1、學(xué)案5 空間中的垂直關(guān)系,返回目錄,一、直線與平面垂直 1.直線與平面垂直的定義 如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作 .直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足. 根據(jù)定義，過一點(diǎn) 直線與已知平面垂直；過一點(diǎn) 與已知直線垂直.,l,有且只有一條,有且只有一個(gè)平面,考點(diǎn)分析,返回目錄,2.判定定理和性質(zhì)定理 （1）判定定理： ，則該直線與此平面垂直. （2）性質(zhì)定理： .,一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,返回目錄,3.直線和平面所成的角 一條直線PA和一個(gè)平面相交，

2、，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的 ，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. 一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是 ；一條直線和平面平行,或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是 的角. 二、平面與平面垂直 1.二面角,返回目錄,但不和這個(gè)平面垂直,射影所成的銳角,直角,0,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi) ，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 2.兩個(gè)平面垂直的定義

3、一般地,兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是 ，就說這兩個(gè)平面互相垂直.記作 . 3.兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì) （1）判定定理 ， 則這兩個(gè)平面垂直.,返回目錄,分別作垂直于棱的兩條射線,直二面角,一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,（2）性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi) 與另一個(gè)平面垂直.,返回目錄,垂直于交線的直線,返回目錄,返回目錄,如圖,AB為圓O的直徑,C為圓周上異于AB的任一點(diǎn),PA面ABC,問:圖中共有多少個(gè)Rt?,【分析】找出直角三角形,也就是找出圖中的線線垂直.,考點(diǎn)一 線線垂直問題,題型分析,返回目錄,【解析】PA面ABC, PAAC,PABC,PAAB. AB為圓O的直徑,A

4、CBC. 又ACBC,PABC,PAAC=A, BC面PAC. PC平面PAC,BCPC. 故圖中有四個(gè)直角三角形:PAC,PBC,PAB,ABC.,返回目錄,【評析】線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得,直線和平面垂直,這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線,這是尋找線線垂直的重要依據(jù).,對應(yīng)演練,如圖,已知矩形ABCD,過A作SA平面AC,再過A作AESB交SB于E,過E作EFSC交SC于F. (1)求證:AFSC; (2)若平面AEF交 SD于G,求證:AGSD.,返回目錄,證明: (1)SA平面AC,BC平面AC, SABC, 四邊形ABCD為矩形,ABBC,BC平面SAB, BCAE,又SBAE,

5、AE平面SBC, AESC,又EFSC, SC平面AEF,AFSC. (2)SA平面AC,SADC, 又ADDC,DC平面SAD,DCAG, 又由(1)有SC平面AEF,AG平面AEF, SCAG,AG平面SDC, AGSD.,返回目錄,返回目錄,如圖所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn). （1）求證：MNCD； （2）若PDA= ， 求證：MN 平面PCD.,考點(diǎn)二 線面垂直問題,【分析】（1）因M為AB中點(diǎn)，只要證ANB為等腰三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MNAB. （2）已知MNCD，只需再證MNPC，易看出PMC為等腰三角形，利用N為PC的中點(diǎn)，可得MN

6、PC.,返回目錄,【證明】 (1)如圖,連接AC，AN，BN， PA平面ABCD，PAAC， 在RtPAC中，N為PC中點(diǎn)， AN= PC. PA平面ABCD， PABC，又BCAB， PAAB=A, BC平面PAB，BCPB， 從而在RtPBC中，BN為斜邊PC上的中線， BN= PC.AN=BN,ABN為等腰三角形, 又M為底邊的中點(diǎn),MNAB,又ABCD,MNCD.,(2)連接PM,CM，PDA=45,PAAD,AP=AD. 四邊形ABCD為矩形,AD=BC，PA=BC. 又M為AB的中點(diǎn)，AM=BM. 而PAM=CBM=90,PM=CM. 又N為PC的中點(diǎn)，MNPC. 由（1）知，MN

7、CD，PCCD=C, MN平面PCD.,返回目錄,【評析】垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來.,返回目錄,返回目錄,對應(yīng)演練,如圖所示,RtABC的斜邊為AB，過A作AP平面ABC，AEPB于E，AFPC于F.求證：PB平面AEF.,證明： AP平面ABCAPBC BCAC APCA=A AFPC AEPB BCAF AF面PBC AFPB BCPC=C AFAE=A,返回目錄,BC面APC,AF面APC,PB面AEF.,返回目錄,如圖,ABC為正三角形

8、，EC平面ABC，BDEC且EC=CA=2BD,M為EA中點(diǎn).求證： （1）平面BDM平面ACE； （2）平面DEA平面ECA.,【分析】要證面面垂直，首先想到判定定理，轉(zhuǎn)為證線面垂直，再轉(zhuǎn)換為證線線垂直.,考點(diǎn)三 面面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,返回目錄,【證明】 (1)取CA中點(diǎn)N，連結(jié)MN,BN，在ACE中，M,N分別為AE,AC中點(diǎn)， MNEC，MN= EC. 而BDEC，BD= EC, BD MN,B,D,M,N四點(diǎn)共面. EC平面ABC，BN平面ABC， ECBN. 又BNAC，BNEC，ACEC=C, BN面ECA. 又BN面BMD，平面BMD平面ACE.,返回目錄,【評析】證明線面

