1、3.6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較核心必知1三種函數(shù)的增長(zhǎng)特點(diǎn)(1)當(dāng)a1時(shí)，指數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快(2)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax是增函數(shù)，并且當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快(3)當(dāng)x0，n1時(shí)，冪函數(shù)yxn顯然也是增函數(shù)，并且當(dāng)x1時(shí)，n越大其函數(shù)值的增長(zhǎng)就越快2三種函數(shù)的增長(zhǎng)比較在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上，冪函數(shù)yxn(n0)，指數(shù)函數(shù)yax(a1)增長(zhǎng)的快慢交替出現(xiàn)，隨著x的增大，yax(a1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)

2、遠(yuǎn)大于yxn(n0)的增長(zhǎng)速度，而ylogax(a1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢一般地，若a1，n0，那么當(dāng)x足夠大時(shí)，一定有axxnlogax. 問(wèn)題思考12xlog2x，x2log2x，在(0，)上一定成立嗎？提示：結(jié)合圖像知一定成立22xx2在(0，)上一定成立嗎？提示：不一定，當(dāng)0x2和x4時(shí)成立，而當(dāng)2x4時(shí)，2xx2.講一講1四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是_嘗試解答以爆炸式增長(zhǎng)的變量是呈指數(shù)型函數(shù)變化的從表格可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從5開(kāi)始變化，變量y4越來(lái)越小，但是減小的速度很慢，則變量y4關(guān)于x不呈指數(shù)型函

3、數(shù)變化；而變量y1，y2，y3都是越來(lái)越大，但是增大的速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)最快，畫(huà)出圖像可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化答案：y2解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)或圖像的增長(zhǎng)的快慢情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的差異，從中作出判斷練一練1下面是f(x)隨x的增大而得到的函數(shù)值列表：試問(wèn)：(1)隨著x的增大，各函數(shù)的函數(shù)值有什么共同的變化趨勢(shì)？(2)各函數(shù)增長(zhǎng)的快慢有什么不同？解：(1)隨x的增大，各函數(shù)的函數(shù)值都在增大；(2)由圖表可以看出，各函數(shù)增長(zhǎng)的快慢不同，其中f(x)2x增長(zhǎng)最快，而且越來(lái)越快；增長(zhǎng)最慢的是f(x)log2x，而且增長(zhǎng)的幅度越來(lái)越小講一講2假設(shè)你

4、有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？嘗試解答設(shè)第x天所得回報(bào)是y元由題意，方案一：y40(xN)；方案二：y10x(xN)；方案三：y0.42x1(xN)作出三個(gè)函數(shù)的圖像如圖：由圖可以看出，從每天回報(bào)看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一樣多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，經(jīng)驗(yàn)證到第三十天，所得回報(bào)已超過(guò)2億元，若是短期投

5、資可選擇方案一或方案二，長(zhǎng)期的投資則選擇方案三通過(guò)計(jì)算器計(jì)算列出三種方案的累積收入表.投資一天到六天，應(yīng)選方案一，投資七天方案一，二均可，投資八天到十天應(yīng)選方案二，投資十一天及其以上，應(yīng)選方案三(1)解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題解決，結(jié)合函數(shù)圖像有助于直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)值在不同范圍的大小關(guān)系(2)一般地：指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度快的變化規(guī)律；對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律；而冪函數(shù)增長(zhǎng)模型介于兩者之間，適合于描述增長(zhǎng)速度一般的變化規(guī)律練一練2某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/102 kg)與上市時(shí)間t(單位：天)

6、的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間t50110250種植成本Q150108150(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)，描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系；(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本解：(1)由表中數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間t變化時(shí)，種植成本并不是單調(diào)的，故只能選擇Qat2btc.即解得Qt2t.(2)Q(t150)2(t150)2100，當(dāng)t150天時(shí)，西紅柿的種植成本最低，為100元/102kg.若x2logmx在x內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍巧思將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像在內(nèi)的上下位置關(guān)系，再構(gòu)建不等式求解妙解設(shè)y1x2，y2logmx，作出符合題

