1、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第2課時(shí) 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)1a0，b0時(shí)，稱 為a，b的算術(shù)平均數(shù)；稱 為a，b的幾何平均數(shù)2定理1 如果a、bR，那么a2b2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 取“”號(hào)）3定理2 如果a、b，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)）即兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4已知x、y，xyP，xyS. 有下列命題：(1) 如果S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值 (2) 如果P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值 典型例題例1設(shè)a、bR，試比較， ，的大小 解：a、bR+，2即，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立又 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立 而于是(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào))說(shuō)明：題中的、分別叫做正

2、數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)也可取特殊值，得出它們的大小關(guān)系，然后再證明變式訓(xùn)練1：（1）設(shè)，已知命題；命題，則是成立的 （ ）A必要不充分條件 B充分不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解：B.解析： 是等號(hào)成立的條件.（2）若為ABC的三條邊，且，則（ ）A B C D解：D解析：，又。（3）設(shè)x 0, y 0, ， a 與b的大小關(guān)系（ ） Aa b Ba 0）則鹽水就變咸了，試根據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式 .解： 解析:由鹽的濃度變大得例2. 已知a，b，x，yR+（a，b為常數(shù)），求xy的最小值.解： ab2變式訓(xùn)練2：已知a，b，x，yR+（a，b為

3、常數(shù)），ab10， ，若 xy的最小值為18，求a，b的值解：或例3. 已知a, b都是正數(shù)，并且a b，求證：a5 + b5 a2b3 + a3b2解：證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正數(shù)，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即：a

4、5 + b5 a2b3 + a3b2變式訓(xùn)練3：比較下列兩個(gè)數(shù)的大?。海?） （2）；（3）從以上兩小項(xiàng)的結(jié)論中，你否得出更一般的結(jié)論？并加以證明解：（1）,（2）（3）一般結(jié)論：若成立證明 欲證成立只需證也就是 （） 從而（*）成立，故 例4. 甲、乙兩地相距S（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過(guò)c（千米/小時(shí)）已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（元）由可變部分與固定部分組成可變部分與速度v（千米/小時(shí)）的平方成正比，且比例系數(shù)為正常數(shù)b；固定部分為a元(1) 試將全程運(yùn)輸成本Y(元)表示成速度V(千米/小時(shí))的函數(shù).(2) 為使全程運(yùn)輸成本最省，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解: (1) 依

5、題意得，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為yabv2s(bv)，故所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥s(bv)v(0,c)(2) s、a、b、vR+，故s(bv)2s 當(dāng)且僅當(dāng)bv時(shí)取等號(hào)，此時(shí)v若c即v時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小若c，則當(dāng)v(0，c)時(shí)，ys(bv)s(bc)(cv)(abcv)cv0，且abc，故有abcvabc20 s(bv)s(bc)，且僅當(dāng)vc時(shí)取等號(hào)，即vc時(shí)全程運(yùn)輸成本最小變式訓(xùn)練4：為了通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行較大規(guī)模的計(jì)算，人們目前普遍采用下列兩種方法：第一種傳統(tǒng)方法是建造一臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)此種方法在過(guò)去曾被普遍采用但是人們逐漸發(fā)現(xiàn)建造單獨(dú)的超級(jí)計(jì)算機(jī)并不合算，因?yàn)樗倪\(yùn)算能

6、力和成本的平方根成正比另一種比較新的技術(shù)是建造分布式計(jì)算機(jī)系統(tǒng)它是通過(guò)大量使用低性能計(jì)算機(jī)(也叫工作站)組成一個(gè)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)這樣的網(wǎng)絡(luò)具有驚人的計(jì)算能力，因?yàn)檎麄€(gè)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算能力是各個(gè)工作站的效能之和假設(shè)計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力的單位是MIPS(即每秒執(zhí)行百萬(wàn)條指令的次數(shù))，一臺(tái)運(yùn)算能力為6000MIPS的傳統(tǒng)巨型機(jī)的成本為100萬(wàn)元；而在分布式系統(tǒng)中，每個(gè)工作站的運(yùn)算能力為300MIPS，其價(jià)格僅為5萬(wàn)元需要說(shuō)明的是，建造分布式計(jì)算系統(tǒng)需要較高的技術(shù)水平，初期的科技研發(fā)及網(wǎng)絡(luò)建設(shè)費(fèi)用約為600萬(wàn)元請(qǐng)問(wèn)：在投入費(fèi)用為多少的時(shí)候，建造新型的分布式計(jì)算系統(tǒng)更合算？解：設(shè)投入的資金為萬(wàn)元，兩種方法所能達(dá)到的計(jì)算能力為MIPS，則把，代入上式得，又，當(dāng)時(shí)，代入上式得，由得，即0，解得900(萬(wàn)元)答：在投入費(fèi)用為900萬(wàn)元以上時(shí)，建造新型的分布式計(jì)算系統(tǒng)更合算。歸納小結(jié)小結(jié)歸納1在應(yīng)用兩個(gè)定理時(shí)，必須熟悉它們的常用變形