1、定義新運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)定義新運(yùn)算這類題目是在考驗(yàn)我們的適應(yīng)能力，我們大家都習(xí)慣四則運(yùn)算，定義新運(yùn)算就打破了運(yùn)算規(guī)則，要求我們要嚴(yán)格按照題目的規(guī)定做題新定義的運(yùn)算符號(hào)，常見的如、等等，這些特殊的運(yùn)算符號(hào)，表示特定的意義，是人為設(shè)定的解答這類題目的關(guān)鍵是理解新定義，嚴(yán)格按照新定義的式子代入數(shù)值，把定義的新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的四則運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)撥一定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定

2、符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。我們學(xué)過(guò)的常用運(yùn)算有：、等.如：235 236都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過(guò)這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“”，“”，“”，“”運(yùn)算不相同.二定義新運(yùn)算分類1.直接運(yùn)算型2.反解未知數(shù)型3.觀察規(guī)律型4.其他類型綜合例題精講模塊一、直接運(yùn)算型【例 1】

3、若表示，求的值?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【解析】 A*B是這樣結(jié)果這樣計(jì)算出來(lái)：先計(jì)算A3B的結(jié)果，再計(jì)算AB的結(jié)果，最后兩個(gè)結(jié)果求乘積。由A*B（A3B）（AB）可知： 5*7（537）（57）（521）12 2612 312【答案】【鞏固】 定義新運(yùn)算為ab（a1）b，求的值。6（34）【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【解析】 所求算式是兩重運(yùn)算，先計(jì)算括號(hào)，所得結(jié)果再計(jì)算。由ab（a1）b得，34（31）4441；6（34）61（61）17【答案】【鞏固】 設(shè)，那么，5_，(52)_.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【解

4、析】,【答案】【鞏固】 、表示數(shù)，表示，求3(68)【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【解析】【答案】【鞏固】 已知a,b是任意自然數(shù),我們規(guī)定: ab= a+b-1,那么. 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 原式【答案】【鞏固】 表示【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2010年，第8屆，走美杯，3年級(jí)，初賽【解析】 原式【答案】【鞏固】 規(guī)定運(yùn)算“”為：若ab，則ab=ab；若a=b，則ab=ab1；若ab，則ab=ab。那么，（23）（44）（75）=?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2

5、009年，希望杯，第七屆，四年級(jí)，二試【解析】 19【答案】【例 2】 “”是一種新運(yùn)算，規(guī)定：abacbd(其中c，d為常數(shù))，如575c7d。如果125，238，那么61OOO的計(jì)算結(jié)果是_。【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2006年，希望杯，第四屆，六年級(jí)，二試【解析】 121c2d=5，232c3d=8，可得c=1,d=2610006c1000d=2006【答案】【鞏固】 對(duì)于非零自然數(shù)a和b，規(guī)定符號(hào)的含義是：ab（m是一個(gè)確定的整數(shù)）。如果1423，那么34等于_?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2007年，希望杯，第五屆

6、，六年級(jí)，二試【解析】 根據(jù)14=23，得到，解出m=6。所以，?！敬鸢浮俊纠?3】 對(duì)于任意的整數(shù)x與y定義新運(yùn)算“”：,求29。【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】北京市，迎春杯【解析】 根據(jù)定義于是有【答案】【鞏固】 “*”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：，已知，求。【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【解析】 根據(jù)題意得，所以【答案】【例 4】 A表示自然數(shù)A的約數(shù)的個(gè)數(shù).例如4有1,2,4三個(gè)約數(shù),可以表示成4=3.計(jì)算:=. 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 因?yàn)橛袀€(gè)約數(shù),所以18=6,同樣可知22=4,7=2.原

7、式.【答案】【鞏固】 x為正數(shù),表示不超過(guò)x的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù),如=3,即不超過(guò)5.1的質(zhì)數(shù)有2,3,5共3個(gè).那么+的值是.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 為不超過(guò)19的質(zhì)數(shù),有2,3,5,7,11,13,17,19共8個(gè).為不超過(guò)的質(zhì)數(shù),共24個(gè),易知=0,所以，原式=+=11.【答案】【鞏固】 定義運(yùn)算“”如下:對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根據(jù)上面定義的運(yùn)算,1812=.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 1812=(18,12)+18,12=6+36=4