7、意的兩函數(shù)的大致圖像(如圖)，可知0m1.當(dāng)x時(shí)，y1，若兩函數(shù)在x處相交，則y2.由logm得m，又x2logmx在x內(nèi)恒成立，因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.1下面對(duì)函數(shù)f(x)與g(x)x在區(qū)間(0，)上的增減情況的說(shuō)法中正確的是()Af(x)的增減速度越來(lái)越慢，g(x)的增減速度越來(lái)越快Bf(x)的增減速度越來(lái)越快，g(x)的增減速度越來(lái)越慢Cf(x)的增減速度越來(lái)越慢，g(x)的增減速度越來(lái)越慢Df(x)的增減速度越來(lái)越快，g(x)的增減速度越來(lái)越快解析：選C在同一坐標(biāo)下分別作出函數(shù)y和y()x的圖像，由圖像知C正確2下列所給函數(shù)，增長(zhǎng)最快的是()Ay5xByx5Cylog5x Dy5x答

8、案：D3某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬(wàn)公頃，0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃，則沙漠增加數(shù)y關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x解析：選C當(dāng)x1時(shí)，否定B；當(dāng)x2時(shí)，否定D；當(dāng)x3時(shí)，否定A.4已知函數(shù)f(x)3x，g(x)2x，當(dāng)xR時(shí)，f(x)與g(x)的大小關(guān)系為_(kāi)解析：在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)3x，g(x)2x的圖像，如圖所示，由于函數(shù)f(x)3x的圖像在函數(shù)g(x)2x圖像的上方，則f(x)g(x)答案：f(x)g(x)5據(jù)報(bào)道，青海湖水在最近50年內(nèi)減少了10%，如果按此規(guī)律

9、，設(shè)2016年的湖水量為m，從2016年起，過(guò)x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系是_解析：設(shè)湖水量每年為上年的q%，則(q%)500.9，x年后湖水量ym(q%)x答案：y6函數(shù)f(x)lg x，g(x)0.3x1的圖像如圖所示(1)試根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異指出曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖像交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)解：(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)0.3x1，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)lg x；(2)當(dāng)xx1時(shí)，g(x)f(x)；當(dāng)x1xx2時(shí)，f(x)g(x)；當(dāng)xx2時(shí)，g(x)f(x)一、選擇題1當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的

10、應(yīng)該是()Ay10xBylg xCyx10 Dy10x解析：選D由于指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng)，則當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，函數(shù)y10x的增長(zhǎng)速度最快2某山區(qū)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，綠色植被的面積每年都比上一年增長(zhǎng)10.4%，那么，經(jīng)過(guò)x年，綠色植被的面積可增長(zhǎng)為原來(lái)的y倍，則函數(shù)yf(x)的大致圖像為()解析：選Dyf(x)(110.4%)x1.104x是指數(shù)型函數(shù)，定義域?yàn)?,1,2,3,4，由單調(diào)性，結(jié)合圖像知選D.3函數(shù)y2xx2的圖像大致是()解析：選A由圖像可知，y2x與yx2的交點(diǎn)有3個(gè)，說(shuō)明函數(shù)y2xx2與x軸的交點(diǎn)有3個(gè)，故排除B、C選項(xiàng)，當(dāng)x2x成立，即y0，故排除D.4當(dāng)0x1時(shí)，f(x

11、)x2，g(x)x，h(x)x2的大小關(guān)系是()Ah(x)g(x)f(x) Bh(x)f(x)g(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)g(x)h(x)解析：選D在同一坐標(biāo)下作出函數(shù)f(x)x2，g(x)x，h(x)x2的圖像，由圖像知，D正確二、填空題5近幾年由于北京房?jī)r(jià)的上漲，引起了二手房市場(chǎng)交易的火爆房子沒(méi)有什么變化，但價(jià)格卻上漲了，小張?jiān)?005年以15萬(wàn)元的價(jià)格購(gòu)得一所新房子，假設(shè)這10年來(lái)價(jià)格年膨脹率不變，那么到2015年，這所房子的價(jià)格y(萬(wàn)元)與價(jià)格年膨脹率x之間的函數(shù)關(guān)系式是_解析：1年后，y15(1x)；2年后，y15(1x)2；3年后，y15(1x)3，10年后，y1

12、5(1x)10.答案：y15(1x)106在直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫格點(diǎn)若函數(shù)yf(x)的圖像恰好經(jīng)過(guò)k個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)yf(x)為k階格點(diǎn)函數(shù)，則下列函數(shù)中為一階格點(diǎn)函數(shù)的序號(hào)是_yx2；yx1；yex1；ylog2x.解析：這是一道新概念題，重點(diǎn)考查函數(shù)值的變化情況顯然都有無(wú)數(shù)個(gè)格點(diǎn)；有兩個(gè)格點(diǎn)(1,1)，(1，1)；而yex1除了(0,0)外，其余點(diǎn)的坐標(biāo)都與e有關(guān)，所以不是整點(diǎn)，故符合答案：7若ax，bx3，c，則當(dāng)x1時(shí)，a，b，c的大小關(guān)系是_解析：x1，ax(0,1)，bx3(1，)，c(，0)cab.答案：cab8已知a0，a1，f(x)x2ax，當(dāng)x(1,1)時(shí)

