1、 目 錄摘 要1Abstract21引言32圓錐曲線的曲線方程、性質(zhì)42.1圓錐曲線的曲線方程42.2圓錐曲線的性質(zhì)102.2.2雙曲線的性質(zhì)113圓錐曲線在生活中的推廣應(yīng)用15參考文獻(xiàn)20致 謝21 摘 要本文在簡(jiǎn)單介紹圓錐曲線的基礎(chǔ)上，對(duì)圓錐曲線在中學(xué)數(shù)學(xué)的一些定義及其相關(guān)性質(zhì)的講解分析，即橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)，并在其基礎(chǔ)上對(duì)圓錐曲線的幾個(gè)性質(zhì)在實(shí)際生活中進(jìn)行推廣應(yīng)用。天體的運(yùn)行時(shí)的軌跡經(jīng)常用圓錐曲線來(lái)描述，圓錐曲線在日常生活中也很常見，并且人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中也廣泛運(yùn)用到圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì) 。并利用一些常見的題型對(duì)其光學(xué)性質(zhì)在生活中的推廣應(yīng)用進(jìn)行分析，講解。關(guān)鍵詞：圓錐曲線；分類；

2、性質(zhì)；推廣應(yīng)用Abstract Based on the simple introduction of conic curve,on conic curve in the analysis on some definition and properties of middle school ly the properties of elliptic,hyperbolic,parabolic,and on the basis of several properties of conic curves in real life to be.Conic curve i

3、s often used to describe the orbit of the curve,the curve is very common also in daily life ,optical properties and conic curve is also widely used in real life.And the application of its optical properties in life are analyzed by means of some common questions explan.Keywords:conic;classification;p

4、roperties;application摘 要本文在簡(jiǎn)單介紹圓錐曲線的基礎(chǔ)上，對(duì)圓錐曲線在中學(xué)數(shù)學(xué)的一些定義及其相關(guān)性質(zhì)的講解分析，即橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)，并在其基礎(chǔ)上對(duì)圓錐曲線的幾個(gè)性質(zhì)在實(shí)際生活中進(jìn)行推廣應(yīng)用。圓錐曲線是描述天體運(yùn)行軌跡時(shí)經(jīng)常用的曲線，同時(shí)也是日常生活中很常見的曲線，且圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中也應(yīng)用廣泛。并利用一些常見的題型對(duì)其光學(xué)性質(zhì)在生活中的推廣應(yīng)用進(jìn)行分析，講解。1引言 古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯，利用平面截取一個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐，就根據(jù)在平面的不同位置，可分別得出雙曲線，橢圓和拋物線；當(dāng)兩個(gè)底面都與平面相交的時(shí)候，在圓錐的側(cè)面就可得到雙曲線；當(dāng)?shù)?/p>

5、面和平面都沒有相交的時(shí)候（就是與所有的母線都相交），在圓錐的側(cè)面得到的就是橢圓，特殊的時(shí)候就是與對(duì)頂圓錐底面平行的時(shí)候得到的就是圓；而當(dāng)平面與對(duì)頂圓錐的一個(gè)底面相交的時(shí)候，在圓錐的側(cè)面得到的就是拋物線了。本文在此基礎(chǔ)上簡(jiǎn)單的概括了圓錐曲線的定義及其性質(zhì)，結(jié)合生活實(shí)際介紹了圓錐曲線在生活中的運(yùn)用，并利用實(shí)際例題進(jìn)行分析、見解。 2圓錐曲線的曲線方程、性質(zhì)在幾何、數(shù)學(xué)學(xué)中通過平切對(duì)頂圓錐得到的曲線，包括橢圓，圓，拋物線，雙曲線以及一些已經(jīng)退化的曲線類型。圓錐曲線又被稱為圓錐截面,圓錐截痕以及二次曲線【1】。圓錐曲線的定義應(yīng)用最為廣泛的為（拋物線，橢圓，雙曲線的統(tǒng)一定義）：一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)（定點(diǎn)即焦點(diǎn)

