1、誤差理論與測量平差,Surveying Adjustment,誤差理論與 測量平差,第六章 附有參數(shù)的條件平差,第二章 精度指標與誤差傳播,第三章 平差最小二乘模型與最小二乘原理,第四章 條件平差,第五章 間接平差,第一章 緒論,第七章 附有限制條件的間接平差,第八章 概括平差函數(shù)模型,第九章 誤差橢圓,測繪工程專業(yè)主干課：,專業(yè)基礎主要課程： 測量學（5）、測量平差基礎（5）、控制測量學（5）、攝影測量學（4）、測繪數(shù)據(jù)計算機處理（3）,專業(yè)課： GPS（4）、GIS（3）、工程測量（4）、數(shù)字制圖（3）、近代平差（2）等,測繪科學與技術,大地測量與測量工程 攝影測量與遙感 地圖制圖與地理信

2、息系統(tǒng)工程,數(shù)學 政治 英語 測量平差,課程安排,前修課程：高數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計 課程分兩個學期進行： 第二學年上學期：3學分 第三學年下學期：2學分 后續(xù)課程：測繪數(shù)據(jù)的計算機處理、控制測量、近代平差,教學方式與內(nèi)容,講授為主，例題、習題相結合。 內(nèi)容：本學期主要講前五章的內(nèi)容。 參考書目： 測量平差原理，於宗儔等，測繪出版社 誤差理論與測量數(shù)據(jù)處理，測量平差教研室，測繪出版社。,第一章 緒論,第一章 緒論,第一節(jié)：概述 1、測量平差的研究對象誤差 任何量測不可避免地含有誤差,閉合、附合水準路線 閉合、附合導線 距離測量 角度測量.,誤差：測量值與真值之差,由于誤差的存在，使測量

3、數(shù)據(jù)之間產(chǎn)生矛盾，測量平差的任務就是消除這種矛盾，或者說是將誤差分配掉，因此稱為平差。,產(chǎn)生誤差的原因,測量儀器：i角誤差、2c誤差 觀測者：人的分辨力限制 外界條件：溫度、氣壓、大氣折光等,三者綜合起來為觀測條件,誤差的分類,系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下進行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。,系統(tǒng)誤差的存在必然影響觀測結果。,削弱方法：采用一定的觀測程序、改正、附加參數(shù),誤差的分類,偶然誤差/隨機誤差：在相同的觀測條件下進行的一系列觀測，如果誤差在大小、符號上都表現(xiàn)出偶然性，從單個誤差上看沒有任何規(guī)律，但從大量誤差上看有一定的統(tǒng)計規(guī)

4、律，這種誤差稱為偶然誤差。 不可避免，測量平差研究的內(nèi)容 粗差：錯誤,測量平差的任務：,對一系列帶有觀測誤差的觀測值，運用概率統(tǒng)計的方法來消除它們之間的不符值，求未知量的最可靠值。,評定測量成果的質量,測量平差產(chǎn)生的歷史,最小二乘法產(chǎn)生的背景,18世紀末，如何從多于未知參數(shù)的觀測值集合求出未知數(shù)的最佳估值？,最小二乘的產(chǎn)生,1794年，C.F.GUASS，從概率統(tǒng)計角度，提出了最小二乘 1806年，A.M. Legendre，從代數(shù)角度，提出了最小二乘。決定彗星軌道的新方法 1809年， C.F.GUASS，天體運動的理論,測量平差產(chǎn)生的歷史,最小二乘法原理的兩次證明,形成測量平差的最基本模型

5、,1912年，A.A.Markov， 對最小二乘原理進行證明，形成數(shù)學模型：,最小二乘解：,測量平差理論的擴展,補充知識,一、矩陣的定義及其某些特殊矩陣,（1）由,個數(shù)有次序地排列成m行n列的表叫矩陣,通常用一個大寫字母表示，如：,(2)若m=n，即行數(shù)與列數(shù)相同，稱A為方陣。元素a11、a22ann 稱為對角元素。,(3)若一個矩陣的元素全為0，稱零矩陣，一般用O表示。,(4)對于 的方陣，除對角元素外，其它元素全為零，稱為對角矩陣。如：,(5)對于 對角陣，若a11=a22=ann =1，稱為單位陣，一般用E、I表示。,（6）若aij=aji，則稱A為對稱矩陣。,矩陣的基本運算：,（1）若

