1、.空間數(shù)據(jù)的地理參照系和控制基礎(chǔ)4、高斯克呂格投影高斯克呂格投影是一種橫軸等角切橢圓柱投影。 它是將一橢圓柱橫切于地球橢球體上， 該橢圓柱面與橢球體表面的切線為一經(jīng)線， 投影中將其稱為中央經(jīng)線，然后根據(jù)一定的約束條件即投影條件， 將中央經(jīng)線兩側(cè)規(guī)定范圍內(nèi)的點投影到橢圓柱面上，從而得到點的高斯投影 ( 圖 3-2-5) 。 將一球橢球體地球裝在橢圓柱內(nèi)上下切點為中央經(jīng)線。高斯投影的條件為：(1) 中央經(jīng)線和地球赤道投影成為直線且為投影的對稱軸；(2) 等角投影；(3) 中央經(jīng)線上沒有長度變形。根據(jù)高斯投影的條件推導出的高斯克呂格投影的計算公式為：式中： X、Y 為點的平面直角坐標系的縱、橫坐標；

2、.、 為點的地理坐標，以弧度計，從中央經(jīng)線起算；S 為由赤道至緯度 處的子午線弧長；N為緯度 處的卯酉圈曲率半徑；其中 為地球的第二偏心率， a、b 則分別為地球橢球體的長短半軸。高斯投影由于是等角投影， 故沒有角度變形， 其沿任意方向的長度比都相等，其面積變形是長度的兩倍。 對高斯克呂格投影長度變形的研究可以依下述長度比表達式進行：由該長度比公式可以分析出高斯投影變形具有以下特點：(1) 中央經(jīng)線上無變形；(2) 同一條緯線上，離中央經(jīng)線越遠，變形越大；(3) 同一條經(jīng)線上，緯度越低，變形越大；由此可見，高斯投影的最大變形處為各投影帶在赤道邊緣處， 為了控制變形，我國地形圖采用分帶方法，即將

3、地球按一定間隔的經(jīng)差 (6 或 3) 劃分為若干相互不重疊的投影帶，各帶分別投影。 1： 2.5 萬至 1： 50 萬的地形圖均采用 6分帶方案，即從格林尼治零度經(jīng)線起算，每 6為一個投影帶，全球共分為 60 個投影帶。我國領(lǐng)土位于東經(jīng) 72到 136之間，共包括 11 個投影帶 (13 帶 22 帶) 。1：1 萬及更大比例尺地形圖采用 3分帶方案，全球共分為 120 個投影帶。圖 34 給出了高斯投影的 6帶和 3帶分帶方案。.為了制作地圖和使用地圖的方便， 通常在地圖上都繪有一種或兩種坐標網(wǎng)，即經(jīng)緯線網(wǎng)和方里網(wǎng)。經(jīng)緯線網(wǎng) 即指由經(jīng)線和緯線所構(gòu)成的坐標網(wǎng)，又稱地理坐標網(wǎng)。在 1：1 萬 1

4、：20 萬比例尺的地形圖上，經(jīng)緯線只以圖廓線的形式直接表現(xiàn)出來， 并在圖角處注出相應(yīng)度數(shù)。 為了在用圖時加密成網(wǎng)， 在內(nèi)外圖廓間還繪有加密經(jīng)緯網(wǎng)的加密分劃短線 ( 圖式中稱“分度帶” ) ，必要時對應(yīng)短線相連就可以構(gòu)成加密的經(jīng)緯線網(wǎng)。 1：25 萬地形圖上，除內(nèi)圖廓上繪有經(jīng)緯網(wǎng)的加密分劃外，圖內(nèi)還有加密用的十字線。我國的 1： 50 萬 1：100 萬地形圖，在圖面上直接繪出經(jīng)緯線網(wǎng)，內(nèi)圖廓上也有供加密經(jīng)緯線網(wǎng)的加密分劃短線。方里網(wǎng) 是由平行于投影坐標軸的兩組平行線所構(gòu)成的方格網(wǎng)。 因為是每隔整公里繪出坐標縱線和坐標橫線， 所以稱之為方里網(wǎng)， 由于方里線同時又是平行于直角坐標軸的坐標網(wǎng)線，故又

