1、高考解答題專講專練 空間向量與立體幾何,-2-,從近五年的高考試題來看,立體幾何是歷年高考的重點(diǎn),約占整個試卷的13%,通常以一大一小的模式命題,以中、低檔難度為主.三視圖、簡單幾何體的表面積與體積、點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定與證明以及空間向量與空間角的計算是考查的重點(diǎn)內(nèi)容,前者多以客觀題的形式命題,后者主要以解答題的形式加以考查.著重考查推理論證能力和空間想象能力,而且對數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求有加強(qiáng)的趨勢.轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿整個立體幾何的始終.,-3-,題型一,題型二,題型三,空間角問題 例1(2016浙大附中全真模擬)如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PA

2、=AB,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn). (1)求證:PB平面AEC; (2)求二面角E-AC-B的大小.,-4-,題型一,題型二,題型三,(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO, 則EO是PDB的中位線,EOPB.PB平面AEC. (2)解:取AD的中點(diǎn)F,連接EF,FO,則EF是PAD的中位線. EFPA,又PA平面ABCD,EF平面ABCD. 同理FO是ADC的中位線. FOAB,FOAC.由三垂線定理可知EOF是二面角E-AC-D的平面角.,而二面角E-AC-B與二面角E-AC-D互補(bǔ), 故所求二面角E-AC-B的大小為135.,-5-,題型一,題型二,題型三,策略技巧1.浙江高考中空間向量與立

3、體幾何的問題常常第一問證明平行和垂直關(guān)系,第二問求空間角相關(guān)問題. 2.求空間角有兩種方法:(1)傳統(tǒng)法:通過“作、證、算”三步曲可以得到空間角;(2)向量法:通過方向向量和法向量的角得到空間角.,-6-,題型一,題型二,題型三,對點(diǎn)訓(xùn)練(2016浙江五校聯(lián)盟一模)如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn). (1)證明:AEPD; (2)若H為PD上的動點(diǎn),EH與平面PAD所成最大角的正切值為 ,求二面角E-AF-C的余弦值.,-7-,題型一,題型二,題型三,(1)證明:由四邊形ABCD為菱形,ABC=60,可得ABC為正三

4、角形. 因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AEBC. 又BCAD,因此AEAD. 因?yàn)镻A平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE. 而PA平面PAD,AD平面PAD且PAAD=A, 所以AE平面PAD. 又PD平面PAD, 所以AEPD.,-8-,題型一,題型二,題型三,(2)解:設(shè)AB=2,H為PD上任意一點(diǎn),連接AH,EH. 由(1)知AE平面PAD, 則EHA為EH與平面PAD所成的角.,即當(dāng)AHPD時,EHA最大.,又AD=2,所以ADH=45,所以PA=2. 因?yàn)镻A平面ABCD,PA平面PAC, 所以平面PAC平面ABCD. 過E作EOAC于O,則EO平面PAC, 過O作OSAF于S,

5、連接ES,則ESO為二面角E-AF-C的平面角.,-9-,題型一,題型二,題型三,-10-,題型一,題型二,題型三,點(diǎn)評 求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此題是利用二面角的平面角的定義作出ESO為二面角E-AF-C的平面角,通過解三角形求得ESO.其解題過程為:作ESO證ESO是二面角的平面角計算ESO,簡記為“作、證、算”.,-11-,題型一,題型二,題型三,平面圖形的翻折問題 例2(2016全國高考甲卷)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF= ,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置,OD= .,(1)

6、證明:DH平面ABCD; (2)求二面角B-DA-C的正弦值.,-12-,題型一,題型二,題型三,-13-,題型一,題型二,題型三,-14-,題型一,題型二,題型三,-15-,題型一,題型二,題型三,策略技巧平面圖形的翻折問題,關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地,翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.,-16-,題型一,題型二,題型三,對點(diǎn)訓(xùn)練(2016浙江五校聯(lián)考二模)如圖1,E,F分別是AC,AB的中點(diǎn),ACB=90,CAB=30,沿著EF將AEF折起,記二面角A-EF-C的度數(shù)為. (1)當(dāng)=90時,即得到圖2,求二面角A-

7、BF-C的余弦值; (2)如圖3中,若ABCF,求cos 的值.,-17-,題型一,題型二,題型三,-18-,題型一,題型二,題型三,-19-,題型一,題型二,題型三,立體幾何中的探究性問題 例3 (2016浙江紹興一中5月模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AD=PD=2,PA= ,PDC=120,點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AB上.,-20-,題型一,題型二,題型三,解:(1)證明:在PCD中,PD=CD=2, E為PC的中點(diǎn), DE平分PDC,PDE=60, 在RtPDE中,DE=PDcos 60=1,CDFH. 又CDEH,FHEH=H,CD平面EFH. 又E

8、F平面EFH,CDEF.,-21-,題型一,題型二,題型三,(2)證明:AD=PD=2,PA= ,ADPD. 又ADDC,AD平面PCD. 又AD平面ABCD,平面PCD平面ABCD. (3)過D作DGDC交PC于點(diǎn)G,則由平面PCD平面ABCD知,DG平面ABCD, 故DA,DC,DG兩兩垂直,以D為原點(diǎn),以DA,DC,DG所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz,-22-,題型一,題型二,題型三,-23-,題型一,題型二,題型三,-24-,題型一,題型二,題型三,策略技巧對于線面關(guān)系中的探索性問題,首先假設(shè)存在,然后在這個假設(shè)下利用線面關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行推理論證,尋求假

9、設(shè)滿足的條件.若條件滿足,則肯定假設(shè);若得到矛盾,則否定假設(shè).,-25-,題型一,題型二,題型三,對點(diǎn)訓(xùn)練(2016浙江金華永康模擬)多面體ABCDEF中,底面ABCD為正方形,BEDF,BE=DF,BE平面ABCD且BE=2AB=2,點(diǎn)P是線段BE上的一點(diǎn),且BP=. (1)當(dāng) 時,求證:BF平面PAC. (2)是否存在,使直線BF與平面PAC所成角的正切值為 ?若存在,有幾個P點(diǎn)滿足條件?并求出對應(yīng);若不存在,請說明理由.,-26-,題型一,題型二,題型三,-27-,題型一,題型二,題型三,(2)解:AC平面BDFE,平面PAC平面BDFE. BF在平面PAC內(nèi)的射影為PM, 故直線BF與平面PAC所成角即BF與PM所成的角,記為, 在平面BDFE中,令PMBF=N,則BNM=或BNM=180-, 再令BPN=,PBN=,當(dāng)BNM=時,-28-,題型一,題型二,題型三,感悟提高1.注重基礎(chǔ)、抓住關(guān)鍵.線面角、直線與平面的