1、4.1 數(shù)學(xué)歸納法課堂探究1數(shù)學(xué)歸納法及其證明思路剖析：歸納法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般結(jié)論的推理方法它包括不完全歸納法和完全歸納法不完全歸納法是根據(jù)事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般結(jié)論的推理方法比如在學(xué)習(xí)數(shù)列的知識(shí)時(shí)，我們可以通過(guò)觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)寫(xiě)數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)過(guò)程用的就是不完全歸納法，我們知道僅根據(jù)一系列有限的特殊事例所得出的一般結(jié)論有時(shí)是不正確的例如，一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an(n25n5)2，容易驗(yàn)證a11，a21，a31，a41.但如果由此作出結(jié)論對(duì)任何nN，an(n25n5)21都成立，那就是錯(cuò)誤的，事實(shí)上，a5251.完全歸納法是根據(jù)事物的所有特殊事例得

2、出一般結(jié)論的推理方法數(shù)學(xué)歸納法常與不完全歸納法結(jié)合起來(lái)使用，用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的條件和n0值的確定剖析：數(shù)學(xué)歸納法一般用來(lái)證明某些涉及正整數(shù)n的命題，n可取無(wú)限多值，但不能簡(jiǎn)單地說(shuō)所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，例如用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)n(nN)的單調(diào)性就難以實(shí)現(xiàn)，一般說(shuō)來(lái)，從kn到kn1時(shí)，如果問(wèn)題中存在可利用的遞推關(guān)系，則使用數(shù)學(xué)歸納法較容易，否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要注意起點(diǎn)n并非一定取1，也可能取0,2等，要看清題目，比如證明凸n邊形的內(nèi)角和f(n)(n2)180，這里面的n應(yīng)不小于3，即n3，第一

3、個(gè)值n03.歸納假設(shè)的使用是數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵，這也是能否由“nk”遞推到“nk1”的關(guān)鍵，在證明過(guò)程中，需根據(jù)命題的變化或者在步驟的變化中，從數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上，利用拼湊的方法，湊假設(shè)，湊結(jié)論，從而使“遞推關(guān)系”得以順利進(jìn)行，命題得以證明題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明(3n1)7n1能被9整除(nN)分析：證明一個(gè)與n有關(guān)的式子f(n)能被一個(gè)數(shù)a(或一個(gè)代數(shù)式g(n)整除，主要是找到f(k1)與f(k)的關(guān)系，設(shè)法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k1)f(k)f1(k)af2(k)，就可證得命題成立證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，原式(311)7127，能被9整

4、除，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)，(3k1)7k1能被9整除，則當(dāng)nk1時(shí)，3(k1)17k1121(k1)77k1(3k1)(18k27)7k1(3k1)7k19(2k3)7k.(3k1)7k1和9(2k3)7k都能被9整除，(3k1)7k19(2k3)7k能被9整除，即3(k1)17k11能被9整除，即當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)任何nN，命題都成立，即(3n1)7n1能被9整除(nN)反思 利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這往往要涉及“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧，湊出nk時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得證題型二 用數(shù)學(xué)

5、歸納法證明恒等式【例2】已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a10，a23，an1an(an12)(an22)，n3,4,5，.(1)求a3；(2)證明：anan22，n3,4,5，.分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵是第二步，要注意當(dāng)nk1時(shí)，等式兩邊的式子與nk時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系，增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)，問(wèn)題就會(huì)順利解決解：(1)由題設(shè)，當(dāng)n3時(shí)，得a3a410.因?yàn)閍3，a4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3 的可能值為1,2,5,10.當(dāng)a31，則a410，a5，與題設(shè)矛盾；當(dāng)a35，則a42，a5，與題設(shè)矛盾；若a310，則a41，a560，a6，與題設(shè)矛盾所以a32.(2

6、)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3時(shí)，a3a12，等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3)時(shí)，等式成立，即akak22，因?yàn)閍k1ak(ak12)(ak22)，akak220.所以ak1ak12.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜上，可知對(duì)所有n3，nN，有anan22，即anan22，n3,4,5，.反思 利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè).題型三 用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何中的有關(guān)問(wèn)題【例3】平面內(nèi)有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平

7、面分成f(n)n2n2個(gè)部分(nN)分析：因?yàn)閒(n)為n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù)，那么再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交，就有2n個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧，且每一段弧又將原來(lái)的平面區(qū)域一分為二，因此，增加一個(gè)圓后，平面分成的區(qū)域數(shù)增加2n個(gè)，即f(n1)f(n)2n.有了上述關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法的第二步證明就很容易解決證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)1122，所以n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k1)時(shí)命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則nk1時(shí)，在k1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知，對(duì)一切nN，命題成立，即這幾個(gè)圓將平面分成f(n)n2n2個(gè)部分(nN)反思 對(duì)于幾何問(wèn)題的證明，可以從有限情形中歸納出