8、2. 【答案】【例 5】 我們規(guī)定：符號(hào)表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：53=35=5，符號(hào)表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：53=35=3，計(jì)算：的結(jié)果是多少？【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】【答案】【鞏固】 規(guī)定：符號(hào)“&”為選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，“”為選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算。計(jì)算下式：（73）& 5 5（3 & 7） 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 新定義運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算時(shí)如果遇到有括號(hào)的，要先計(jì)算小括號(hào)里的，再計(jì)算中括號(hào)里的。 （76）& 5 5（3 & 9） 6 & 5 59 6530【答案】【鞏固】 我們規(guī)定：AB表示A、B

9、中較大的數(shù)，AB表示A、B中較小的數(shù)。則【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2006年，第4屆，走美杯，3年級(jí)，決賽【解析】 根據(jù)題目要求計(jì)算如下：【答案】【例 6】 如果規(guī)定ab =13a-b 8，那么1724的最后結(jié)果是_?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2003年，第1屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 1724=1317-248=221-3=218【答案】【鞏固】 若用G（a）表示自然數(shù)a的約數(shù)的個(gè)數(shù)，如：自然數(shù)6的約數(shù)有1、2、3、6，共4個(gè)，記作G（6）=4，則G(36)+G(42)=?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【

10、題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2003年，第1屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 36的約數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的約數(shù)有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有?！敬鸢浮俊眷柟獭?如果,那么?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2004年，第2屆，希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 2&5=2+510=2.5【答案】【例 7】 “華”、“杯”、“賽”三個(gè)字的四角號(hào)碼分別是“2440”、“4199”和“3088”，將“華杯賽”的編碼取為8，如果這個(gè)編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變，偶數(shù)位的數(shù)碼改變?yōu)殛P(guān)于9的補(bǔ)碼，例如：0變9，1變8等，那么“華杯賽”新的編

11、碼是_.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2007年，第十二屆，華杯賽，六年級(jí)，決賽【解析】 偶數(shù)位自左至右依次為4、0、1、9、0、8，它們關(guān)于9的補(bǔ)碼自左至右依次為5、9、8、0、9、1，所以“華杯賽”新的編碼是：1【答案】【例 8】 羊和狼在一起時(shí)，狼要吃掉羊.所以關(guān)于羊及狼，我們規(guī)定一種運(yùn)算，用符號(hào)表示：羊羊=羊；羊狼=狼；狼羊=狼；狼狼=狼，以上運(yùn)算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼.所以我們規(guī)定另一種運(yùn)算，用符號(hào)表示：羊羊=羊；羊狼=羊；狼羊=羊；狼狼=狼，這個(gè)運(yùn)算的意思是：羊與羊在一

12、起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰(zhàn)勝狼，當(dāng)狼與羊在一起時(shí)，它便被羊趕走而只剩下羊了。對(duì)羊或狼，可以用上面規(guī)定的運(yùn)算作混合運(yùn)算，混合運(yùn)算的法規(guī)是從左到右，括號(hào)內(nèi)先算.運(yùn)算的結(jié)果或是羊，或是狼求下式的結(jié)果：羊(狼羊)羊(狼狼) 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】第五屆，華杯賽，復(fù)賽【解析】 因?yàn)槔抢?狼，所以原式=羊(狼羊)羊狼無(wú)論前面結(jié)果如何，最后一步羊狼或者狼狼總等于狼，所以原式=狼【答案】狼【例 9】 一般我們都認(rèn)為手槍指向誰(shuí)，誰(shuí)好像是有危險(xiǎn)的，下面的規(guī)則同學(xué)們能看懂嗎規(guī)定：警察小偷警察，警察小偷小偷那么：（獵人小兔）（山羊白菜）【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)

13、算【難度】2星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2009年，學(xué)而思杯，4年級(jí)【解析】 誰(shuí)握著槍就留下誰(shuí)，結(jié)果應(yīng)該是白菜【答案】白菜模塊二、反解未知數(shù)型【例 10】 如果ab表示,例如34,那么,當(dāng)a5=30時(shí), a=.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 依題意,得,解得.【答案】【鞏固】 規(guī)定新運(yùn)算:ab=3a-2b.若x(41)=7,則x=.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 因?yàn)?1=,所以x(41)= x10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】【鞏固】 如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,當(dāng)x5比5x大5時(shí), x=【考

14、點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 根據(jù)題意x5-5x=(3x-25)-(35-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】【鞏固】 對(duì)于數(shù)a、b、c、d，規(guī)定，2abcd，已知7，求x的值?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 根據(jù)新定義的算式，列出關(guān)于x的等式，解出x即可。將1、3、5、x代入新定義的運(yùn)算得：2135x1x，又根據(jù)已知7，故1x7，x6。【答案】【例 11】 定義新運(yùn)算為，求的值；若則x的值為多少？【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 因?yàn)?，所以，所以x的值為4.4.【答案】【鞏固】