9、垂直的方法：證明一個(gè)面過另一個(gè)面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線與添加輔助線解決.,(2)DMBN，BN平面ACE, DM平面ACE. 又DM平面DEA，平面DEA平面ACE.,返回目錄,對應(yīng)演練,如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB=60,且邊長為a的菱形,側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. （1）若G為AD邊的中點(diǎn)， 求證：BG平面PAD； （2）求證：ADPB; （3）求二面角ABCP的大?。?（4）若E為BC邊的中點(diǎn)， 能否在棱PC上找到一點(diǎn)F， 使平面DEF平面ABCD?并證明你的

10、結(jié)論.,返回目錄,（1）證明：在菱形ABCD中，DAB=60，G為AD的中點(diǎn)，BGAD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， BG平面PAD. （2）證明：連結(jié)PG.因?yàn)镻AD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，得PGAD. 由（1）知BGAD,PGBG=G,PG平面PGB，BG平面PGB，AD平面PGB. PB平面PGB，ADPB.,（3）由（2）得AD平面PGB. 在菱形ABCD中，ADBC， BC平面PGB. 而PB平面PGB，BG平面PGB， BCPB，BCBG， PBG為二面角ABCP的平面角. 在PAD中，PG= a， 在菱形ABCD中，BG= a， 在RtPGB中，

11、PBG=45, 二面角ABCP為45.,返回目錄,（4）當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF平面ABCD.證明如下： 取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)DE，EF，DF， 則由平面幾何知識(shí)知，在PBC中，F(xiàn)EPB， 在菱形ABCD中，GBDE,而FE平面DEF，DE平面DEF，F(xiàn)EDE=E, 平面DEF平面PGB. 由（1），PG平面ABCD，而PG平面PGB， 平面PGB平面ABCD. 平面DEF平面ABCD.,返回目錄,返回目錄,如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中, 求A1B與平面A1B1CD所成的角.,【分析】求線面角的關(guān)鍵是確定直線在平面上的射影,及直線與射影所成的銳角.,考點(diǎn)四 線面角,返回目

12、錄,【解析】連結(jié)BC1交B1C于O,連結(jié)A1O. 在正方體ABCDA1B1C1D1中各個(gè)面為正方形,設(shè)其棱長為a. A1B1B1C1 A1B1平面BCC1B1 A1B1B1B BC1平面BCC1B1 A1B1BC1 BC1B1C A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影 BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角 在RtA1BO中，A1B= a，OB= a sinBA1O= BA1O為銳角 A1B與平面A1B1CD所成的角為30.,BC1平面A1B1CD,BA1O=30,【評析】求直線和平面所成的角時(shí),應(yīng)注意的問題是：(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系.(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí),常用以下步驟:構(gòu)

13、造作出或找到斜線與射影所成的角;設(shè)定論證所作或找到的角為所求的角;計(jì)算常用解三角形的方法求角;結(jié)論點(diǎn)明斜線和平面所成的角的值.,返回目錄,對應(yīng)演練,如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，BC,BAD=90,PA底面,且PA=AD=AB=2BC,M，N分別為，PB的中點(diǎn). (1)求證：DM; (2)求CD與平面所成的角,返回目錄,（1）證明：是的中點(diǎn)， PB, 平面， ， 從而平面， DM平面ADMN， .,返回目錄,(2)取的中點(diǎn)，連結(jié)，則， 與平面所成的角和與平面所 成的角相等. 平面， BGN是與平面所成的角. 在tBGN中，sinBGN= . 故與平面所成的角是arcsin .,返

14、回目錄,考點(diǎn)五 二面角,如圖,直角三角形ABC的斜邊AB在平面內(nèi),AC,BC與平面所成的角分別為30和45,求ABC所在平面與平面所成的銳二面角.,【分析】由線面角想到射影,利用三垂線定理作二面角的平面角.,返回目錄,【解析】作CC平面,C為垂足,作CDAB 于D,連結(jié)CD,CDAB,CDC是所求二面角的平面角. 由CC可知,CAC=30,CBC=45,設(shè)CC=h,在RtCCA和RtCCB中,AC=2h,BC= h, 又ACBC,AB= h, CD=(ACBC)AB= h, sinCDC= ,且CDC為銳角. CDC=60, ABC所在平面與所成的二面角為60.,返回目錄,【評析】求二面角的大

15、小,一般先作出二面角的平面角.此題是利用二面角的平面角的定義作出AOC為二面角ABDC的平面角,通過解AOC所在的三角形求得AOC.其解題過程為:作AOC證AOC是二面角的平面角計(jì)算AOC,簡記為“作、證、算”.,返回目錄,如圖所示，PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a,M,N分別是AB，PC的中點(diǎn). （1）求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大??； （2）求證：平面MND平面PCD.,對應(yīng)演練,返回目錄,（1）PA平面ABCD，CDAD, PDCD. 故PDA為平面ABCD與平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD, PDA=45.,返回目錄,（2）證明

16、:取PD中點(diǎn)E，連結(jié)EN，EA，則 EN CD AM, 四邊形ENMA是平行四邊形， EAMN. AEPD,AECD, AE平面PCD，從而MN平面PCD， MN平面MND， 平面MND平面PCD.,返回目錄,返回目錄,1.判定直線與直線垂直的方法: (1)計(jì)算兩直線所成的角為90(包括平面角與異面直線所成的角). (2)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)(若a,b,則ab). 2.判定直線與平面垂直的方法: (1)若一條直線垂直于平面內(nèi)的任何直線，則這條直線垂直于平面（定義）.,高考專家助教,(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線垂直于平面(判定定理). (3)兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面(推論). (4)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則它也垂直于另一個(gè)平面. 3.判定平面與平面垂直的方法: (1)若兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角，則兩平面垂直(定義). (2)若一個(gè)平面通過另