1、體驗“借”與“還”，巧解數(shù)學(xué)難題寧波市曙光中學(xué) 鄭武群新課程注重培養(yǎng)學(xué)生的獨立性和自主性，引導(dǎo)學(xué)生探究事物的規(guī)律性，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，鼓勵學(xué)生搜集處理信息，培養(yǎng)學(xué)生的交流與合作能力。作為數(shù)學(xué)教師，充分發(fā)揮學(xué)生在課堂中的主導(dǎo)地位、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，是亟需解決的一個重要課題。生活中我們常常有“借”、“還”的習(xí)慣，數(shù)學(xué)中也常利用“借”與“還”來求解一些難題，為使學(xué)生掌握這種方法，我覺得應(yīng)注重從以下幾個方面來引導(dǎo)學(xué)生：一、在生活實踐中讓學(xué)生體驗“借”與“還”數(shù)學(xué)要從學(xué)生的經(jīng)驗和體驗出發(fā)，密切知識與生活之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷深入地觀察與體驗真實的社會生活，積極主動參與學(xué)校和社區(qū)的各種活動，在實際活動中

2、體驗，發(fā)現(xiàn)并綜合運用各種知識去解決問題，提高學(xué)生參與社會和實踐能力。有一次，學(xué)校組織學(xué)生去春游，為了保護環(huán)境和資源的回收再利用，我就叫學(xué)生把喝完水后的空礦泉水瓶回收，并用4個空礦泉水瓶換一瓶新礦泉水作為回收獎勵。借此機會，我就給學(xué)生們出了一題換瓶游戲：小明收集了15個空礦泉水瓶，問他最多可以換回幾瓶礦泉水？要求學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法想出最佳的求解方法。最后有一個同學(xué)幫小明想出了最佳辦法：他們先借給小明一個空礦泉水瓶，用16個空礦泉水瓶去換回4瓶礦泉水，喝完后，再用4個空礦泉水瓶換回一瓶礦泉水，待喝完后，再還給被借的同學(xué)。最后，小明最多能換到5瓶礦泉水，巧解了。這樣，既使同學(xué)懂得了保護環(huán)境，也使他們學(xué)

3、到了知識。這種體驗妙趣橫生，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，提高學(xué)生的興趣。真可謂有借有還，好處多多。有了春游的生活體驗，回校后，我就對學(xué)生出了這樣一道題：古時候，相傳古代有一牧民在臨終前對三個兒子說：“我僅有17匹馬留給你們?nèi)耍銈兏缲戆蠢洗蟮靡话?、老二得三分之一、老三得九分之一分，但不得把馬宰了分?！闭f完也就去世了。兄弟三人怎么也想不出一個分馬的方法，算是把他們給難住了。我就讓學(xué)生幫哥仨分。有的學(xué)生就聯(lián)想到了用空礦泉水瓶換礦泉水的方法即用“借”與“還”來幫哥仨分馬：哥仨先從鄰居家借來1匹馬，這樣他們共有了18匹馬，按比例分，老大也就得9匹，老二得6匹，老三得2匹，最后還剩1匹馬，正好還給借馬

4、鄰居。這樣分馬問題就迎刃而解。有了體驗，學(xué)生的解題方法就自然可得。為了深化這種解題方法，在一次班會活動上，就讓學(xué)生求粉筆數(shù)：在一只盒里裝有數(shù)十支粉筆，若每次取2支，則最后剩1支；若每次取3支，則最后剩2支；若每次取4支，則最后剩3支；若每次取5支，則最后剩4支；若每次取6支，則最后剩5支。問盒子里究竟有多少支粉筆？我先讓大家分組體驗，很快就有一組同學(xué)想出了利用“借”與“還”的方法來解題：按照題意，先借來一支粉筆，則這盒粉筆的數(shù)量正好分別被2、3、4、5、6整除，也就是2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)，故最后可求得粉筆數(shù)量為60支，再還出一支，從而得出原來盒子里裝有粉筆為59支。若沒有想到用“借”