5、稱直角坐標網(wǎng)。直角坐標網(wǎng)的坐標系以中央經(jīng)線投影后的直線為 X 軸，以赤道投影后的直線為 Y 軸，它們的交點為坐標原點。這樣，坐標系中就出現(xiàn)了四個象限?？v坐標從赤道算起向北為正、向南為負；橫坐標從中央經(jīng)線算起，向東為正、向西為負。我國位于北半球，全部 X 值都是正值。在每個投影帶中則有一半的 Y 坐標值為負。為了避免 Y 坐標出現(xiàn)負值，規(guī)定縱坐標軸向西平移 500km(半個投影帶的最大寬度不超過 500km)。這樣，全部坐標值都表現(xiàn)為正值了。.1 緒論坐 系 的 一 工程來 是一 首先必 行的工作，同 坐 系 的適當與否關(guān)系到整個工程的 量 ，因此 坐 系 的研究是一 非常重要和必 的工作。我國

6、 范 定：所有國家的大地點均按高斯正形投影 算其在 內(nèi)的平面直角坐 。在 1 ： 1萬和更大比例尺 的地區(qū)， 加算其在 內(nèi)的直角坐 系。我 通常將 種控制點在 或帶內(nèi)的坐 系稱 國家 一坐 系 。在 用中，國家 一坐 系 往往不能 足工程建 的需要，所以必 不同的工程采用適合它的獨立坐 系 。 路獨立坐 系的建立方法研究主要是研究 路工程中如何建立坐 系 而使其精度能 足工程需要。由于 路 量的特點是跨度 ， 當采用國家 一坐 系 往往會因 離開中央子午 而使 形量超限，因此必 采用獨立坐 系 。由于 路工程的不同，因此需采用的獨立坐 系 也不盡相同。所以 不同的 路工程 采用不同的獨立坐 系

7、 。 當 路工程是南北走向 由于 路基本上位于中央子午 上 , 因此不必要 多個獨立坐 系 的 接 行研究。 當 路工程是 西走向 由于 路跨度 而往往需要建立多個獨立坐 系 ，因此需要 多個獨立坐 系 的 接 行研究。公路、 路、架空送 路以及 油管道等均屬于 型工程，它 的中 稱 路。一條 路的勘 和 工作，主要是根據(jù)國家的 劃與自然地理條件，確定 路 合理的位置。 達此目的，必 行反復地 踐和比 。 路在勘 段首先要 行控制 量工作，由于在 路控制 量 程中，每條 路所在 區(qū)的位置不同且距離不可能很短 , 有的可能跨越一個投影 , 二個投影 甚至更多 , 所以 , 在 路控制 量中 ,

8、投影 度 形很容易超限， 就需要我 采取一定的措施來使投影 度 形減弱，將投影 度 形控制在允 的范 之內(nèi)。最有效的方法就是建立與 區(qū)相適 的坐 系 。坐 系 是所有 量工作的基 ， 所有 量成果都是建立在其上的 , 因此坐 系 的適當與否關(guān)系到整個工程的 量 。 于 路工程而言，使投影 度 形控制在允 的精度范 之內(nèi)是建立獨立坐 系 主要解決的 ，因此，獨立坐 系 的建立主要是根據(jù) 路的 度和所在 區(qū)的不同而建立與本 區(qū)和本 路相適 的坐 系 ，從而使其投影 度 形控制在允 范 之內(nèi)。本文以 路控制 量 例， 述了 路獨立坐 系 的建立方法。2 高斯平面直角坐標系的建立.我們已經(jīng)知道，大地坐

9、標系是以橢球面為基準面的坐標系，它可以用來確定地面點在橢球面上的位置，但是如果用于大比例尺測圖控制網(wǎng)以及工程控制網(wǎng)則不適應(yīng)。因此通常是將橢球面上的元素，如大地坐標、長度、方向等轉(zhuǎn)化至平面上，采用平面直角坐標系進行計算，本章就高斯平面直角坐標系的建立及相關(guān)問題進行了討論。2.1.1地球橢球的基本幾何參數(shù)參考橢球具有一定的幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在該面上進行計算，它是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。有關(guān)元素如圖1O 為橢球中心；NS 為旋轉(zhuǎn)軸；a 為長半軸；b 為短半軸；子午圈