6、）的距離與其到一條定直線（準(zhǔn)線）之間的距離的比為常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的集合為圓錐曲線。2.1圓錐曲線的曲線方程 定理 1 【2】平面內(nèi)的與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡就叫橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)就叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離就叫做橢圓的焦距。 如圖1：建立平面標(biāo)系,使軸經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合。圖1 假設(shè)是橢圓上的任意一個(gè)點(diǎn)，橢圓焦距為，則其焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是。又假設(shè)與和的距離和是等于常數(shù)。 由橢圓的定義，橢圓就是集合 又可知，即所以，令 其標(biāo)準(zhǔn)方程為 例 1 求滿足以下條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程： （1)、已知兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，橢圓上一點(diǎn)到這兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和等于; （2）、已知是兩個(gè)定點(diǎn)， 且三

7、角形的周長(zhǎng)等于，求頂點(diǎn)的軌跡方程。解：（1）因?yàn)樗蟮臋E圓的焦點(diǎn)是在軸上，即假設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是為因?yàn)樗?所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）如圖2，建立坐標(biāo)系，使軸經(jīng)過，原點(diǎn)與的中點(diǎn)重合。圖2 由題意可知有即點(diǎn)的軌跡是橢圓，且 所以 但當(dāng)點(diǎn)在直線上，即時(shí)，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)的軌跡方程是 注：求出方程后要檢查方程上的點(diǎn)是否都符合題意。如不符合題意就應(yīng)在方程后注明限制條件。 定理 2 【2】與兩個(gè)定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值是等于常數(shù)（并且小于）的點(diǎn)的軌跡就叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)就叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離就叫雙曲線的焦距。 如圖3 建立直角坐標(biāo)系，使軸經(jīng)過,，并且點(diǎn)與線段重合。圖3 假設(shè)是這個(gè)

8、雙曲線上的任意點(diǎn)，雙曲線的焦距為，則此雙曲線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，又假設(shè)點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值是為常數(shù)。 那么由定義可知，雙曲線即為集合 又可知即，所以令 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ： 例2 已知一雙曲線焦點(diǎn)是在軸上，并已知雙曲線上的兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別是，則求滿足以上條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由題可知雙曲線的焦點(diǎn)是在軸上的，所以我們可假設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 已知點(diǎn)是在所求雙曲線上的，則點(diǎn)的坐標(biāo)是適合方程的，再將依次代入方程中，可得到方程組 令,則方程組化為 解這個(gè)方程組，得 即,所有所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 定理 3 【2】與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)

9、，直線則叫做拋物線的準(zhǔn)線。 如圖4：建立如圖的直角坐標(biāo)系，使得軸過點(diǎn)并且要垂直直線，則垂足為,并使得原點(diǎn)要與線段中點(diǎn)重合。圖4設(shè)，那么焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為。假設(shè)點(diǎn)是如圖的拋物線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到之間的距離就由拋物線定義，則拋物線就是集合 一條拋物線，由于它的位置在坐標(biāo)平面內(nèi)有所不同，方程也不同。則由此可知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程就出現(xiàn)了一下幾種形式第一種 標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，它的準(zhǔn)線方程為 第二種 標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，它的準(zhǔn)線方程為 第三種 標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，它的準(zhǔn)線方程為 第四種 標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，它的準(zhǔn)線方程為 例3 已知一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則求此拋物

10、線的準(zhǔn)線方程及它的焦點(diǎn)坐標(biāo) ； 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)椋詼?zhǔn)線方程是.焦點(diǎn)坐標(biāo)是， 由題可知所求拋物線的焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，則所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程就為2.2圓錐曲線的性質(zhì)2.2.1橢圓的性質(zhì) 性質(zhì)一【5】：橢圓具有對(duì)稱性，在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，以代替，或以代替,或以分別代入,方程都不變，所以橢圓關(guān)于軸和軸以及原點(diǎn)都是對(duì)稱的，坐標(biāo)軸就是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)既是橢圓的對(duì)稱中心。橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心。 性質(zhì)二【5】：由于軸、軸都為橢圓的對(duì)稱軸，則橢圓和它的對(duì)稱軸就有了四個(gè)交點(diǎn)，并且這四個(gè)交點(diǎn)分別為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)。若與軸的兩交點(diǎn)分別為，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，那么或就