15、對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算：，其中、表示自然數(shù).如果，那么等于幾？【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】4星【題型】計(jì)算【解析】 方法一：由題中所給定義可知，為多少，則就有多少個(gè)乘數(shù)，即：602，則；，即33,所以方法二：可以先將（x3）看作一個(gè)整體，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，即33，所以【答案】【例 12】 定義為與之間（包含、）所有與奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：，在算術(shù)的方格中填入恰當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，那么所填的數(shù)是多少？【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】4星【題型】計(jì)算【解析】 ，所以方格中填的數(shù)一定大于80如果填的是個(gè)奇數(shù)，那么只能是；如果填的是個(gè)偶

16、數(shù)，那么這個(gè)數(shù)與60的平均數(shù)應(yīng)該是80，所以只能是因此所填的數(shù)可能是100和101【答案】和【鞏固】 如有#新運(yùn)算，#表示、中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#）=5，則可以是_（小于50）【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】4星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】101中學(xué)，入學(xué)測(cè)試【解析】 這是一道把數(shù)論、定義新運(yùn)算、倒推法、解方程等知識(shí)結(jié)合在一起的綜合題.可采用枚舉與篩選的方法.第一步先把（21#）看成一個(gè)整體.對(duì)于21#5，這個(gè)式子，一方面可把21作被除數(shù)，則等于（21-5）16的大于5的約數(shù)，有兩個(gè)解8與16；另一方面可把21

17、作除數(shù)，這樣滿足要求的數(shù)為26，47，即形如21N+5這樣的數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè).但必須得考慮，這些解都是由所代表的式子（21#）運(yùn)算得來(lái)，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是必須小于其中的每一個(gè)數(shù)的，也就是余數(shù)必須比被除數(shù)與除數(shù)都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.現(xiàn)在只剩下8，與16.第二步求：（21#）8與（21#）16.對(duì)于（21#）8可分別解得，把21作被除數(shù)時(shí)：13，把21作除數(shù)時(shí)為：29，50，形如21N+8的整數(shù)（N是正整數(shù)）.對(duì)于（21#）16 ，把21作被除數(shù)無(wú)解，21作除數(shù)時(shí)同理可得：37，58所有形如21N+16這樣的整數(shù).（N是正整數(shù)）. 所以符合條件的答案是13,29,37【答案】13,

18、29,37【例 13】 已知、滿足，；其中表示不大于的最大整數(shù)，表示的小數(shù)部分，即，那么?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2008年，學(xué)而思杯，6年級(jí)，第3題【解析】 根據(jù)題意，是整數(shù)，所以也是整數(shù)，那么，由此可得，所以，?！敬鸢浮俊纠?14】 規(guī)定：AB表示A、B中較大的數(shù)，AB表示A、B中較小的數(shù)若（A5B3）（B5+ A3）96，且A、B均為大于0的自然數(shù)，AB的所有取值為（8級(jí)）【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2006年，第4屆，走美杯，6年級(jí)，決賽【解析】 分類討論，由于題目中所要求的定義新運(yùn)算的符號(hào)是較大的數(shù)與較大的數(shù)

19、，則對(duì)于A或者B有3類不同的范圍，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。對(duì)于B也有類似，兩者合起來(lái)共有33=9種不同的組合，我們分別討論。1) 當(dāng)A3，B3，則（5+B）（5+A）=96=616=812，無(wú)解；2) 當(dāng)3A5，B3時(shí)，則有（5+B）（5+3）=96，顯然無(wú)解；3) 當(dāng)A5，B3時(shí)，則有（A+B）（5+3）=96，則A+B=12.所以有A=10，B=2，此時(shí)乘積為20或者A=11,B=1,此時(shí)乘積為11。4) 當(dāng)A3，3B5，有（5+3）（5+A）=96，無(wú)解；5) 當(dāng)3A5，3B5，有（5+3）（5+3）=96，無(wú)解；6) 當(dāng)A5，3B5，有（A+3）（5+3）=27，

20、則A=9.此時(shí)B=3后者B=4。則他們乘積有27與36兩種；7) 當(dāng)A3，B5時(shí)，有（5+3）（B+A）=96。此時(shí)A+B=12。A與B的乘積有11與20兩種；8) 當(dāng)3A5，B5，有（5+3）（B+3）=96。此時(shí)有B=9.不符；9) 當(dāng)A5，B5，有（A+3）（B+3）=96=812。則A=5,B=9，乘積為45。所以A與B的乘積有11,20,27，36,45共五種【答案】11,20,27,36,45模塊三、觀察規(guī)律型【例 15】 如果 12111 23222222 343333333333333計(jì)算（32）5?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：ab