13、，均有f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a1時(shí)，作出函數(shù)y1x2，y2ax的圖像：要使x(1,1)時(shí)，均有f(x)，只要當(dāng)x1時(shí)，有(1)2a1，解得a2，1a2.當(dāng)0a1時(shí)，同理，只需12a1，即a.a1.綜上所述，a的取值范圍是(1,2答案：(1,2三、解答題9一個(gè)叫邁克的百萬(wàn)富翁碰到一件奇怪的事一個(gè)叫吉米的人對(duì)他說(shuō)：“我想和你訂立個(gè)合同，在整整一個(gè)月中，我每天給你10萬(wàn)元，而你第一天只需要給我1分錢，以后每天給我的錢數(shù)是前一天的兩倍”邁克非常高興，他同意訂立這樣的合同試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，誰(shuí)將在合同中獲利？解：在一個(gè)月(按31天計(jì)算)的時(shí)間里，邁克每天得到10萬(wàn)元，增長(zhǎng)的方式是直線增長(zhǎng)，

14、經(jīng)過(guò)31天后，共得到3110310(萬(wàn)元)而吉米，第一天得到1分，第二天得到2分，第三天得到4分，第四天得到8分，第20天得到219分，第31天得到230分，使用計(jì)算器計(jì)算可得1248162302 147 483 647分2 147.48(萬(wàn)元)所以在這份合同中吉米純獲利2 147.483101 837.48(萬(wàn)元)所以吉米將在合同中獲利10某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，開(kāi)始按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金y(萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y0.25x

15、，ylog7x1，y1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的圖像(如圖)，觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間10,1000上，模型y0.25x，y1.002x的圖像都有一部分在直線y5的上方，只有模型ylog7x1的圖像始終在y5的下方，這說(shuō)明只有按模型ylog7x1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求，下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)對(duì)于模型y0.25x，它在區(qū)間10,1000上單調(diào)遞增，當(dāng)x(20,1000)時(shí)，y5，因此該模型不符合要求；對(duì)于模型y1.002x，由函數(shù)圖像，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間(

16、805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002x05，由于它在區(qū)間10，1000上單調(diào)遞增，因此當(dāng)xx0時(shí)，y5，因此該模型也不符合要求；對(duì)于模型ylog7x1，它在區(qū)間10,1 000上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x1000時(shí)，ylog7100014.555，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求再計(jì)算按模型ylog7x1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x10,1000時(shí)，是否有0.25成立令f(x)log7x10.25x，x10,1 000利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖)，由圖像可知它是單調(diào)遞減的，因此f(x)f(10)0.316 70，log7x10.25x.所以，當(dāng)x10,10

17、00時(shí)，0.25.說(shuō)明按模型ylog7x1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的25%.綜上所述，模型ylog7x1確實(shí)能符合公司要求1.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的運(yùn)算，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算(2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a0且a1，這是隱含條件(3)指數(shù)函數(shù)yax的單調(diào)性，與底數(shù)a有關(guān)當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小不確定時(shí)，一般需分類討論(4)指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖像的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系是：在y軸右側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變??；在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小(5)函數(shù)yax與函數(shù)yx的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(6)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)方程問(wèn)題

18、的求解，要充分用好指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)式abN與對(duì)數(shù)式logaNb的關(guān)系以及這兩種形式的互化是對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵(2)在使用運(yùn)算性質(zhì)logaMnnlogaM時(shí)，要特別注意條件，在無(wú)M0的條件下應(yīng)為logaMnnloga|M|.(3)注意對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)換底公式及等式logambnlogab，logab在解題中的靈活運(yùn)用(4)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax與ylogx的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(5)指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱(6)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究，要充分用好對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，及函數(shù)圖像的平移和對(duì)稱變換(7)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的

