1、1,5.6 電磁波的衍射,2,衍射現(xiàn)象：當(dāng)電磁波在傳播過(guò)程中遇到障礙物或者透過(guò)屏幕上的小孔時(shí)，會(huì)導(dǎo)致偏離原來(lái)入射方向的出射電磁波。,衍射現(xiàn)象的研究對(duì)于光學(xué)和無(wú)線(xiàn)電波的傳播都是很重要的。衍射理論的一般問(wèn)題就是要計(jì)算通過(guò)障礙物或小孔后的電磁波角分布，即求出衍射圖樣。,1衍射問(wèn)題:,3,在光學(xué)中衍射理論的基礎(chǔ)是惠更斯原理。這原理假設(shè)開(kāi)始光波面上的每一點(diǎn)可以看作次級(jí)光源，它們發(fā)射出子波，這些子波疊加后得到向前傳播的光波?，F(xiàn)在我們從電動(dòng)力學(xué)基本原理出發(fā)導(dǎo)出惠更斯原理。,4,圖示典型的衍射問(wèn)題,設(shè)屏幕上有一小孔，電磁波從左邊人射，我們要計(jì)算通過(guò)小孔后在屏幕右邊空間各點(diǎn)上的電磁波場(chǎng)強(qiáng)。,5,這種普遍的解法是

2、很復(fù)雜的,實(shí)際所用的衍射理論都是一些近似解法。近似的主要點(diǎn)在于假設(shè)小孔上和屏幕右側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)為已知，由此求出右半空間各點(diǎn)上的場(chǎng)強(qiáng)這種求解方法實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)用其邊界上的值表示出來(lái)以下我們將推導(dǎo)這種關(guān)系。,這問(wèn)題嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)該作為邊值問(wèn)題求解,電磁場(chǎng)由兩個(gè)互相耦合的矢量場(chǎng)E和B構(gòu)成，用嚴(yán)格的矢量場(chǎng)理論來(lái)討論衍射問(wèn)題較為復(fù)雜。,6,下面我們只推導(dǎo)標(biāo)量衍射公式，而不去討論較嚴(yán)格的矢量場(chǎng)衍射公式。,一般在光學(xué)中常忽略場(chǎng)的矢量性質(zhì)而把電磁場(chǎng)的每一直角分量看作標(biāo)量場(chǎng)，用標(biāo)量場(chǎng)的衍射理論來(lái)求解。當(dāng)衍射角不大時(shí)這種方法是較好的近似。,7,電磁場(chǎng)的任一直角分量 滿(mǎn)足亥姆霍茲方程,2.基爾霍夫（Kirchh

3、off）公式,如果我們忽略電磁場(chǎng)其它分量的影響，而孤立地把看作一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，用邊界上的和/n值表出區(qū)域內(nèi)的，這種理論就是標(biāo)量衍射理論。,8,和靜電情形一樣,用格林公式和格林函數(shù)方法可以把 (x) 與邊界上的值聯(lián)系起來(lái)。設(shè) G(x，x)是亥姆霍茲方程的格林函數(shù),可以看出具有出射波形式的格林函數(shù)為,9,把G和 代入格林公式，并以撇號(hào)表示積分變量，得,其中S是區(qū)域V的邊界, dS是從區(qū)域V內(nèi)指向外部的面元。設(shè)n指向區(qū)域V內(nèi)的法線(xiàn),即 dS =ndS 。,10,得基爾霍夫公式,基爾霍夫公式是惠更斯原理的數(shù)學(xué)表示。,11,它把區(qū)域V內(nèi)的任一點(diǎn) x 處的場(chǎng)(x) 用V邊界面S上的 和/n 表示出來(lái)。在被積式

4、中，因子eikr/r 表示由曲面S上的點(diǎn)x向V內(nèi)x 點(diǎn)傳播的波，波源的強(qiáng)度由 x 點(diǎn)上的 和/n 值確定。因此，曲面上的每一點(diǎn)可以看作次級(jí)光源，區(qū)域V內(nèi)的光波可以看作由面上所有點(diǎn)上的次級(jí)光源發(fā)射的子波的疊加。,12,必須指出，上式不是邊值問(wèn)題的解,它只是把用邊界值表出的積分表示式，當(dāng)問(wèn)題完全解出之前，邊界上的和/n值是不知道的，而且也不是能任意規(guī)定的。,13,只有在某些特殊情況下，當(dāng)我們可以合理地估計(jì)在邊界S上的 和/n 值時(shí)，才能應(yīng)用此式求區(qū)域V內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)。,衍射問(wèn)題通常屬于這種情況,14,3. 小孔衍射,以小孔衍射為例說(shuō)明基爾霍夫公式的應(yīng)用,設(shè)無(wú)窮大平面屏幕中有一小孔。V為屏幕右邊空間，其界