6、具有相同行列數(shù)的兩矩陣各對應元素相同，則：,（2）具有相同行列數(shù)的兩矩陣A、B相加減，其行列數(shù)與A、B相同，其元素等于A、B對應元素之和、差。且具有可交換性與可結合性。,（3）設A為m*s的矩陣，B為s*n的矩陣,則A、B相乘才有意義，C=AB，C的階數(shù)為m*n。 OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC， ABC=A（BC）,二、矩陣的轉置,對于任意矩陣Cmn:,將其行列互換，得到一個nm階矩陣，稱為C的轉置。 用：,矩陣轉置的性質：,（6）若,則A為對稱矩陣。,三、矩陣的逆,給定一個n階方陣A，若存在一個同階方陣B，使AB=BA=I（E），稱B為A的逆矩陣。記為：,A矩陣存

7、在逆矩陣的充分必要條件是A的行列式不等于0，稱A為非奇異矩陣，否則為奇異矩陣,矩陣的逆的性質,矩陣求逆方法：,（1）伴隨矩陣法： 設Aij為A的第i行j列元素aij的代數(shù)余子式，則由n*n個代數(shù)余子式構成的矩陣為A的伴隨矩陣的轉置矩陣A*稱為A的伴隨矩陣。,矩陣求逆方法,則：,（2）初等變換法：,經(jīng)初等變換：,概率與數(shù)理統(tǒng)計內(nèi)容,隨機變量 誤差分布曲線 概率密度曲線 數(shù)學期望 方差,第二章精度指標與誤差傳播,第一節(jié) 概述,第二節(jié) 偶然誤差的規(guī)律性,第三節(jié) 衡量精度的指標,第四節(jié) 協(xié)方差傳播律,第五節(jié) 協(xié)方差傳播律在測量上的應用,第六節(jié) 協(xié)方差傳播律,第七節(jié) 權與定權的常用方法,第八節(jié) 協(xié)因數(shù)與

8、協(xié)因數(shù)傳播律,第二節(jié) 偶然誤差的規(guī)律性,觀測值：對該量觀測所得的值，一般用Li表示 。,真值：觀測量客觀上存在的一個能代表其真正大小的數(shù)值，一般用 表示。,一、幾個概念,真誤差：觀測值與真值之差， 一般用i= -Li 表示。,第一節(jié) 概述,觀測向量：若進行n次觀測，觀測值：L1、L2Ln可表示為：,二、偶然誤差的特性,例1：在相同的條件下獨立觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角之和應等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進行統(tǒng)計。,例2：在相同的條件下獨立觀測了421個三角形的全部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角之和應等于180度，但由

9、于誤差的影響往往不等于180度，計算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進行統(tǒng)計。,用直方圖表示:,所有面積之和=k1/n+k2/n+.=1,0.475,提示：觀測值定了其分布也就確定了，因此一組觀測值對應相同的分布。不同的觀測序列，分布不同。但其極限分布均是正態(tài)分布。,1、在一定條件下的有限觀測值中，其誤差的絕對值不會超過一定的界限；,2、絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多；,3、絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等；,偶然誤差的特性：,第三節(jié) 衡量精度的指標,精度：所謂精度是指偶然誤差分布的密集離散程度。,一組觀測值對應一種分布，也就代表這組觀測值精度相同。不同組觀測

10、值，分布不同，精度也就不同。,提示：一組觀測值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。,可見：左圖誤差分布曲線較高 且陡峭，精度高 右圖誤差分布曲線較低 且平緩，精度低,一、方差/中誤差,第三節(jié) 衡量精度的指標,方差：,中誤差：,提示： 越小，誤差曲線越陡峭，誤差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。,方差的估值：,二、平均誤差,在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數(shù)學期望。,與中誤差的關系：,三、或然誤差,四、極限誤差,四、相對誤差,中誤差與觀測值之比，一般用1/M表示。,第四節(jié) 協(xié)方差傳播律,一、協(xié)方差,對于變量X，Y，其協(xié)方差為：,表示X、Y間互不相關，對于正態(tài)分布而言，相互獨立。