19、方程，常見(jiàn)有兩類：一是通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化為代數(shù)方程求解；二是利用數(shù)形結(jié)合法求解典例1化簡(jiǎn)：(1)；(2)(lg 2)33lg 2lg 5(lg 5)3；(3).解(1)原式abaaba.(2)原式(lg 2lg 5)(lg 2)2lg 2lg 5(lg 5)23lg 2lg 5(lg 2)22lg 2lg 5(lg 5)2(lg 2lg 5)21.(3)原式1.借題發(fā)揮指數(shù)式的運(yùn)算首先要注意化簡(jiǎn)順序，一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化為正指數(shù)，根式化為指數(shù)運(yùn)算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的對(duì)數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過(guò)程中范圍的變化，前后要等價(jià)熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式

20、、換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1若2.5x1 000,0.25y1 000，則_.解析：由已知得：xlog2.51 000，ylog0.251 000，(lg 2.5lg 0.25)lg lg 10.答案：2已知logax4，logay5，試求A的值解：logaA0.A1.典例2(1)已知函數(shù)f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的圖像如右圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A0a1b1B0ba11C0b1a1D0a1b11(2)已知函數(shù)yax23x3，當(dāng)x1,3時(shí)有最小值，求a的值解(1)由圖像，知該函數(shù)為增函數(shù)a1.又當(dāng)x0時(shí)，1f(0)0，即1logab0，即loga

21、logabloga1.b1.結(jié)合a1，知0a1b1.(2)令tx23x32，當(dāng)x1,3時(shí)，t，若a1，則ymina，解得a，與a1矛盾若0a1，則ymina3，解得a，滿足題意綜合，知a.答案(1)A借題發(fā)揮指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基本初等函數(shù)它們的圖像與性質(zhì)始終是高考考查的重點(diǎn)由于指數(shù)函數(shù)yax，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，a1)的圖像與性質(zhì)都與a的取值有密切的聯(lián)系，a變化時(shí)，函數(shù)的圖像與性質(zhì)也隨之改變，因此，在a的值不確定時(shí)，要對(duì)它們進(jìn)行分類討論對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3函數(shù)f(x)axb的圖像如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0解

22、析：選D由f(x)axb的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1；函數(shù)f(x)axb的圖像是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.4函數(shù)f(x)的圖像和函數(shù)g(x)log2x的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A4B3C2 D1解析：選B作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖像(圖略)，由圖像可知：兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)有3個(gè)5.定義在1,1上的偶函數(shù)f(x)，已知當(dāng)x1,0時(shí)的解析式f(x)(aR)(1)寫(xiě)出f(x)在0,1上的解析式；(2)求f(x)在0,1上的最大值解：(1)設(shè)x0,1，則x1,0f(x)4xa2x.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)4xa2x，x0,1(2)

23、當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)4xa2x，令t2x，則t1,2g(t)t2at2.當(dāng)1，即a2時(shí)，g(t)maxg(2)42a；當(dāng)1，即2a3時(shí)，g(t)maxg(2)42a；當(dāng)2，即3a4時(shí)，g(t)maxg(1)1a；當(dāng)2，即a4時(shí)，g(t)maxg(1)1a.綜上知，當(dāng)a3時(shí)，f(x)的最大值是42a；當(dāng)a3時(shí)，f(x)的最大值是1a.典例3比較下列各組數(shù)的大小(1)log3與log5；(2)log1.10.7與log1.20.7；(3)已知，比較2b,2a,2c的大小關(guān)系解(1)log3log310，而log5log510，log3log5.(2)00.71,1.11.2，0log0.71.1

24、log0.71.2，即由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.(3)y為減函數(shù)，且bac，而y2x是增函數(shù)，2b2a2c.借題發(fā)揮比較幾個(gè)數(shù)大小的常用方法有：?jiǎn)握{(diào)性法、圖像法、搭橋法、特殊值法、作差法、作商法等其中第(2)小題可以運(yùn)用圖像法解提示：作出函數(shù)ylog1.1x與ylog1.2x的圖像，如圖所示，兩圖像與x0.7相交，可知log1.10.7log1.20.7.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6三個(gè)數(shù)60.7、0.76、log0.76的大小順序?yàn)?)A0.76log0.7660.7B0.7660.7log0.76Clog0.7660.70.76Dlog0.760.7660.7解析：選D00.71,