10、（或徑圈或子午橢圓）；平行圈（或緯圈）；赤道。旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)（元素）（圖 1 ：橢球參數(shù)示意圖）來決定的，即：橢圓的長半軸：a橢圓的短半軸：b橢圓的扁率：(2-1)橢圓的第一偏心率：(2-2).橢圓的第二偏心率：(2-3)其中： a 、 b 稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度，如=0 時，橢球變?yōu)榍蝮w；=1 時，則為平面。e 和 e / 是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映了橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。五個參數(shù)中，若知道其中的兩個參數(shù)就可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應(yīng)已知一個長度元素（如a或 b ），人們習慣于用和表

11、示橢球的形狀和大小，便于級數(shù)展開。引入下列符號：(2-4)式中 B 為大地緯度， c 為極曲率半徑（極點處的子午線曲率半徑）。兩個常用的輔助函數(shù)，W 第一基本緯度函數(shù)，V 第二基本緯度函數(shù)。(2-5)傳統(tǒng)大地測量利用天文大地測量和重力測量資料推求地球橢球的幾何參數(shù)，自1738年（法國）布格推算出第一個橢球參數(shù)以來，200 多年間各國大地測量工作者根據(jù)某一國或某一地區(qū)的資料，求出了數(shù)目繁多，數(shù)值各異的橢球參數(shù)。由于衛(wèi)星大地測量的發(fā)展，使推求總地球橢球體參數(shù)成為可能，自1970年以后的橢球參數(shù)都采用了衛(wèi)星大地測量資料。長半經(jīng)變化于6378135m 6378145m之間，扁率分母變化于298.25

12、298.26之間， 可見精度已很高。比較著名的有30 個橢球參數(shù)，其中涉及我國的如表1 示：（表 1 ：橢球參數(shù)表）橢球參數(shù)年代長半徑 m扁率分母采用國家、地區(qū)海福特19066378283297.8美、阿根廷、比利時、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3蘇、東歐、中、朝鮮等.1975年大地坐標19756378140298.2571975 年國際第三個推薦值我國 1954 年北系京坐標系應(yīng)用WGS-8419846378137298.25722GPS 定位系統(tǒng)的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，1980年西安坐標系應(yīng)用的是1975 年國際橢球參數(shù)，而GPS 應(yīng)用的是 WGS-84系橢球參數(shù)。2

13、.1.2地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系由 (2-2) 和(2-3) 式得：并得：(2-6)推得：同理可得：(2-8).。2.2.1高斯投影與高斯平面直角坐標地球投影 所謂地球投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括坐標、方向和長度）按一定的數(shù)學法則投影到平面上。(2-9)式中 L，B 是橢球面上某點的大地坐標，而是該點投影后的平面( 投影面 ) 直角坐標。式(2-9)表示了橢球面上一點同投影面上對應(yīng)點之間坐標的解析關(guān)系，也叫做坐標投影公式。投影問題也就是建立橢球面元素與投影面相對應(yīng)元素之間的解析關(guān)系式。投影的方法很多，如高斯投影、 蘭勃脫投影等。我國采用高斯投影。高斯投影又稱橫軸橢圓柱等角投影，是德國

14、測量學家高斯于1825 1830年首先提出的。實際上，直到1912 年，由德國另一位測量學家克呂格推導出實用的坐標投影公式后，這種投影才得到推廣，所以該投影又稱高斯 - 克呂格投影。想象有一橢圓柱面橫套（圖 2 ：橫軸橢圓柱等角投影示意圖）在地球橢球體外面，并與某一條子午線（稱中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定的投影方法將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面。我國規(guī)定按經(jīng)差和度進行投影分帶，大比例尺測圖和工程測量一般采用帶投影。特殊情況下工程測量控制網(wǎng)也可用帶或任意帶。.高斯投影 自子午 起每隔 差自西向 分 ， 依

