1、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)講解（基礎(chǔ)）責(zé)編：常春芳 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；2. 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類(lèi)問(wèn)題中的運(yùn)用.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即（1）當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常數(shù)項(xiàng)的不完全的一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)視為零

2、， =b2-4a0=b2, 無(wú)論b取任何關(guān)數(shù)，b2均為非負(fù)數(shù)， 0，故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 【總結(jié)升華】根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況.舉一反三：【高清ID號(hào)： 關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：判別含字母系數(shù)的方程根的情況-例2（1）】【變式】不解方程，判別方程根的情況： . 【答案】無(wú)實(shí)根. 2（2015本溪）關(guān)于x的一元二次方程（k1）x22x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 【思路點(diǎn)撥】此題要考慮兩方面：判別式要大于0，二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.【答案】k2且k1； 【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程（k1）x22x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k10且=（2）24（k1）0，解得：k

3、2且k1故答案為：k2且k1【總結(jié)升華】不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件.舉一反三：【高清ID號(hào)： 關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：證明根的情況-例3】【變式】m為任意實(shí)數(shù)，試說(shuō)明關(guān)于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.【答案】=-(m-1)2-4-3(m+3）=m2+10m+37=(m+5)2+120， 關(guān)于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.類(lèi)型二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用3已知方程的一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及k的值【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)方程解的意義，將x2代入原方程，可求k的值，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出方程的另外一個(gè)根【

4、答案與解析】方法一：設(shè)方程另外一個(gè)根為x1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，從而解得：，k-7 方法二：將x2代入方程，得522+2k-60，從而k-7設(shè)另外一根為x1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，從而，故方程的另一根為，k的值為-7【總結(jié)升華】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，易得另一根及k的值 舉一反三：【高清課堂：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系（二）-例2】【變式】已知方程的一個(gè)根是3，求它的另一根及的值【答案】另一根為-1；的值為-34（2015咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根【答案與解析】解：（1）=（m+2）28m=m24m+4=（m2）2，不論m為何值時(shí)，（m2）20，0，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解方程得，x=，x1=，x2=1，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，m=1或2