11、,表示X、Y間相關,對于向量X=X1，X2，XnT，將其元素間的方差、協(xié)方差陣表示為：,矩陣表示為：,方差協(xié)方差陣,特點：I 對稱 II 正定 III 各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當 對角元 相等時，為等精度觀測。,若：,若DXY=0，則X、Y表示為相互獨立的觀測量。,二、觀測值線性函數(shù)的方差,已知：,那么：,證明：設：,那么：,例1: 設 ，已知 ， 求 的方差 。,例2:若要在兩已知點間布設一條附和水準路線,已知每公里觀測中誤差等于5.0mm,欲使平差后線路中點高程中誤差不大于10mm,問該路線長度最多可達幾公里?,二、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣,已知：,例3：在一個三角形中，同精度

12、獨立觀測得到三個內(nèi)角L1、L2、L3，其中誤差為，將閉合差平均分配后各角的協(xié)方差陣。,四 、非線性函數(shù)的情況,設有觀測值X的非線性函數(shù)：,已知：,將Z按臺勞級數(shù)在X0處展開：,例4、根據(jù)極坐標法測設P點的坐標，設已知點無誤差，測角中誤差為m，邊長中誤差ms，試推導P點的點位中誤差。,協(xié)方差傳播應用步驟:,根據(jù)實際情況確定觀測值與函數(shù),寫出具體表達式 寫出觀測量的協(xié)方差陣 對函數(shù)進行線性化 協(xié)方差傳播,協(xié)方差傳播在測量中的應用,一、水準測量的精度,作業(yè)1、在高級水準點A、（高程為真值）間布設水準路 線，如下圖，路線長分別為 ，設每公里觀測高差的中誤差為 ，試求： （1）將閉合差按距離分配之后的p

13、1、p2點間高差的中誤差； （2）分配閉合差后P1點的高程中誤差。,作業(yè)2、在相同條件下，觀測兩個角度A=150000，B=750000，設對A觀測4個測回的測角精度（中誤差）為3，問觀測9個測回的精度為多少？,第七節(jié) 權與定權的常用方法,一、權的定義,稱為觀測值Li的權。權與方差成反比。,（三）權是衡量精度的相對指標，為了使權起到比較精度的作用，一個問題只選一個0。,（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權。,二、單位權中誤差,三、常用的定權方法,1、水準測量的權,或,2、邊角定權,第八節(jié) 協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律,一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣,不難得出：,QXX為協(xié)因數(shù)陣,特點：I 對稱，對角元素為權

14、倒數(shù) II 正定 III 各觀測量互不相關時，為對角矩陣。當 為等精度觀測，單位陣。,二、權陣,第三章 平差數(shù)學模型與最小二乘原理,第一節(jié) 測量平差概述,第二節(jié) 測量平差的數(shù)學模型,第三節(jié) 參數(shù)估計與最小二乘原理,一、必要觀測、多余觀測,確定平面三角形的形狀,觀測三個內(nèi)角的任意兩個即可,稱其必要元素個數(shù)為2，必要元素有 種選擇,第一節(jié) 測量平差概述,確定平面三角形的形狀與大小,6個元素中必須有選擇地觀測三個內(nèi)角與三條邊的三個元素，因此，其必要元素個數(shù)為3。任意2個角度+1個邊、2個邊+1個角度、三個邊。,必須有選擇地觀測6個高差中的3個，其必要元素個數(shù)為3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或

15、h1、h2、h4等,確定如圖四點的相對高度關系,必要觀測: 能夠唯一確定一個幾何模型所必要的觀測 一般用t表示。,特點: 給定幾何模型，必要觀測及類型即定，與觀測無關。 必要觀測之間沒有任何函數(shù)關系，即相互獨立。 確定幾何模型最大獨立觀測個數(shù),多余觀測: 觀測值的個數(shù)n與必要觀測個數(shù)t之差 一般用r表示，r=n-t。,確定幾何模型最大獨立觀測個數(shù)為t, 那么再多進行一個觀測就 相關了，即形成函數(shù)關系，也稱為觀測多余了。,觀測值: 為了確定幾何模型中各元素的大小進行的實際 觀測，稱為觀測值，觀測值的個數(shù)一般用n表示。,nt,，可以確定模型，還可以發(fā)現(xiàn)粗差。,二、測量平差,必要觀測可以唯一確定模型

