1、第八章立體幾何與空間向量,8.6空間向量及其運算,內(nèi)容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,易錯警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎知識自主學習,1.空間向量的有關概念,0,1,相同,相等,相反,相等,平行或重合,平面,知識梳理,1,答案,2.空間向量中的有關定理 (1)共線向量定理 空間兩個向量a(a0)與b共線的充要條件是存在實數(shù)，使得ba. 推論如圖所示，點P在l上的充要條件是 ta,答案,1,(3)空間向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)1，2，3，使得a1e12e23e3，空間中不共面的三個向量e1，e2

2、，e3叫作這個空間的一個基底.,xayb,答案,互相垂直,3.空間向量的數(shù)量積及運算律 (1)數(shù)量積及相關概念 兩向量的夾角,a，b,0a，b,答案,兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個非零向量a，b，則叫做向量a，b的數(shù)量積，記作，即ab .,|a|b|cosa，b,ab,|a|b|cosa，b,(2)空間向量數(shù)量積的運算律 結合律：(a)b ； 交換律：ab ； 分配律：a(bc).,(ab),ba,abac,答案,4.空間向量的坐標表示及其應用 設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,答案,判斷下面結

3、論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)空間中任意兩非零向量a，b共面.() (2)在向量的數(shù)量積運算中(ab)ca(bc).() (3)對于非零向量b，由abbc，則ac.() (4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.(),思考辨析,答案,A,1,2,3,4,5,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,答案A,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)已知a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，則xy的值為_.,1或3,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)正四面體ABCD棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點，則EF的長為_.,1222122(12

4、cos 120021cos 120) 2，,解析答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類深度剖析,空間向量的線性運算,題型一,解析答案,答案B,(2)如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點.,解析答案,解析答案,引申探究,解析答案,解析如圖所示，,解析答案,思維升華,思維升華,用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.,跟蹤訓練1,解析答案,例2 已知E、

5、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點， (1)求證：E、F、G、H四點共面；,共線定理、共面定理的應用,題型二,解析答案,由共面向量定理的推論知： E、F、G、H四點共面.,證明如圖，連接BG，,(2)求證：BD平面EFGH；,所以EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH.,解析答案,解析答案,思維升華,證明找一點O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如圖所示.,所以四邊形EFGH是平行四邊形. 所以EG，F(xiàn)H交于一點M且被M平分.,思維升華,思維升華,如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的點，F(xiàn)是AC

6、上的點，且A1E2EB，CF2AF，則EF與平面A1B1CD的位置關系為_.,且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD， 所以EF平面A1B1CD.,平行,跟蹤訓練2,解析答案,例3如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點. (1)求證：MNAB，MNCD；,空間向量數(shù)量積的應用,題型三,解析答案,由題意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量兩兩夾角均為60.,(2)求MN的長；,解析答案,(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值.,解析答案,思維升華,解析答案,思維升華,思維升華,思維升華,數(shù)量積的應用 (1)求夾角，設向量a，b所

7、成的角為，則cos ，進而可求兩異面直線所成的角. (2)求長度(距離)，運用公式|a|2aa，可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題. (3)解決垂直問題，利用abab0(a0，b0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題.,如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以 頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60. (1)求AC1的長；,跟蹤訓練3,解析答案,(2)求證：AC1BD；,ab|b|2bc|a|2abac bcac |b|c|cos 60|a|c|cos 600. ，AC1BD.,解析答案,(3)求BD1與AC夾角的余弦值.,b2a2acbc1

8、.,解析答案,返回,易錯警示系列,典例已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，則x，y的值分別為_.,易錯分析將a，b同向和ab混淆，沒有搞清ab的意義：a、b方向相同或相反.,易錯警示系列,12.“兩向量同向”意義不清致誤,易錯分析,解析答案,返回,溫馨提醒,把代入得x2x20，(x2)(x1)0， 解得x2或x1， 當x2時，y6；當x1時，y3.,兩向量a，b反向，不符合題意，所以舍去.,答案1,3,返回,溫馨提醒,溫馨提醒,(1)兩向量平行和兩向量同向不是等價的，同向是平行的一種情況.兩向量同向能推出兩向量平行，但反過來不成立，也就是說，“兩向量同向”是“兩向