21、中的b表示加數(shù)的個(gè)數(shù)，每個(gè)加數(shù)數(shù)位上的數(shù)字都由a組成，都由一個(gè)數(shù)位，依次增加到b個(gè)數(shù)位。（53）5 （555555）53075 【答案】【鞏固】 規(guī)定:62=6+66=7223=2+22+222=246, 14=1+11+111+1111=1234. 75=【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 75=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】【例 16】 有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，使下列算式成立：，求【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 通過(guò)對(duì)，這幾個(gè)算式的觀察，找到規(guī)律：，因此【答案】【鞏固】 規(guī)定, 計(jì)算：（21）（1110）_.【考

22、點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 這個(gè)題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和但是我們注意到要求的10項(xiàng)值有一個(gè)共同的特點(diǎn)就是在要我們求得這個(gè)式子中ba1，所以，我們不妨把ba1代入原定義ab就變成了ab所以21，32，32，則原式這里需要補(bǔ)充一個(gè)公式：【答案】【例 17】 一個(gè)數(shù)n的數(shù)字中為奇數(shù)的那些數(shù)字的和記為，為偶數(shù)的那些數(shù)字的和記為，例如，；【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2007年，第5屆，走美杯，5年級(jí)，決賽【解析】 可以換個(gè)方向考慮。數(shù)字1在個(gè)位出現(xiàn)10次，在十位出現(xiàn)10次，在百位出現(xiàn)1次，共21次。數(shù)字2到9

23、中的每一個(gè)在個(gè)位出現(xiàn)10次，在十位也出現(xiàn)10次，共20次。所以，1到100中所有奇數(shù)數(shù)字的和等于(1+3+5+7+9)20+1=501；所有偶數(shù)數(shù)字的和等于(2+4+6+8)20=400。【答案】模塊四、綜合型題目【例 18】 已知：103=14， 87=2，根據(jù)這幾個(gè)算式找規(guī)律，如果=1，那么=.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2007年，第12屆，華杯賽，五年級(jí)，決賽【解析】 規(guī)律是ab=(ab)2, 所以x=，即【答案】【例 19】 如果、是3個(gè)整數(shù)，則它們滿足加法交換律和結(jié)合律，即；?，F(xiàn)在規(guī)定一種運(yùn)算*，它對(duì)于整數(shù)a、b、c、d滿足：。例：請(qǐng)你舉例說(shuō)明，*運(yùn)

24、算是否滿足交換律、結(jié)合律?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級(jí)，二試【解析】 (2,1)*(4,3)=(24+13,2413)=(11,5)(4,3)*(2,1)=(43+21,4321)=(11,5)所以“*”滿足交換律(2,1)* (6,5)*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47)(2,1)* (6,5)*(4,3)=(2,1) * (39,9)= (87,69)所以“*”不滿足結(jié)合律【答案】 “*”滿足交換律 “*”不滿足結(jié)合律【例 20】 用表示的小數(shù)部分，表示不超過(guò)的最大整數(shù)。例如：記，請(qǐng)計(jì)算的

25、值?！究键c(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2004年，希望杯，第二屆，四年級(jí)，二試【解析】 代入計(jì)算結(jié)果分別為：0.4，1，0，1【答案】0.4，1，0，1【例 21】 在計(jì)算機(jī)中，對(duì)于圖中的數(shù)據(jù)(或運(yùn)算)的讀法規(guī)則是：先讀第一分支圓圈中的，再讀與它相連的第二分支左邊的圓圈中的，最后讀與它相連的第二分支右邊的圓圈中的，也就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)圓圈中的數(shù)據(jù)(或運(yùn)算)都是按中左右的順序。如：圖A表示：2+3，B表示2+321。圖C中表示的式子的運(yùn)算結(jié)果是_ 。【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】3星【題型】計(jì)算【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級(jí)，二試【解析】 “教研龍”認(rèn)