25、61，log0.760，而00.761,60.71，故log0.760.7660.7.7若x(1,10)，則(lg x)2，lg x2，lg(lg x)的大小順序是()A(lg x)2lg x2lg(lg x)Blg(lg x)lg x2(lg x)2Clg x2lg(lg x)(lg x)2Dlg(lg x)(lg x)2lg x2解析：選Dx(1,10)，不妨令x，則lg(lg x)lg(lg )0，(lg x)2(lg )2，lg x2lg()21，lg(lg x)(lg x)2lg x2.典例4已知函數(shù)f(x)log2(2x1)(1)求證：函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)是增加的；(2)若關(guān)于x

26、的方程log2(2x1)mf(x)在1,2上有解，求m的取值范圍解(1)證明：任取x1x2，則f(x1)f(x2)x1x2，f(x1)f(x2)，即函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)是增加的(2)法一：mlog2(2x1)log2(2x1)log2log2.當(dāng)1x2時(shí)，1.m的取值范圍是.法二：解方程log2(2x1)mlog2(2x1)，得xlog2，1x2，1log22，解得log2mlog2.m的取值范圍是.借題發(fā)揮若本例中函數(shù)不變，如何解不等式f(4x)f？對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8函數(shù)f(x)log2(3x1)的值域?yàn)?)A(0，) B0，)C(1，) D1，)解析：選A3x11，log2(3x1)0.9已知函

27、數(shù)f(x)log4(4x1)kx(xR)是偶函數(shù)，求k的值解：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，即log4(4x1)kxlog4(4x1)kx.2kxlog4(4x1)log4(4x1)log4log4log4x.2k1.k.（時(shí)間：90分鐘 滿分120分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知函數(shù)f(x)logax(a0，a1)的圖像如右圖所示，函數(shù)yg(x)的圖像與yf(x)的圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱，則函數(shù)yg(x)的解析式為()Ag(x)2xBg(x)Cg(x)x Dg(x)log2x解析：選C由點(diǎn)(2，1)在ylogax的圖像上，得loga21，a.f(x)，

28、從而g(x)x.2.log612log6等于()A6 B12 C.D3解析：選C原式log6log6log6.3若集合A，則RA()A(，0B.C(，0D.4(重慶高考)已知alog23log2，blog29log2，clog32，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcCabbc解析：選Balog23log2log23log231，blog29log2log23log231，clog32c.5設(shè)alog54，b(log53)2，clog45，則()Aacb BbcaCabc Dbac解析：選Dalog541，log53log541，b(log53)2log53，clog451，故bac.6函數(shù)f

29、(x)lg的圖像關(guān)于()Ay軸對(duì)稱 Bx軸對(duì)稱C原點(diǎn)對(duì)稱 D直線yx對(duì)稱解析：選Cf(x)lg ，則f(x)的定義域?yàn)?1,1)，又f(x)lg lg lg f(x)，f(x)為奇函數(shù)，該函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱7設(shè)2a5bm，且2，則m()A. B10C20 D100解析：選A由2a5bm，得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2.logm102.m210，m0，m.8函數(shù)yax2bx與ylog|x(ab0，|a|b|)在同一直角坐標(biāo)系中的圖像可能是()解析：選D函數(shù)yax2bx的兩個(gè)零點(diǎn)是0，.對(duì)于A、B，由拋物線的圖像知，(0,1)，(0,1)函數(shù)ylog|x不是

30、增函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線的圖像知a0且1，b0且1.1.函數(shù)ylog|x應(yīng)為增函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由拋物線的圖像知a0，(1,0)，|(0,1)滿足ylog|x為減函數(shù)9設(shè)函數(shù)f(x)若f(x0)1，則x0的取值范圍是()A(，0)(2，) B(0,2)C(，1)(3，) D(1,3)解析：選C當(dāng)x02時(shí)，f(x0)1，log2(x01)1，即x03；當(dāng)x02時(shí)，由f(x0)1得x011，x01，x01.x0(，1)(3，)10用mina，b，c表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值設(shè)f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為()A4 B5C6 D7解析：選C由題意知，函數(shù)f(x)是三個(gè)函數(shù)y12x，y2x2，y310x中的較小者，作出三個(gè)函數(shù)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系的圖像(如圖實(shí)線部分為f(x)的圖像) 可知A(4,6)為函數(shù)f(x)圖像的最高點(diǎn)，f(x)max6.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分把答案填寫(xiě)在題中的橫線上)11計(jì)算_.解析：原式10121020.答案：2012設(shè)函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以恒有f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，化簡(jiǎn)得x(exex)(a1)0.因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a1.答案：113方程x|log3x|的解的個(gè)數(shù)是_