5、與“還”的方法來解，這題恐怕要費一會勁了。這種體驗讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)中“借”與“還”作用之大的道理，也獲得了有效的求解方法。二、嘗試“借”與“還”使問題化繁為簡現(xiàn)在數(shù)學(xué)中，很多問題都可以用先借后還的思維方法來解決，這種方法可使問題化繁為簡、化難為易、簡捷明快，問題也就可迎刃而解。八年級輔教中，有這樣一題：求（2+1）（22+1）（24+1）（232+1）的值。學(xué)生如用一般方法進行乘積計算，算了半天還懷疑自己有否算錯。這時，教師用適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ龑?dǎo)，用“借”與“還”的方法，利用平方差借一個（21）來乘實際上是乘一個1，并未改變原式的值，這樣馬上可算出它的乘積值為2641。又如，已知XY3，YZ2，求X

6、2Y2Z2XYYZXZ的值？這道題學(xué)生一般會考慮采用代入法求，但怎樣使式子中出現(xiàn)x-y,y-z,x-z呢?這時，如果采用“借”與“還”法，那么就十分簡單了，先乘以2(借個2)，再除以2(還個2)，原式（XY）2（YZ）2（XZ）22（9425）219。為鞏固學(xué)生用“借”與“還”方法解題，可再舉些例子：如求的值？可先“借”一個數(shù)，再“還”一個數(shù)，這樣解題的過程就十分簡捷了，原式=。還有求11+192+1993+19994+的值，先分別“借”來9、8、7、6、5、4、3、2，再“還”去9、8、7、6、5、4、3、2，可使問題迎刃而解。原式=（11+9）+（192+8）+（1993+7）+（1999

7、4+6）+（+2）-（9+8+7+6+5+4+3+2）=-44=。還有分解因式題： X4+X2+2aX+1-a2，可先“借”來個X2再“還”去個X2，原式=X4+2X2+1-X2+2ax-a2=(X2+1)2-(X-a)2=（X2+1+X-a）（X2+1-X+a）。又如幾何題：已知四邊形的邊長分別為a、b、c、d，且 a4+b4 +c4 +d4 -4abcd=0，試判斷四邊形的形狀?？上取敖琛眮?2a2b2、-2c2d2，再“還”去-2a2b2、 -2c2d2，可使問題柳暗花明，由a4+b4+c4+d4-4abcd=0可得 a4+b4-2a2b2+2a2b2+c4+d4-2c2d2+2c2d2

8、-4abcd=0，則(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0，得a2=b2，c2=d2，ab=cd，則求得a=b=c=d，故四邊形為菱形。三、探究圖形中的“借”與“還”有借有還也可以用到幾何圖形中。如圖一，四邊形ABCD中，A=60，B=D=90，AB=2，DC=1，求BC的值。這道題如用“借”圖的方法就比較容易解決。延長BC，AD交于點E，這樣“借”來DCE，四邊形就可放到(圖一)三角形中去解決，利用已知條件可知CE=2，DE=，AE=4，再利用直角三角形性質(zhì)，求得BE=2，得BC=2-2。再如圖二，正方形紙片ABCD和EFGH的邊長都為1，正方形EFGH的一個頂點正是正方

9、形ABCD的中心，在正方形EFGH 繞點E旋轉(zhuǎn)過程中，觀察兩個正方形的重疊部分的面積是否保(圖二)持不變？這題用“借”和“還”的方法最適當(dāng)，過E作EMBC，ENDC，“借”一個EMP，再“還”一個ENQ，EMP與ENQ全等，這樣重疊部分面積始終等于一個小正方形EMCN的面積，所以重疊部分的面積保持不變。梯形面積求法中，可利用“借”三角形的方法，求出梯形面積公式。如圖三，過D點作DEAC交BC的延長線于點E，“借”得一個DCE，與ABD面積相等，所以“還”去ABD，梯形的面積就變成DBE的面積，再利用三角形面(圖三)積求法，就可得梯形的面積公式。圖形的“借”與“還”，往往能很巧妙地解決一些不能解決的 問題，所以，體驗生活，從生活中歸納方法，去解決數(shù)學(xué)問題是