11、是橢圓的長(zhǎng)軸或短軸。、叫做橢圓的長(zhǎng)半軸或短半軸。 性質(zhì)三【3】：離心率，為橢圓的焦距和長(zhǎng)軸之間的比，就叫做橢圓的離心率。例4 試求滿足以下條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程： 經(jīng)過點(diǎn)、； 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于，離心率等于.解：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，以坐標(biāo)軸作為對(duì)稱軸的橢圓與此坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，則已知點(diǎn)、分別為橢圓的長(zhǎng)軸以及短軸上的一個(gè)端點(diǎn)。于是 .又因?yàn)殚L(zhǎng)軸在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）已知，, 所以所以因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)是在軸上的，但同時(shí)也有可能是在軸上，因此所求的滿足條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就為或2.2.2雙曲線的性質(zhì) 性質(zhì)一【4】：雙曲線具有對(duì)稱性；且每一個(gè)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸它都是對(duì)稱的。因此坐標(biāo)軸就為雙曲

12、線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)就為雙曲線的對(duì)稱中心。并且雙曲線的對(duì)稱中心又可叫做雙曲線的中心。 性質(zhì)二【7】：雙曲線的頂點(diǎn)；在一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，假設(shè)，所以雙曲線與軸就有兩個(gè)交點(diǎn)即,由于軸為雙曲線的對(duì)稱軸，則雙曲線與它的對(duì)稱軸就有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)都叫做雙曲線頂點(diǎn)。如果雙曲線和軸都沒有交點(diǎn)，且與軸交于, ,則，令 ，所以就有，線段稱作雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)就為，且為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)；線段為雙曲線的虛軸，其長(zhǎng)就等于,且為雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。 性質(zhì)三【8】：我們把直線叫做雙曲線的漸進(jìn)線。在以下方程， 假如有，則雙曲線的方程就為，并且它的虛軸和實(shí)軸的長(zhǎng)都為，此時(shí)四條直線：，就可圍城一個(gè)正方形，又漸進(jìn)線方程為，并且

13、它們是互相垂直的，還平分雙曲線的虛軸和實(shí)軸之間所成的角。實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。 性質(zhì)四：【8】雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫做雙曲線的離心率，因此,所以雙曲線的離心率.由等式可得 因此越大，也越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值越大，雙曲線的形狀就會(huì)從狹窄變得開闊，因此，雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊。例5、求雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率，漸近線方程。解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 由此可見，實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng). 焦點(diǎn)坐標(biāo)是,，離心率漸近線方程為，即 2.2.3拋物線的性質(zhì) 性質(zhì)一【5】：拋物線的頂點(diǎn)，即拋物線與拋物線的軸的交點(diǎn)稱作拋物線的頂點(diǎn)，在方程中，當(dāng)時(shí)，因此拋物線的

14、頂點(diǎn)就為坐標(biāo)原點(diǎn)。 性質(zhì)二【7】：拋物線具有對(duì)稱性，如果以代替,則方程不變，則說(shuō)明這條拋物線是關(guān)于軸對(duì)稱的，所以我們就把拋物線的對(duì)稱軸稱作拋物線的軸。 性質(zhì)三【7】：拋物線上的點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離的比，稱為拋物線的離心率，以來(lái)表示，由拋物線的定義可得，.例6：已知一拋物線過點(diǎn)，且他的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ，求滿足以上的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)，則可假設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程是為 ，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以 ，即 .因此所求方程是 雙曲線、橢圓、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線，它們的統(tǒng)一性如下表1：橢圓雙曲線拋物線 幾何條件和兩個(gè)定點(diǎn)的距離都是等于常數(shù)和兩個(gè)定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值都等于常數(shù)和

15、一條定直線與一頂點(diǎn)的距離都相等標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)軸，實(shí)軸長(zhǎng)軸，虛軸長(zhǎng) 軸焦點(diǎn)坐標(biāo) 離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程表13圓錐曲線在生活中的推廣應(yīng)用 圓錐曲線是描述各大星系圍繞運(yùn)行的曲線，也是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中隨處可見的曲線，再者圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在日常生活當(dāng)中運(yùn)用甚多。例7、如圖，我國(guó)年月日發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅”號(hào)，是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。已知人造地球衛(wèi)星的近地點(diǎn)（距地面最為近的點(diǎn)）與地面之間的距離為,遠(yuǎn)地點(diǎn)（距地面的距離最近的點(diǎn)）與地面之間的距離為，且、都在同一直線上，地球半徑大約是，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程（精確到）.解：如圖5建立直角坐標(biāo)系，讓點(diǎn)、在軸上，且為橢圓

