1、第三章3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用,3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例,1.會利用已知函數(shù)模型解決實際問題. 2.能建立函數(shù)模型解決實際問題.,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,欄目索引,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一常見函數(shù)模型,返回,知識點二解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟 利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行： (一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原. 這些步驟用框圖表示如圖：,題型探究 重點突破,題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 例1某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量m(件)與售價x(元)滿足一次函數(shù)：m16

2、23x，若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價應(yīng)定為() A.30元 B.42元 C.54元 D.越高越好 解析設(shè)每天獲得的利潤為y元，則 y(x30)(1623x)3(x42)2432， 當(dāng)x42時，獲得利潤最大，應(yīng)定價為42元.,解析答案,反思與感悟,B,一次函數(shù)、二次函數(shù)均是重要的函數(shù)模型，特別是二次函數(shù)模型在函數(shù)建模中占有重要的地位.利用二次函數(shù)求最值時要注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1某公司市場營銷人員的個人月 收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系， 如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷 人員沒有銷售量時的收入是() A.310元 B.3

3、00元 C.290元 D.280元 解析由題意可知，收入y是銷售量x的一次函數(shù)，設(shè)yaxb，將(1,800)，(2,1 300)代入，得a500，b300. 當(dāng)銷售量為x0時，y300.,B,解析答案,題型二指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型,(1)計算：燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？,解得Q10，即燕子靜止時的耗氧量為10個單位.,解析答案,反思與感悟,(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？ 解將耗氧量Q80代入公式得：,即當(dāng)一只燕子的耗氧量為80個單位時，飛行速度為15 m/s.,反思與感悟指數(shù)型函數(shù)模型：ymaxb(a0且a1，m0)，在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率

4、、細胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示.對數(shù)型函數(shù)模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對數(shù)的運算求解.,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2某城市2009年底人口總數(shù)為100萬人，如果年平均增長率為1.2%，試解答以下問題： (參考數(shù)據(jù)：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.301 0，lg 1.0120.005) (1)寫出經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)y(萬人)與x(年)的函數(shù)關(guān)系； 解2009年底人口總數(shù)為100萬人， 經(jīng)過1年，2010年底人口總數(shù)為1001001.2%100(11.2%)， 經(jīng)過2

5、年，2011年底人口總數(shù)為100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2， 經(jīng)過3年，2012年底人口總數(shù)為100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3， 所以經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)為100(11.2%)x， 所以y100(11.2%)x.,解析答案,(2)計算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)； 解10年后該城市人口總數(shù)為 100(11.2%)10112.7(萬人). (3)計算經(jīng)過多少年以后，該城市人口將達到120萬人(精確到1年). 解由題意得100(11.2%)x120， 兩邊取常用對數(shù)得lg100(11.2%)xlg

6、120， 整理得2xlg 1.0122lg 1.2，得x16， 所以大約16年以后，該城市人口將達到120萬人.,解析答案,題型三分段函數(shù)模型 例3如圖所示，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD2，BC1，BAD45，直線MNAD交AD于M，交折線ABCD于N，記AMx，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域和值域.,反思與感悟,解析答案,解如圖，過B，C分別作AD的垂線，垂足分別為H和G，,反思與感悟,當(dāng)M位于H左側(cè)時，AMx，MNx，,反思與感悟,1.分段函數(shù)模型是日常生活中常見的函數(shù)模型.對于分段函數(shù)，一要注意規(guī)范書寫格式；二要注意各段的定義域的表示方法，

7、對于中間的各個分點，一般是“一邊閉，一邊開”，以保證在各分點的“不重不漏”. 2.解決分段函數(shù)問題需注意幾個問題：(1)所有分段的區(qū)間的并集就是分段函數(shù)的定義域.(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，先要弄清自變量在哪個區(qū)間內(nèi)取值，然后再用該區(qū)間上的解析式來計算函數(shù)值.(3)一般地，分段函數(shù)由幾段組成，必須注意考慮各段的自變量的取值范圍.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.講座開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，分析結(jié)果和實驗表明，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概

8、念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越強)，x表示提出和講授概念的時間(單位：min)，可有以下的公式：,解析答案,(1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強？能維持多長時間？ 解當(dāng)0 x10時，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9. 故f(x)在(0,10上單調(diào)遞增，最大值為f(10)0.1(3)259.959； 當(dāng)16x30時，f(x)單調(diào)遞減， f(x)31610759. 因此，開講后10 min，學(xué)生達到最強的接受能力(值為59)，并維持6 min. (2)開講后5 min與開講后20 min比較，學(xué)生的接受能力何時強一些？ 解f(5)0.1(513)259.95

