1、32 均值不等式 學(xué)案【預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)】正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)為 ；幾何平均數(shù)為 均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 如何給出幾何解釋？在均值不等式中a、b既可以表示數(shù)，又可以表示代數(shù)式，但都必須保證 ；另外等號成立的條件是 試根據(jù)均值不等式寫出下列變形形式，并注明所需條件）（1）a2+b2 ( ) （2） （ ）（3） （ ） （4）x (x0)（5）x (x0) （6）ab （ ）在用均值不等式求最大值和最小值時，必須注意a+b或ab是否為 值，并且還需要注意等號是否成立6函數(shù)f(x)=x(2x)的最大值是 ；此時x的值為_； 函數(shù)f(x)=2x(2x)的最大值是 ；此時x的值為_；函數(shù)f(x

2、)=x(22x)的最大值是 ；此時x的值為_；函數(shù)f(x)=x(2x)的最小值是 ；此時x的值為_。 【典例解析】例已知a、b、c（0，），且a+b+c=1，求證 +9例（1）已知x0，y0，且1，求xy的最小值。 （3）已知a、b為常數(shù)，求函數(shù)y=(x-a)2+(x-b)2的最小值?！具_(dá)標(biāo)練習(xí)】一 選擇題：下列命題正確的是（）a2+12a x+2 2 sinx+最小值為4以下各命題(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a0,b0,a+b=1則（a+）(b+)的最小值是4，其中正確的個數(shù)是（）0123設(shè)a0,b0則不成立的不等式為（）2 a2+b22abab 2+ 設(shè)a、bR，若

3、a+b=2，則的最小值等于（）12 34 已知ab0，下列不等式錯誤的是（）a2+b22ab 二填空題：若a、b為正數(shù)且a+b=4，則ab的最大值是_已知x1.5，則函數(shù)y2x+的最小值是_已知a、b為常數(shù)且0x1，則的最小值是_三解答題：（1）設(shè)a=，b=，c=且x0，試判斷a、b、c的大小。 （2）設(shè)cba，設(shè)判斷與的大小。在ABC中C=90，AC=3，BC=4，一條直線分ABC的面積為相等的兩個部分，且夾在AB與BC之間的線段最短，求此線段長。參考答案：【預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)】1；2；算術(shù)平均數(shù)；幾何平均數(shù)；圓中的相交弦定理的推論（略）。3a，bR；a=b42ab（a,bR）( a，bR)2（a、b

4、同號）或2（a、b異號）22（）2（a,bR）；5定。61，1；2，1；，；1，1。 【典例解析】例1解析：原式（ +）（a+b+c）3（）（）（） 32229當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時取等號。例解析：（1）x 4x-51，y9當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9=3時即x=4，y=12時，取最小值16。（3）解法一、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題（略）解法二、（y=(x-a)2+(x-b)2y=(x-a)2+(b-x)222，當(dāng)且僅當(dāng)x-a=b-x即x=時，等號成立。當(dāng)x=時取得最小值?！倦p基達(dá)標(biāo)】一、1B解析：A中當(dāng)a=1時不成立；C需要分a、b同號還是異號D中等號成立的條件是sinx=2。這是不可能的。實(shí)際上x+x22C解析：（1）（2）正確，（3）不正確，實(shí)際上（a+）(b+)（a+b）+2+()1225，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立。 3D解析：A、B顯然正確；C中+a2b，+b2a，ab ；D中a=b=2時就不成立。 4B解析：原式（）（2）25C解析：C、D必然有一個是錯誤的，實(shí)際上幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)二、64解析：ab477解析：y2x+y（2x3）+37 8解析：原式（）x+(1-x)=a2+b2+a2+b2+2ab=。三、9解析：（1）a=為算術(shù)平均數(shù)，b=為幾何平均數(shù)，c=為平方平均數(shù)。x0cab。（2）10解析：設(shè)直線為