15、次 號 1,2,3, 。我國 中央子午 的 度，由起每隔而至，共 12 ， 號用 n 表示，中央子午 的 度用表示， 與 n 的關(guān)系 。（ 3 ：高斯投影分 示意 ）高斯投影 是自子午 每隔 差自西向 分 ，它的中央子午 一部分同 中央子午 重合，一部分同 分界子午 重合， 號用n / 表示， 中央子午 用L 表示，關(guān)系是：。在投影面上，中央子午 和赤道的投影都是直 ，并且以中央子午 和赤道的交點O 作 坐 原點，以中央子午 的投影 坐 ，以赤道的投影 橫坐 ， 便形成了高斯平面直角坐 系。在我國坐 均 正，坐 的最大 （在赤道上） 約為 330KM 。 避免出 的橫坐 ，可在橫坐 上加500

16、KM 。此外 在坐 前面冠以 號， 種坐 稱 國家 一坐 。如某點 Y=19123456.789m， 點位于 19 內(nèi)，其相 于中央子午 而言的橫坐 是：首先去掉 號， 再減去 500KM ，最后得 y=-376543.211m。由于分 造成了 界子午 兩 的控制點和地形 于不同的投影 內(nèi)， 了把各 成整體，一般 定各投影 要有一定的重疊度，其中每一 向 加 ，向西加 ， 在上述重疊范 內(nèi)，控制點將有兩套相 的坐 ，地形 將有兩套公里格網(wǎng)，從而保 了 地區(qū)控制點 的互相 用，也保 了地 的拼接和使用。由于高斯投影是正形投影，故保 了投影的角度不 性、 形的相似性以及在某點各方向上 度比的同一性

17、；由于采用了同 法 的分 投影，既限制了 度 形，又保 了在不同投影 中采用相同的 公式和數(shù)表 行由于 形引起的各 改正的 算，且 與 的互相 算也能用相同的公式和方法 行。高斯投影 些 點使它得到廣泛的推廣和具有國 性。2.2.2高斯投影坐標正反算公式2.2.2. 1高斯投影坐 正算公式：B,x,y高斯投影必 足以下三個條件：.中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后長度不變；投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線，即式中， x 為的偶函數(shù)， y 為的奇函數(shù)；，即，如展開為的級數(shù)，收斂。（ 2-10 ）式中是待定系數(shù)，它們都是緯度B 的函數(shù)

18、。由第三個條件知：分別對和 q 求偏導數(shù)并代入上式(2-11)上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪前的系數(shù)應(yīng)相等，即(2-12)(2-12)是一種遞推公式，只要確定了就可依次確定其余各系數(shù)。由第二條件知 : 位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標x 應(yīng)等于投影前從赤道量至該點的子午線弧長X ，即(2-10)式第一式中，當時有：.(2-13)顧及 ( 對于中央子午線)得：(2-14,15)(2-16)依次求得并代入 (2-10)式，得到高斯投影正算公式(2-17)2.2.2. 2高斯投影坐標反算公式x,yB,投影方程：(2-18)高斯投影坐標反算公式推導要復雜些。.由 x 求底點緯度 ( 垂足緯

19、度 ), 對應(yīng)的有底點處的等量緯度，求 x,y 與的關(guān)系式，仿照式有，由于 y 和橢球半徑相比較小(1/16.37)，可將展開為 y 的冪級數(shù)；又由于是對稱投影，q 必是 y 的偶函數(shù)，必是 y 的奇函數(shù)。(2-19)是待定系數(shù)，它們都是x 的函數(shù) .由第三條件知：， (2-20)(2-19)式分別對 x 和 y 求偏導數(shù)并代入上式上式相等必要充分條件，是同次冪 y 前的系數(shù)相等，.第二條件，當y=0 ，點在中央子午 上，即x=X ， 的點稱 底點，其 度 底點 度，也就是 x=X 的子午 弧 所 的 度， 所 的等量 度 。也就是在底點展開 y 的 數(shù)。由(2-19)1式依次求得其它各系數(shù)(2-21)(2-21)1將代入 (2-19)1式得(2-22)1(2-22)將代入 (2-19)2式得 (2-23)2式。 ( 最后表達式 )求與的關(guān)系。.由式知：(2-23)