1、反 正 弦 函 數(shù)教學(xué)目標(biāo)1.理解學(xué)習(xí)反正弦函數(shù)的必要性；理解反正弦函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)而不是正弦函數(shù)的反函數(shù)；理解反正弦函數(shù)的概念，掌握符號的含義，并會用以表示角；2.知道反正弦函數(shù)的圖像，并能形數(shù)結(jié)合掌握反正弦函數(shù)的性質(zhì)；3.會用數(shù)學(xué)思想分析和思考問題。教學(xué)重點在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)為什么要學(xué)習(xí)反正弦函數(shù)、怎樣學(xué)習(xí)反正弦函數(shù)。真正理解反正弦函數(shù)概念以及反正弦函數(shù)符號的本質(zhì)。教學(xué)難點反正弦函數(shù)的產(chǎn)生和從本質(zhì)上處理正弦函數(shù)的反函數(shù)問題。教學(xué)過程一、 回顧復(fù)習(xí)我們今天學(xué)習(xí)反正弦函數(shù)。三角學(xué)起源于測量，天文測量、航海測量都是利用三角形之間的邊角關(guān)系來測量的。即利用比值與角之間的關(guān)系測量得到距離、

2、高度和角度。而在測量的實際計算過程中我們經(jīng)常會遇到兩類相反的問題。一類是已知角值求比值，這是我們學(xué)習(xí)過的，例如，正弦函數(shù)它就是一個角值函數(shù)，任意角都有唯一確定的正弦值與之對應(yīng)，即已知某一個角值都可以通過正弦函數(shù)，將其正弦值表示出。例如：，其正弦值可以表示為；，其正弦值表示為。而另一類相反的問題是已知比值求角值，例如：已知角的正弦值為，那么角如何表示呢？（可以表示為；）如果已知角的正弦值是，那么角又如何表示呢？這就產(chǎn)生了怎樣用正弦值表示相應(yīng)角的問題？我們說正弦函數(shù)研究的是角值如何確定正弦值，角值是自變量，正弦值是因變量，而現(xiàn)今要解決的是正弦值如何確定相應(yīng)的角值？所以，我們要反過來，由正弦函數(shù)的因

3、變量去確定自變量。即需要我們考慮正弦函數(shù)的反函數(shù)。二、 引入課題我們學(xué)習(xí)過反函數(shù)，知道反函數(shù)的概念，也明確不是任何一個函數(shù)都存在反函數(shù)。函數(shù)要存在反函數(shù)必須要求其自變量與因變量是一一對應(yīng)的。那么正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？（學(xué)生作答：答案是否定的。學(xué)生說出理由：因為對于任一正弦值都有無數(shù)個角值與之對應(yīng)。正弦函數(shù)的自變量與因變量是多對一的。故而不存在反函數(shù)。）正弦函數(shù)不存在反函數(shù)，那么怎樣利用正弦函數(shù)，由正弦值確定相應(yīng)的角值呢？通過一個例子來說明問題。關(guān)于的式子，可以表示的角有無數(shù)多個，為，那么這個結(jié)果從何而來？首先你能寫出的滿足條件的是哪個？，因為，由 ，還可以寫出哪些滿足條件的，是，為什么？（

4、因為根據(jù)三角比的定義具有相同終邊的角其對應(yīng)的三角比值相等）還有其他滿足條件的嗎？（有！，因為根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以。）通過這個例子，我們說用正弦值表示相應(yīng)角值時，只要能表示出一個相應(yīng)的角值就可以了。根據(jù)三角比的定義和誘導(dǎo)公式可以用它將其余的角值表示出。所以正弦函數(shù)不存在反函數(shù)。但只要選取某一區(qū)間使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)。因變量可以確定自變量，正弦值可以表示相應(yīng)的角值，并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的正弦值表示就可以了。那么選取怎樣的區(qū)間，使得存在反函數(shù)呢？依據(jù)兩個原則：（1）所取區(qū)間在該區(qū)間上存在反函數(shù)；（2）能取到的一切函數(shù)值。依據(jù)這兩個原則選擇怎樣的區(qū)間呢？學(xué)生回答、討論，不斷補充完善。（先選擇，

5、因為它包含了所有的正銳角和零角，但不符合原則（2），補上，因為取到的一切函數(shù)值，并且與是連接在一起的，且關(guān)于原點對稱，應(yīng)用方便）所以，選取閉區(qū)間，使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)，而這個反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反正弦函數(shù)。三、 認識符號1引進符號由于反正弦函數(shù)并不是正弦函數(shù)的反函數(shù)，而是函數(shù)，的反函數(shù)。用一個記號來表示，引進記號：。選擇表示反正弦函數(shù)是有道理的。中sin是正弦，arc是什么意思呢？arc并不是“反”的意思，它是英文單詞，解釋為“圓弧”，圓弧即圓周上的一段，那么圓弧與圓心角有什么關(guān)系呢？，在單位圓中，即，所以此時弧即角，角即弧。我們可以將arc理解作角，所以從字面上理解就是正弦值為所對應(yīng)的