16、，其相互獨立?？梢娙粲卸嘤嘤^測必然可用這t個元素表示，即形成r個條件。,實際上：,第二節(jié) 測量平差的數(shù)學模型,一、條件平差法,以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。,即為條件平差的函數(shù)模型。條件平差的自由度即為多余觀測數(shù)r，即條件方程個數(shù)。,二、間接平差法,選擇幾何模型中t個獨立變量為平差參數(shù)，每一個觀測量表達成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個這種函數(shù)關系式，以此為平差的函數(shù)模型，成為間接平差法。,三、 附有參數(shù)的條件平差法,設在平差問題中，觀測值個數(shù)為n，t為必要觀測數(shù)，則可列出r=n-t個條件方程，現(xiàn)有增設了u個獨立量作為參數(shù)，而0ut，每增設一個參數(shù)應增加一個條件方程。以含有參數(shù)的條

17、件方程作為平差的函數(shù)模型，稱為附有參數(shù)的條件平差法。,上式就是間接平差的函數(shù)模型。盡管間接平差法是選了t個獨立參數(shù)，但多余觀測數(shù)不隨平差不同而異，其自由度仍是r=n-t。,上式為附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型。此平差問題，由于選擇了u個獨立參數(shù)，方程總數(shù)由r個增加到c=r+u個，故平差的自由度為r=c-u。,四、 附有限制條件的間接平差法,如果進行間接平差，就要選出t個獨立量為平差參數(shù)，按每一個觀測值與所選參數(shù)間函數(shù)關系，組成n個觀測方程。如果在平差問題中，不是選t個而是選定ut個參數(shù)，其中包含t個獨立參數(shù)，則多選的s=u-t個參數(shù)必是t個獨立參數(shù)的函數(shù)，亦即在u個參數(shù)之間存在著s個函數(shù)關系，

18、它們是用來約束參數(shù)之間應滿足的關系。在選定ut個參數(shù)進行平差時，除了建立n個觀測方程外，還要增加s個約束參數(shù)方程，故稱此平差方法為附有限制件的間接平差法。,五、 平差的隨機模型,數(shù)學模型,函數(shù)模型,隨機模型：,第三節(jié) 函數(shù)模型的線性化,條件方程的綜合形式為：,為了線性化，取X的近似值：,取 的初值：,將F按臺勞級數(shù)在X0，L處展開，并略去二次以及以上項：,一、條件平差法,二、間接平差法,三、 附有參數(shù)的條件平差法,四、 附有限制條件的間接平差法,第四節(jié) 參數(shù)估計與最小二乘原理,為了求得唯一解，對最終估計值應該提出某種要求，考慮平差所處理的是隨機觀測值，這種要求自然要從數(shù)理統(tǒng)計觀點去尋求，即參數(shù)

19、估計要具有最優(yōu)的統(tǒng)計性質，從而可對平差數(shù)學模型附加某種約束，實現(xiàn)滿足最優(yōu)性質的參數(shù)唯一解。,一、 參數(shù)估計及其最優(yōu)性質,對于上節(jié)提出的四種平差方法都存在多解的情況。以條件平差為例：,條件的個數(shù)r=n-t n，即方程的個數(shù)少，求解的參數(shù)多，方程多解。其它模型同。,數(shù)理統(tǒng)計中所述的估計量最優(yōu)性質，主要是估計量應具有無偏性、一致性和有效性的要求。可以證明，這種估計為最小二乘估計。,例：勻速運動的質點在時刻的位置y表示為：,實際上：,寫成矩陣：,間接平差函數(shù)模型,二、 最小二乘原理,按照最小二乘原理的要求，應使各個觀測點觀測值偏差的平方和達到最小。測量中的觀測值是服從正態(tài)分布的隨機變量，最小二乘原理可

20、用數(shù)理統(tǒng)計中的最大似然估計來解釋，兩種估計準則的估值相同。,設觀測向量為L，L為n維隨機正態(tài)向量，其數(shù)學期望與方差分別為：,其似然函數(shù)為：,以間接平差法為例，顧及間接平差的模型與E（）=0得：,按最大似然估計的要求，應選取能使lnG取得極大值時的 作為X的估計量。,由于上式右邊的第二項前是負號，所以只有當該項取得極小值時，lnG才能取得極大值，換言之， 的估計量應滿足如下條件：,即最小二乘原則。,第 四 章 條件 平 差,第一節(jié) 條件平差原理,第二節(jié) 條件方程,第三節(jié) 精度評定,第四節(jié) 水準網(wǎng)平差示例,第一節(jié) 條件平差原理,一、基礎方程和它的解,按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構造新的函數(shù)：,求