5、面S包括三個(gè)部分：小孔表面S0，屏幕右側(cè)S1和無(wú)窮大半球面S2 （如圖）。為了應(yīng)用基爾霍夫公式，必須對(duì)界面上的和 n值作合理的假定。,15,（）在孔面S0上，和 n 等于原來(lái)入射波的值，即和沒(méi)有屏幕存在時(shí)的值相同。,（）屏幕右側(cè)S上， = n =0,我們假設(shè),這兩假設(shè)都是近似的。因?yàn)橛缮厦娴挠懻?，?dāng)有屏幕存在時(shí)，必然對(duì)原來(lái)入射波產(chǎn)生擾動(dòng)，特別是孔邊緣附近，入射波受到的擾動(dòng)是比較大的，因而在孔面上和 n 值不可能與原入射波的相應(yīng)值完全相同。,16,但是當(dāng)孔半徑遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)時(shí)，孔面大部分的場(chǎng)所受的擾動(dòng)不大，則假設(shè)（）不會(huì)導(dǎo)致很大的誤差。 在屏幕右側(cè)，實(shí)際上只有在小孔邊緣附近處和 n 才可能顯著地不為

6、零，則假設(shè)（）也可以近似地成立。,17,為了計(jì)算 (x)還必須知道無(wú)窮遠(yuǎn)半球面S2 上的 。如圖 ，取坐標(biāo)原點(diǎn)在小孔中心處，以x 表示S2 上一點(diǎn)，x為區(qū)域內(nèi)距離小孔有限遠(yuǎn)處任一點(diǎn)。令,由于在右半空間的波是由小孔區(qū)出射的波，因此在無(wú)窮遠(yuǎn)處應(yīng)有形式,18,在基爾霍夫公式中，r為由x 到x的距離，當(dāng) r 時(shí) ， r/ r n，而且有 1/ r 1/R ，因此在 S2 上到O (r -2) 有,f (,)代表與方向有關(guān)的某一函數(shù)。在 S2 上，內(nèi)法線(xiàn)為n = eR，因而,19,則基爾霍夫公式式在無(wú)窮大半球面S2 上的積分趨于零。其中只剩下對(duì)孔面S0 的積分,由假設(shè)（1），在孔面上，場(chǎng)強(qiáng)可取為入射波場(chǎng)

7、強(qiáng)。設(shè)入射波 i是平面波，其波矢量為,其中0為原點(diǎn)處的值。,20,上式右邊被積函數(shù)中 可用 i 代入，并有,21,設(shè)我們?cè)谄聊挥疫呥h(yuǎn)處觀(guān)察向k2方向傳播的衍射波實(shí)際觀(guān)察時(shí)可用透鏡把衍射波聚焦，稱(chēng)夫朗和費(fèi)(Fraunhofer)衍射。如圖，x為小孔面上一點(diǎn)，x為空間遠(yuǎn)處一點(diǎn)，k2 沿R方向，r = R- x k2/k, kr/r= k2。,22,其中1為入射波矢k1與法線(xiàn)n 的夾角， 2為衍射波矢k2與n的夾角。cos 1 +cos 2 稱(chēng)為傾斜因子。,在上述積分式中略去1/r高次項(xiàng)，得,23,以 2代表衍射光波的強(qiáng)度，由上式可算出衍射光強(qiáng)與2 的關(guān)系，由此可得衍射圖樣 。在小孔衍射情況下，實(shí)驗(yàn)

8、測(cè)得的衍射圖樣與計(jì)算結(jié)果相符，說(shuō)明我們所作的假設(shè)(1)和(2)是近似正確的 。,在通過(guò)裂縫的微波輻射問(wèn)題中，由于涉及較大的波長(zhǎng)和較大的衍射角，標(biāo)量理論不是很好的近似 。在這情形下我們必須從電磁場(chǎng)矢量方程出發(fā)，導(dǎo)出矢量場(chǎng)的衍射公式 。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題在此不作詳細(xì)討論。,24,例 波長(zhǎng)為的平面電磁波垂直射入屏的長(zhǎng)方形小孔上，設(shè)小孔邊長(zhǎng)為a和b（a，b ），求夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。,25,取小孔中心為原點(diǎn)，z軸與孔面垂直。入射波沿z軸方向，有cos 1 =1。孔面上z= 0，因而 k1x= 0 。由于 1和 2 與積分變數(shù)無(wú)關(guān)，可以抽出移至積分號(hào)外，因此,解,26,積分為,設(shè)k2與x軸的夾角為/2 ，與y軸的夾角為/2 ，和 即為衍射波偏離yz面和x