6、角，因此用記反正弦函數(shù)是有道理的。 表示正弦值為所對應(yīng)的角，等號是“是”的意思，所以， 即：正弦值為所對應(yīng)的角是，是正弦值為所對應(yīng)的角。因為反正弦函數(shù)是函數(shù)，的反函數(shù)。所以，自變量的取值范圍就是原來函數(shù)的值域，因變量的取值范圍就是原來函數(shù)的定義域，因為是，故而，且。2反正弦函數(shù)的值我們來看具體的例子：（1）反正弦函數(shù)值表示范圍內(nèi)的一個角，并且，這個角就是，即=。（2）反正弦函數(shù)值表示范圍內(nèi)的一個角，并且，要想知道這個角可以通過查表或計算器得到結(jié)果。而且可以解決前面上課時提出的問題：已知，如何表示？現(xiàn)在我們知道了，可以表示為。（3）式子表示什么？等于多少呢？我說它等于1，對嗎？因為中，所以無意義

7、！對于反正弦函數(shù)值有如下需要我們注意的： 1) 當(dāng)時，有意義；2) 表示的角值；3) 。3反正弦函數(shù)習(xí)慣上，表示自變量，表示因變量，將反正弦函數(shù)記作：，四、反正弦函數(shù)的性質(zhì)1、 定義域；2、 值域：3、 奇偶性：奇函數(shù)（用定義證明，證明過程略）4、 單調(diào)性：增函數(shù)5、 最值：，五、反正弦函數(shù)的圖象可以根據(jù)反正弦函數(shù)的性質(zhì)描點得到圖像，也可以利用原來函數(shù)圖像與反函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱翻折而得到。由學(xué)生自己畫出圖像，從反正弦函數(shù)的圖像中，形數(shù)結(jié)合，再讓學(xué)生直觀了解反正弦函數(shù)的性質(zhì)。六、提出問題(結(jié)束整節(jié)課)今天主要解決的問題是如何用正弦值表示相應(yīng)的角值以及反正弦函數(shù)的概念?，F(xiàn)在我們能用任一正弦值表示

8、這個范圍內(nèi)的角值，那么對于其它范圍，其它區(qū)間上的角值如何去表示呢？例如：中的如何表示呢？大家思考一下，我們將在下節(jié)課中共同研究這個問題。教學(xué)設(shè)計說明1、教材分析我們使用的是上海市二期課改的教材。本教材的特點是：新穎、知識面廣、圖文并茂、引人入勝。而本章節(jié)教材，內(nèi)容翔實，主次分明。在這個章節(jié)上，教材寫的言簡意賅，給了教師很大的發(fā)展空間。針對不同的學(xué)生有了更多的不一樣的適合學(xué)生的設(shè)計！反正弦函數(shù)是緊接著學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后的內(nèi)容。反正弦函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，對后繼課程的學(xué)習(xí)有著重要的作用！特別是在反三角函數(shù)中，反正弦函數(shù)有著模本的作用。而反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)的重點和難點。本節(jié)課與反函數(shù)

9、的基本概念、性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系，通過對這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握反正弦函數(shù)的概念，又可使學(xué)生加深對反函數(shù)概念的理解，而且為學(xué)習(xí)其它反三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，起到承上啟下的重要作用。2、教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計遵循二期課改的“以學(xué)生發(fā)展文本”的理念，根據(jù)本校（上海市示范性高中）學(xué)生的特點：個性活潑,思維活躍,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性高，初步具有對數(shù)學(xué)問題進行合作探究的意識與能力，以及學(xué)生的現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識的準(zhǔn)備：已掌握三角函數(shù)的概念及性質(zhì)，反函數(shù)等，我設(shè)計了恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)，使學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考”，加強對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)和理解。3、教學(xué)過程的設(shè)計知識是方法的載體，我們不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，還需要通過學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)問題，進而解決問題，本節(jié)課直入主題，以問題驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，共同解決問題，從正弦函數(shù)有無反函數(shù)到在怎樣的區(qū)間上有反函數(shù)，從對記號的引入到反正弦函數(shù)，從反正弦函數(shù)的性質(zhì)到反正弦函數(shù)的圖像，問題步步深入，在此過程中使學(xué)生形成質(zhì)疑精神，并共同參與其過程，整個教學(xué)過程遵循學(xué)生的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，反正弦函數(shù)的概