21、其一階偏導數(shù)，并令其為0：,上式也稱為法方程式,二、條件平差的計算步驟,根據(jù)平差問題的具體情況，列出條件方程式，條件方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。 根據(jù)條件式的系數(shù)，閉合差及觀測值的權組成法方程式，法方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r。 解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K值。 將K值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值 為了檢查平差計算的正確性，常用平差值 重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。,第二節(jié) 條件方程,一、水準網(wǎng),列條件的原則：,1、閉合水準路線 2、附合水準路線,包含的線路數(shù)最少為原則,二、測角網(wǎng),4個必要的起算數(shù)據(jù)為：,一個已知點（2個坐標） 一個方位（1個） 一個尺度（1個,兩已知點（

22、4個坐標）,列條件的原則：,將復雜圖形分解成典型圖形。,條件類型：圖形條件、圓周條件 、極條件、固定方位條件、固定邊長條件、固定坐標條件,三角形,大地四邊形,中心多邊形,扇形,第三節(jié) 精度評定,一、計算單位權中誤差,二、協(xié)因數(shù)陣,第四節(jié) 水準網(wǎng)平差示例,例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)列于下表。按條件平差求各點的高稱平差值。,解：,1、列條件方程,2、定權,取C=1，則：,3、形成法方程,4、解算法方程,5、計算改正數(shù),6、計算平差值,7、計算高程平差值,作業(yè)1：,如圖所示的水準網(wǎng)，A、B、C已知水準點，P1、P3、P3為待定點，已知水準點的高程、各

23、水準路線的長度及觀測高差列入下表。,如圖所示的水準網(wǎng)，A、B、C已知水準點，P1、P3、P3為待定點，已知水準點的高程、各水準路線的長度及觀測高差列入下表,試用條件平差法求P1、P3、P3點高程的平差值 。,第一節(jié) 間接平差原理,第二節(jié) 誤差方程,第三節(jié) 精度評定,第四節(jié) 平差示例,第 五 章 間 接 平 差,第一節(jié) 間接平差原理,一、基礎方程和它的解,按函數(shù)極值的求法，極值函數(shù)：,求其一階偏導數(shù)，并令其為0：,代入誤差方程：,即為法方程式,二、間接平差法平差步驟,1、選擇t個獨立的未知參數(shù),2、將每個觀測值表示成未知參數(shù)的函數(shù)，形成誤差方程。,3、形成法方程,4、求解法方程,5、計算改正數(shù),

24、6、精度評定,一、確定待定參數(shù)的個數(shù),水準網(wǎng),測角網(wǎng),測邊網(wǎng)邊角網(wǎng),第二節(jié) 誤差方程,二、參數(shù)的選取,高程控制網(wǎng)：待定點的高程,平面控制網(wǎng)：待定點的二維坐標,三維控制網(wǎng)：待定點的三維坐標,三、誤差方程的組成,1、水準路線的誤差方程,當i點已知時：,當j點已知時：,2、方向的誤差方程,定向角未知數(shù),設j、k的坐標為未知參數(shù)：,即：零方向的方位角,jk的方位角為：,為非線性函數(shù)，要進行線性化。,當j點已知時：,當k點已知時：,2、距離的誤差方程,j,k,設j、k的坐標為未知參數(shù)：,jk的距離為：,為非線性函數(shù)，要進行線性化。,當j點已知時：,當k點已知時：,第三節(jié) 精度評定,二、協(xié)因數(shù)陣,一、計算

25、單位權中誤差,測角網(wǎng)間接平差算例：,設有一測角三角網(wǎng)，A、B、C、D為已知點，P1、P2為待定點，同精度觀測了18個角度，按間接平差求平差后P1、P2點的坐標及精度。已知數(shù)據(jù)見下表。,第四節(jié) 平差示例,解：n=18, t=2*6-4-4=4, r=18-4=14,設P1、P2點的坐標作為未知參數(shù)X1、Y1、X2、Y2，根據(jù)前方交會可以求出P1、P2的近似坐標：,根據(jù)角度的誤差方程：,V,B,x,l,定權，P為單位陣，形成法方程為：,精度評定：,例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)列于下表。按間接平差求各點的高程平差值。,解：,1、列誤差方程,n=7, t