16、的右焦點(diǎn)（則記為左焦點(diǎn)）。 圖5 由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則假設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 則 , .解：，.所以 用計(jì)算器求得，因此，衛(wèi)星的軌道方程是圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)和應(yīng)用 一只燈泡散出的光，會(huì)以燈光為點(diǎn)形成球形射出，然而，燈泡裝在手電筒里以后適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，就能射出一束比較強(qiáng)的平行光線，這到底由什么原理組成的呢？ 其實(shí)在電筒離得小燈泡的身后就有一面反光鏡，這面鏡反光鏡的鏡面的形狀是一個(gè)由我們?nèi)缟纤鰭佄锞€的原理，即繞著它的軸旋轉(zhuǎn)而得到的一個(gè)曲面【8】（如圖6所示）這個(gè)面就被稱為拋物面。經(jīng)證明，拋物線有一重要的性質(zhì)即從焦點(diǎn)射發(fā)出的光線，在經(jīng)拋物面反射后，其反射光線就會(huì)平行于拋物線的對(duì)稱軸。探照燈也是利用這

17、個(gè)原理設(shè)計(jì)的。圖6 同樣的道理我們運(yùn)用拋物線的這個(gè)性質(zhì)理論，都可讓一束拋物線的軸的光線且是平行與拋物線的，它在經(jīng)拋物面的反射候會(huì)集中于它的焦點(diǎn)上。在生活中這個(gè)原理也被人們應(yīng)用來(lái)設(shè)計(jì)了一種可以為食物加熱的太陽(yáng)灶。就是在太陽(yáng)灶上面安裝了一個(gè)形如旋轉(zhuǎn)拋物面的一面反光鏡，在太陽(yáng)光和這面反光鏡的軸平行的時(shí)候，經(jīng)過反射的太陽(yáng)光會(huì)集中于它的焦點(diǎn)出，此時(shí)這個(gè)位置的溫度就會(huì)逐漸變得很高。 雙曲線和橢圓的光學(xué)性質(zhì)與拋物線的光學(xué)性質(zhì)之間是有一些不同的。由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)所發(fā)出的光線在經(jīng)其反射過后，其反射光線一定是散開的，就好似從另外的一個(gè)焦點(diǎn)射出來(lái)的那樣（如圖7所示）。然而由橢圓上一焦點(diǎn)所散出的光線，在經(jīng)其反射之后

18、，反射的光線會(huì)交于橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)上（如圖8所示）， 當(dāng)然雙曲線以及橢圓的光學(xué)性質(zhì)也各種設(shè)計(jì)以及生活當(dāng)中被人們廣泛地運(yùn)用。 圖8 圖7例八、生活中、探照燈上的反射鏡的軸截面是屬于拋物線范疇（如圖9所示），探照燈的光源即拋物線的焦點(diǎn)，已知燈口圓的半徑是厘米，且燈深為厘米，求拋物線的焦點(diǎn)所處位置及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 。 圖9 圖10解：如上圖10所示，我們可以看見在探照燈的軸的截面所處的平面上建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，使得反光鏡的頂點(diǎn)（也是拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，并且軸是垂直于燈口直徑的。 假設(shè)所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是。由題可知點(diǎn)的坐標(biāo)是，代入方程，可得 ,即 .所以所求拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：。 總 結(jié) 本篇文章在介紹圓錐曲線的圖形的簡(jiǎn)單形成之后，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程的思想，簡(jiǎn)單的概括的圓錐曲線的圖像函數(shù)，并根據(jù)一些簡(jiǎn)單的例子鞏固了圓錐曲線的概念。再者，又利用了分類討論的思想；對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線的幾個(gè)相同的性質(zhì)及不同的性質(zhì)進(jìn)行分析，最后歸納總結(jié)。且在了解了圓錐曲線的幾個(gè)基本性質(zhì)之后再對(duì)其在生活中的推廣應(yīng)用進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的講解與分析。