26、為第2個(gè)圖最上面的圓圈應(yīng)該有個(gè)2，原題卻沒有。第3個(gè)圖從上到下第3行第3個(gè)圈為2，第四個(gè)圈為42+(3+5)2-4=2【答案】【例 22】 表示成;表示成.試求下列的值:(1)(2)(3);(4)如果x, y分別表示若干個(gè)2的數(shù)的乘積,試證明:.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 (1);(2);(3)因?yàn)?所以;(4)略【答案】(1) (2)81 (3)(4) 令則.【例 23】 對(duì)于任意有理數(shù)x, y,定義一種運(yùn)算“”，規(guī)定:xy=,其中的表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),則m的數(shù)值是 _。【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜

27、合題【難度】4星【題型】計(jì)算【解析】 由題設(shè)的等式xy=及xm=x(m0),得, 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得解得a=5,c=1. 所以xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】【鞏固】 x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】4星【題型】計(jì)算【解析】 x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中m、n、k均為自然數(shù)，已知

28、 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.分析我們采用分析法，從要求的問(wèn)題入手，題目要求（12）*3的值，首先我們要計(jì)算12，根據(jù)“”的定義：12=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，l2的值也就計(jì)算出來(lái)了，我們?cè)O(shè)12=a.(12）*3=a*3，按“*”的定義：a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算（12）* 3的值，我們就要先求出k、m、n的值.通過(guò)1*2 =5可以求出m、n的值，通過(guò)（2*3）4=64求出k的值.因?yàn)?*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出：，（舍去）當(dāng)

29、m=1，n=2時(shí)：（2*3）4=（12+23）4=84=k84=32k有32k=64，解出k=2.當(dāng)m=3，n=1時(shí)：（2*3）4=（32+13）4=94=k94=36k有36k=64，解出，這與k是自然數(shù)矛盾，因此m=3，n=1，這組值應(yīng)舍去。所以m=l，n=2，k=2. （12）*3=（212）*3=4*3=14+23=10.【答案】【例 24】 對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算：，其中、表示自然數(shù).求1100的值；已知1075，求為多少？如果（3）2121，那么等于幾？【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 1100x1075,解得x3方法一：由題中所給定義可知，b

30、為多少，則就有多少個(gè)加數(shù)，即：，則x360；，即19360,所以x19方法二：可以先將（x3）看作一個(gè)整體y，那么就是y2121，y2,所以y60，那么也就有x360，即19360，所以x19【答案】【鞏固】 兩個(gè)不等的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù),余數(shù)記為ab,比如52=1,725=4,68=2.（8級(jí)） (1)求19912000,(519)19,(195)5; (2)已知11x=2,而x小于20,求x; (3)已知(19x)19=5,而x小于50,求x. 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 (1)19912000=9;由519=4,得(519)19=419=3

31、;由195=4,得(195)5=45=1.(2)我們不知道11和x哪個(gè)大(注意,x11),即哪個(gè)作除數(shù),哪個(gè)作被除數(shù),這樣就要分兩種情況討論.1) x11,這時(shí)11除x余2,這說(shuō)明x是11的倍數(shù)加2,但x20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解為x=3,9,13. (3)這個(gè)方程比(2)又要復(fù)雜一些,但我們可以用同樣的方法來(lái)解.用y表示19x,不管19作除數(shù)還是被除數(shù),19x都比19小,所以y應(yīng)小于19.方程y19=5,說(shuō)明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y6,所以y=7,14.當(dāng)y=7時(shí),分兩種情況解19x=7.1) x19,此時(shí)19除x余7, x是19的倍數(shù)加7,由于x5

32、0,所以x=19+7=26=45.當(dāng)y=14時(shí),分兩種情況解19x=14.1) x19,此時(shí)19除x余14,這就表明x是19的倍數(shù)加14,因?yàn)閤50,所以x=19+14=33.總之,方程(19x)19=5有四個(gè)解,x=12,26,33,45.【答案】(1)；(2)x=3,9,13. (3)x=12,26,33,45.【例 25】 設(shè)a,b是兩個(gè)非零的數(shù),定義ab.(1)計(jì)算(23)4與2(34).(2)如果已知a是一個(gè)自然數(shù),且a3=2,試求出a的值. 【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題【難度】3星【題型】計(jì)算【解析】 (1)按照定義有23,34.于是(23)44=.2(34)=2.(2)由已知得若a6,則2,從而與矛盾.因此a5,對(duì)a=1,2,3,4,5這5個(gè)可能的值,一一代入式中檢查知,只有a=3符合要求.【答案】(1) (23)4；2(34). (2) a=3【鞏固】 定義運(yùn)算“”如下:對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為ab.比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則1014=70-2=68. (1)求1221,515; (2)說(shuō)明,如果c整除a和b,則c也整除ab;如果c整除a