26、=5-1-1=3, r=7-3=4,列誤差方程：,寫成矩陣的形式：,定權，取C=1,例：,如圖所示的水準網(wǎng)，A、B、C已知水準點，P1、P3、P3為待定點，已知水準點的高程、各水準路線的長度及觀測高差列入下表,試用間接平差法求P1、P3、P3點高程的平差值估算精度 。,解：,1、列誤差方程,n=6, t=6-1-2=3, r=6-3=3,設P1、P2、P3點的高程為未知參數(shù),求相應的近似值,列誤差方程：,定權，取C=1,第一節(jié) 基礎方程和它的解,第二節(jié) 精度評定,第 六 章 附有參數(shù)的條件平差,一、測量平差方法回顧,（1）條件平差法,觀測數(shù)為n，必要觀測數(shù)為t，多余觀測數(shù)r=n-t，條件方程個

27、數(shù)c。,在最小二乘原則下有：,（2）間接平差法,觀測數(shù)為n，必要觀測數(shù)為t，多余觀測數(shù)r=n-t，設t個相互獨立的未知參數(shù)，則條件個數(shù)c=n+t-t=n,即n個誤差方程：,在最小二乘原則下有：,（3） 附有參數(shù)的條件平差法,設在平差問題中，觀測值個數(shù)為n，t為必要觀測數(shù)，則可列出r=n-t個條件方程，現(xiàn)有增設了u個獨立量作為參數(shù)，而0ut，每增設一個參數(shù)應增加一個條件方程。以含有參數(shù)的條件方程作為平差的函數(shù)模型，稱為附有參數(shù)的條件平差法。,上式為附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型。此平差問題，由于選擇了u個獨立參數(shù)，方程總數(shù)由r個增加到c=r+u個，故平差的自由度為r=c-u。,設定未知參數(shù)的目的

28、：,（2）為了在條件平差過程中，直接估計一 些量以及其精度。如：,（1）為了方便列立條件。,如圖：,條件平差：,6,其中：,其它條件如何列？,設未知參數(shù)X1,將觀測值的估值寫成觀測值與改正數(shù)之和，對非線性條件進行線性化，可形成基礎方程。,特點：方程中即有觀測量又有未知參數(shù)。采用改正數(shù)表示。,二、 基礎方程和它的解,按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構造新的函數(shù)：,基礎方程：,求其一階偏導數(shù)，并令其為0：,聯(lián)立,即為法方程式,將法方程寫成矩陣的形式：,也可分別求解：,第二節(jié) 精度評定,一、計算單位權中誤差,二、協(xié)因數(shù)陣,三、平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù),線性化：,四、附有參數(shù)的條件平差的計算步驟,根據(jù)平差問題

29、的具體情況，設定參數(shù)（相互獨立，個數(shù)小于t，列出條件方程式，條件方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r與設定未知參數(shù)之和。 根據(jù)條件式的系數(shù)，閉合差及觀測值的權組成法方程式。 解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)K與x值。 將K與x值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值與參數(shù)平差值。 精度評定。 為了檢查平差計算的正確性，常用平差值 重新列出平差值條件方程式，看其是否滿足方程。,第一節(jié) 基礎方程和它的解,第二節(jié) 精度評定,第 七 章 附有限制條件的間接平差,間接平差：觀測數(shù)為n，必要觀測數(shù)為t，多余觀測數(shù)r=n-t，設t個相互獨立的未知參數(shù)，則條件個數(shù)c=n+t-t=n，即n個誤差方程：,從而可以唯一求出,一、 基

30、礎方程和它的解,由于未知參數(shù)ut，則u個未知參數(shù)間肯定存在u-t個函數(shù)關系，稱為約束條件。,聯(lián)合,基礎方程,基礎方程線性化形式：,按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，構造新的函數(shù)：,求其一階偏導數(shù)，并令其為0：,法方程式,寫成矩陣形式：,顯式表示：,第二節(jié) 精度評定,一、計算單位權中誤差,二、協(xié)因數(shù)陣,三、平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù),四、附有限制條件平差的間接平差計算步驟,根據(jù)平差問題的具體情況，設定參數(shù)，列出誤差方程式與限制條件。 根據(jù)觀測值的權組成法方程式。 解算法方程，求出聯(lián)系數(shù)X與K值。 將K與x值代入改正數(shù)方程式，求出V值，并求出平差值與參數(shù)平差值。 精度評定。,例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)列于下表。按間接平差求各點的高程平差值。,解：,1、列誤差方程,n=7, t=5-1-1=3, r=7-