1、2.5.1平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.運用向量的有關(guān)知識解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題.2.會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法向量法和坐標(biāo)法.3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),體驗向量在解決幾何問題中的工具作用,培養(yǎng)創(chuàng)新精神. 合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境問題1:若O為ABC重心,則= .問題2:水渠橫斷面是四邊形ABCD,且|=|,則這個四邊形為.二、信息交流,揭示規(guī)律問題3:(1)向量運算與幾何中的結(jié)論“若a=b,則|a|=|b|,且a,b所在直線平行或重合”相類比,你有什么體會?(2)由學(xué)生舉出幾個具有線性運算的幾何實例.三、運用規(guī)律,解決問題【例1】

2、證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.已知:平行四邊形ABCD.求證:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.用向量方法解決平面幾何問題,主要有以下三個步驟:(1);(2);(3).【例2】如圖,平行四邊形ABCD中,點E,F分別是AD,DC邊的中點,BE,BF分別與AC交于R,T兩點,你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎?四、變式演練,深化提高練習(xí):在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?編題不只是教師的專利.請自己編題,并且加以解決.五、反思小結(jié),觀點提煉請

3、同學(xué)們想一想,本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么思想方法?你還有其他什么收獲?布置作業(yè)課本P113習(xí)題2.5A組第1,2題.一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境問題1:=0問題2:等腰梯形二、信息交流,揭示規(guī)律問題3:平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運算及數(shù)量積表示出來,例如,向量數(shù)量積對應(yīng)著幾何中的長度.如圖,平行四邊行ABCD中,設(shè)=a,=b,則=a+b(平移),=a-b,=b2=|AD|2(長度).向量的夾角為DAB.因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.三、運用規(guī)律,解決問題【例1】證明:不妨設(shè)=a,=b,則=a+b,=a-b,|2=|a|2,|2=|b|2.得|2=(a+b)(a+b)

4、=aa+ ab+ba+bb=|a|2+2ab+|b|2.同理|2=|a|2-2ab+|b|2.+得|2+|2=2(|a|2+|b|2)=2(|2+|2).所以,平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.用向量方法解決平面幾何問題,主要有以下三個步驟:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【例2】解:設(shè)=a,=b,則=a+b.由與共線,因此,存在實數(shù)m,使得=m(a+b).又由共線,因此存在實數(shù)n,使得=n=n(b- a).由+n,得m

5、(a+b)=a+n(b-a).整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0.由于向量a,b不共線,所以有解得所以.同理.于是.所以AR=RT=TC.四、變式演練,深化提高練習(xí):解:不妨設(shè)|F1|=|F2|,由向量加法的平行四邊形法則以及直角三角形,可以得到|F1|=.通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)由0180逐漸變大時,由090逐漸變大,cos的值由大逐漸變小,因此,|F1|由小逐漸變大,即F1,F2之間的夾角越大越費力,夾角越小越省力.2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過力的合成與分解、速度的合成與分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟,明了向量在物理中應(yīng)用的基本題型,進(jìn)一步加

6、深對所學(xué)向量概念和運算的認(rèn)識.2.通過對具體問題的探究解決,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力,體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的作用.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境問題1:你掌握了物理中的哪些矢量?二、信息交流,揭示規(guī)律問題2:兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么?用向量研究物理問題的步驟:三、運用規(guī)律,解決問題【例題】如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流速度|v2|=2km/h,問行駛航程最短時,所用時間是多少(精確到0.1min)?四、變式演練,深化提高讓學(xué)生每人各編一個關(guān)于平面向量運算的題目,然后由同位

7、算出答案.(若課上時間不夠,可轉(zhuǎn)為課后作業(yè))五、反思小結(jié),觀點提煉請同學(xué)們想一想,本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識?用到了什么思想方法?你還有其他什么收獲?布置作業(yè)課本P113習(xí)題2.5第A組第3,4題;B組第2題.參考答案一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境問題1:力、位移、速度、加速度等.二、信息交流,揭示規(guī)律問題2:夾角越大,合力越小問題轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;建立模型,即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型;求解參數(shù),即求向量的模、夾角、數(shù)量積等;回答問題,即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.三、運用規(guī)律,解決問題【例1】解:|v|=(km/h),所以t=603.1(min).答:行駛航程最短時,所用時間是3.1min.五、反思小結(jié),觀點提煉1.利用向量解決物理問題的基本步驟:問題轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;建立模型,即建立以向量為載體的