的濃度為0, 下方的濃度為c0（常數(shù)）。,圖3-4 分層流,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,邊界條件為: 當x0時，c(x，)=0，c

11、(x，-)=c0 當z0時，c(0，z)=0 當z0時，c(0，z)=c0,( 3-2-21 ),因為輸入量與時間無關(guān)，所以穩(wěn)定后的解答應(yīng)與時間無關(guān)：,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,圖3-4 分層流,故可得與式(3-2-9)相似的解：,( 3-2-22 ),邊界 條件,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,五、時間連續(xù)恒定點源無界空間的一維隨流二維橫向擴散的穩(wěn)態(tài)情況,對時間連續(xù)點源無界空間的一維隨流三維擴散的穩(wěn)態(tài)問題，當擴散未達穩(wěn)態(tài)之前，在x方向的范圍可用長度 （即距離標準差）來衡量。,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,圖 3-2 時間連續(xù)恒定點源一維隨流三維擴散的等濃度線,當t 較大，達到穩(wěn)態(tài)之后，隨流

12、擴散位移 ut 比分子擴散范圍 大得多 （即x2D/u），等濃度線沿x方向拉得很長。 所以x方向的分子擴散可以不計，變?yōu)橐痪S隨流二維橫向擴散的穩(wěn)態(tài)問題。,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,圖 3-2 時間連續(xù)恒定點源一維隨流三維擴散的等濃度線,將該問題設(shè)想為有一系列厚度為 dx 的薄片，以速度u經(jīng)過與坐標原點重合的源點； 經(jīng)過源點時，每一薄片接受的污染物質(zhì)量為 ，為每一薄片通過源點的歷時，=x/u； 薄片在（y-z ）平面上作橫向擴散，也以速度u 沿x方向運動。,圖3-5 簡化計算的運動薄片分析,第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,根據(jù)二維擴散的瞬時點源解，薄片中單位面積上的質(zhì)量為（即污染濃度）：,考慮到薄片的位置是由x=ut 給出，而且三維的濃度是薄片單位面積上的質(zhì)量除以薄片厚度dx，故可得到本問題的解：,( 3-2-23 ),第二節(jié) 隨流擴散方程的解析解,( 3-2-23 ),因為D=Dx=Dz，并令r2=y2+z2，式（3-2-23）變?yōu)椋?( 3-2-24 ),第二