9、9.96.453.5， f(20)3201074753.5f(5). 因此，開講后5 min學(xué)生的接受能力比開講后20 min強一些.,解析答案,(3)一個數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13 min時間，老師能否及時在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？ 解當(dāng)0 x10時，令f(x)55， 則0.1(x13)24.9，(x13)249. 所以x20或x6.但0 x10，故x6. 當(dāng)16x30時，令f(x)55，則3x10755.,所以老師來不及在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題.,題型四擬合函數(shù)模型的應(yīng)用 例4為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山上建立了一個

10、觀察站，測量最大積雪深度x cm與當(dāng)年灌溉面積y hm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如右表所示.,解析答案,(1)描點畫出灌溉面積y(hm2)隨積雪深度x(cm)變化的圖象； 解描點作圖如圖甲.,解析答案,(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型yf(x)，并畫出圖象； 解從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型yaxb. 取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，,用計算器可算得a1.8，b2.4. 這樣，我們得到一個函數(shù)模型y1.8x2.4. 作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合

11、程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.,解析答案,(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，求最大積雪深度為25 cm時，可以灌溉的土地數(shù)量. 解由y1.8252.4，求得y47.4，即當(dāng)最大積雪深度為25 cm時，可以灌溉土地47.4 hm2.,反思與感悟,反思與感悟?qū)τ诖祟悓嶋H應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，最后驗證并結(jié)合問題的實際意義作出回答，這個過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題.函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟： (1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點圖； (2)通過考察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線； (3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲

12、線的函數(shù)關(guān)系式； (4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測，為決策和管理提供依據(jù).,解析答案,跟蹤訓(xùn)練4我國1999年至2002年國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬億元)如下表所示：,(1)畫出函數(shù)圖形，猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式； 解畫出函數(shù)圖形，如圖.從函數(shù)的圖形可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上. 設(shè)所求的函數(shù)為ykxb， 把直線通過的兩點(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式， 解方程組，可得k0.677 7，b8.206 7. 因此，所求的函數(shù)關(guān)系式為yf(x)0.677 7x8.206 7.,解析答案,(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中

13、實際生產(chǎn)總值比較. 解由得到的關(guān)系式計算出2000年和2001年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為f(1)0.677 718.206 78.884 4， f(2)0.677 728.206 79.562 1. 與實際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過0.1萬億元.,解析答案,例5國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)不超過30，游客需付給旅行社飛機票每張900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止.旅行社需付給航空公司包機費每團15 000元. (1)寫出飛機票的價格y(單位：元)關(guān)于人數(shù)x(單位：人)的函數(shù)關(guān)系式；,建立函數(shù)模型時忽略自變量的取值范圍致誤

14、,易錯點,因為S900 x15 000在區(qū)間(0,30上為增函數(shù)， 所以當(dāng)x30時，S取最大值12 000元， 又S10(x60)221 000在區(qū)間(30,75上， 當(dāng)x60時，S取得最大值21 000. 故當(dāng)每團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤. 糾錯心得(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯. (2)解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后要還原到實際問題.,(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？,解析答案,(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x)； 解設(shè)年產(chǎn)量為x(百件)，,解析答案,解析答案,返回,當(dāng)x5時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)

15、. 當(dāng)年產(chǎn)量為475件時，公司所得利潤最大.,(2)年產(chǎn)量為多少時，當(dāng)年公司所得利潤最大？,現(xiàn)構(gòu)建一個銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型，應(yīng)是下列函數(shù)中的() A.ylog2x B.y2x C.yx2 D.y2x 解析逐個檢驗可得答案為B.,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,1.某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤如下表所示.,B,解析答案,1,2,3,4,5,2.一輛勻速行駛的汽車90 min行駛的路程為180 km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是() A.y2t B.y120t C.y2t(t0) D.y120t(t0),D,答案,1,2,3,4,5,3.小明的父親飯后出去散

16、步，從家中走20分鐘到一個離家900米的報亭看10分鐘報紙后，用20分鐘返回家里，下面圖形中能表示小明的父親離開家的時間與距離之間的關(guān)系的是(),D,答案,解析答案,4.里氏震級M的計算公式為：Mlg Alg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為_級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_倍. 解析由Mlg Alg A0知，Mlg 1 000lg 0.0016，所以此次地震的級數(shù)為6級. 設(shè)9級地震的最大振幅為A1，5級地震的最大振幅為A2，,6,10 000,所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10 000倍.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.用一根長為12 m的鐵絲彎成一個矩形的鐵框架，則能彎成的框架的最大面積是_ m2. 解析設(shè)矩形的一邊長為x m，,解析答案,9,當(dāng)x3 m時，S最大9 m2.,