9、量平行”的充分不必要條件；(2)若兩向量a，b滿足ab(b0)且0則a，b同向；在a，b的坐標都是非零的條件下，a，b的坐標對應成比例.,返回,思想方法感悟提高,1.利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應用的基礎. 2.利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算可以解決一些距離、夾角問題. 3.利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題.,方法與技巧,1.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不一定成立. 2.求異面直線所成

10、的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應進行轉(zhuǎn)化.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.在下列命題中： 若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行； 若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面； 若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面； 已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x，y，z使得pxaybzc. 其中正確命題的個數(shù)是(). A.0 B.1 C.2 D.3,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析a

11、與b共線，a，b所在直線也可能重合，故不正確； 根據(jù)自由向量的意義知，空間任兩向量a，b都共面，故錯誤； 三個向量a，b，c中任兩個一定共面，但它們?nèi)齻€卻不一定共面，故不正確； 只有當a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為pxaybzc，故不正確，綜上可知四個命題中正確的個數(shù)為0，故選A. 答案A,15,2.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，則實數(shù)的值為(),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析由題意知a(ab)0，即a2ab0， 所以1470，解得2.,D,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

12、,14,15,3.(2014廣東)已知向量a(1,0，1)，則下列向量中與a成60夾角的是() A.(1,1,0) B.(1，1,0) C.(0，1,1) D.(1,0,1),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,因為0a，b180，所以a，b120.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1

13、2,13,14,15,5.已知a，b是異面直線，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，則異面直線a，b所成的角等于() A.30 B.45 C.60 D.90,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,a(cb)b(ac)c(ba) acabbabccbca 0.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,方法二如圖，在三棱錐ABCD中，不妨

14、令其各棱長都相等，則正四面體的對棱互相垂直.,答案0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以CBD為銳角. 同理BCD，BDC均為銳角.,銳角,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 如圖所示，取BC的中點E，連接AE.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值； 解a(1,1,0

15、)，b(1,0,2)， ab(1,1,0)(1,0,2)1，,解析答案,(2)若kab與ka2b互相垂直，求實數(shù)k的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 方法一kab(k1，k,2). ka2b(k2，k，4)， 且kab與ka2b互相垂直， (k1，k,2)(k2，k，4) (k1)(k2)k280，,當kab與ka2b互相垂直時，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(kab)(ka2b)k2a2kab2b2,1,2,3

16、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.如圖，在棱長為a的正方體OABCO1A1B1C1中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AEBFx，其中0 xa，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz. (1)寫出點E、F的坐標；,解E(a，x,0)，F(xiàn)(ax，a,0).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求證：A1FC1E； 證明A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，,A1FC1E.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1

17、1,12,13,14,15,證明A1、E、F、C1四點共面，,即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a) (a1，a1x2，a2)，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知a，b，c是空間的一個基底，ab，ab，c是空間的另一個基底，一向量p在基底a，b，c下的坐標為(4,2,3)，則向量p在基底ab，ab，c下的坐標是() A.(4,0,3) B.(3,1,3) C.(1,2,3) D.(2,1,3),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1

18、2,13,14,15,解析設p在基底ab，ab，c下的坐標為x，y，z. 則px(ab)y(ab)zc (xy)a(xy)bzc， 因為p在a，b，c下的坐標為(4,2,3) p4a2b3c，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即p在ab，ab，c下的坐標為(3,1,3).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,|b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y，要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值，需要把x2y2xy4x5y看成關于x的二次函數(shù)，,解析方法一對于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，說明當xx0，yy0時，|b(xe1ye2)|取得最小值1.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7