1、10.7離散型隨機變量的均值與方差,-2-,-3-,知識梳理,雙擊自測,1.離散型隨機變量的均值 (1)一般地,若離散型隨機變量X的分布列為:,則稱E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平. (2)若Y=aX+b,其中a,b為常數(shù),則Y也是隨機變量,且E(aX+b)=aE(X)+b. (3)若X服從兩點分布,則E(X)=p; 若XB(n,p),則E(X)=np.,-4-,知識梳理,雙擊自測,2.離散型隨機變量的方差 (1)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為,則(xi-E(X)2描述了xi(i=1,2,n)相對于均值E(X)的偏

2、離程度.而D(X)= 為這些偏離程度的加權(quán)平均,刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.稱D(X)為隨機變量X的方差,其算術(shù)平方根 為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差. (2)D(aX+b)=a2D(X). (3)若X服從兩點分布,則D(X)=p(1-p). (4)若XB(n,p),則D(X)=np(1-p).,-5-,知識梳理,雙擊自測,1.已知隨機變量X的分布列如下表,則E(X)=(),A.0.4B.1.2C.1.6D.2,2.已知隨機變量X的分布列為P(X=k)= ,k=1,2,3, 則D(3X+5)=() A.6B.9C.3D.4,D,解析:由0.2+0.2+y=1,得y=0.6,所以E(X

3、)=10.2+30.6=2.故選D.,A,-6-,知識梳理,雙擊自測,3.設(shè)XB(n,p),若D(X)=4,E(X)=12,則n的值為. 4.有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,從中有放回地任取3件,若表示取到次品的個數(shù),則D()=.,18,-7-,知識梳理,雙擊自測,5.隨機變量的取值為0,1,2,若P(=0)= ,E()=1,則D()=.,-8-,知識梳理,雙擊自測,自測點評 1.求離散型隨機變量均值先要正確求出每個隨機變量的概率,然后由公式求出均值. 2.D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度,D(X)越大表明平均偏離程度越大,說明X的取值越分散.,-9-,考點一,考點二,離

4、散型隨機變量的均值(考點難度) 例1(2016四川高考)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時,就說這次試驗成功,則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是.,-10-,考點一,考點二,例2(2017屆嘉興、湖州基礎(chǔ)知識測試)已知一個袋子中裝有4個紅球和2個白球,假設(shè)每個球被摸到的可能性是相等的,若從袋子摸出3個球,記摸到白球的個數(shù)為,則=1的概率是,隨機變量的均值是.,1,-11-,考點一,考點二,方法總結(jié)求離散型隨機變量均值的步驟: (1)理解隨機變量X的意義,寫出X可能取得的全部值; (2)求X取每個值的概率; (3)寫出X的分布列; (4)由均值定義求出E(X).,-12-,考點

5、一,考點二,對點訓(xùn)練某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊. (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率; (2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,-13-,考點一,考點二,-14-,考點一,考點二,離散型隨機變量的方差(考點難度) 例3從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回地摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為X,已知E(X)=

6、3,則D(X)=(),B,-15-,考點一,考點二,方法總結(jié)1.D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度,D(X)越大表明平均偏離程度越大,說明X的取值越分散;反之,D(X)越小說明X的取值越集中在E(X)附近.統(tǒng)計中常用 來描述X的分散程度. 2.隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量偏離均值的程度.它們從整體和全局上刻畫了隨機變量,是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù),一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.,-16-,考點一,考點二,對點訓(xùn)練袋中有20個大小相同的球,其中標(biāo)號為0的有10個,標(biāo)號為n的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,X表

7、示所取球的標(biāo)號. (1)求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差; (2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.,-17-,考點一,考點二,-18-,解題模板 典例已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束. (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率; (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).,-19-,-20-,反思提升求離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的基本

8、步驟: 第一步,明確變量,確定隨機變量的所有可能的取值; 第二步,求概率,求每一個可能值所對應(yīng)的概率; 第三步,得分布列,列出離散型隨機變量的分布列; 第四步,公式求值,利用公式求均值和方差; 第五步,回顧檢查,解后反思.,-21-,高分策略1.計算均值與方差的基本方法 (1)已知隨機變量的概率分布求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用定義或公式求; (2)已知隨機變量X的均值、方差,求X的線性函數(shù)Y=aX+b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用均值及方差的性質(zhì)求; (3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等),則可直接利用它們的均值、方差公式來求. 2.求均值與方差常用的結(jié)論 掌握下述有關(guān)結(jié)論,會給解題帶來方便: (1)E(aX+b)=aE(X)+b, E(X+Y)=E(X)+E(Y), D(aX+b)