1、第三章 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng) 一、差分與差分方程 二、差分方程的經(jīng)典解 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、單位序列響應(yīng) 二、階躍響應(yīng) 3.3 卷積和 一、序列分解與卷積和 二、卷積的圖解 三、不進(jìn)位乘法 四、卷積和的性質(zhì),點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),第三章 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),一、差分與差分方程,設(shè)有序列f(k)，則，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等稱為f(k)的移位序列。 仿照連續(xù)信號(hào)的微分運(yùn)算，定義離散信號(hào)的差分運(yùn)算。,1. 差分運(yùn)算,離散信號(hào)的變化率有兩種表示形式：,3.1 LT

2、I離散系統(tǒng)的響應(yīng),（1）一階前向差分定義：f(k) = f(k+1) f(k) （2）一階后向差分定義：f(k) = f(k) f(k 1) 式中，和稱為差分算子，無原則區(qū)別。本書主要用后向差分，簡稱為差分。 （3）差分的線性性質(zhì)： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二階差分定義： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2) （5） m階差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m),

3、因此，可定義：,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 差分方程,包含未知序列y(k)及其各階差分的方程式稱為差分方程。將差分展開為移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵(lì)，利用迭代法可求得其數(shù)值解。 例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始條件y(0)=0,y(1)=2,激勵(lì)f(k)=2k(k),求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0

4、) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的(閉合)解。,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),二、差分方程的經(jīng)典解,y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),與微分方程經(jīng)典解類似，y(k) = yh(k) + yp(k),1. 齊次解yh(k),齊次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 其特征方程為 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即 n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根i( i = 1，2，n)稱為差分方程的特征

5、根。 齊次解的形式取決于特征根。 當(dāng)特征根為單根時(shí)，齊次解yn(k)形式為： Ck 當(dāng)特征根為r重根時(shí)，齊次解yn(k)形式為： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 特解yp(k): 特解的形式與激勵(lì)的形式雷同(r1） 。,（1） 激勵(lì)f(k)=km (m0） 所有特征根均不等于1時(shí); yp(k)=Pmkm+P1k+P0 有r重等于1的特征根時(shí); yp(k)=krPmkm+P1k+P0 （2） 激勵(lì)f(k)=ak 當(dāng)a不等于特征根時(shí); yp(k)=Pak 當(dāng)a是r重特征根時(shí); yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)a

6、k （3）激勵(lì)f(k)=cos(k)或sin(k) 且所有特征根均不等于ej ； yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k),例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始條件y(0)=0，y(1)= 1；激勵(lì)f(k)=2k，k0。求方程的全解。,解： 特征方程為 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齊次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解為 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2

7、k2 , k0 故全解為 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始條件解得 C1=1 , C2= 1/4,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以分別用經(jīng)典法求解。 y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1 設(shè)激勵(lì)f(k)在k=0時(shí)接入系統(tǒng)， 通常以y(1), y(2) , ，y(n)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)。 yf(1) = yf(2) = = yf(n) = 0 所以 y(1)= yx(1) , y(2)

8、= yx(2),，y(n)= yx(n) 然后利用迭代法分別求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的初始值yx(j)和yf(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激勵(lì)f(k)=2k , k0，初始狀態(tài)y(1)=0, y(2)=1/2, 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,解：（1）yx(k)滿足方程 yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0 其初始狀態(tài)yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 1/2 首先遞推求出初始值y

9、x(0), yx(1), yx(k)= 3yx(k 1) 2yx(k 2) yx(0)= 3yx(1) 2yx(2)= 1 , yx(1)= 3yx(0) 2yx(1)=3 方程的特征根為1= 1 ，2= 2 ， 其解為 yx(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 將初始值代入 并解得 Cx1=1 , Cx2= 2 所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k0,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),yf(k) + 3yf(k 1) + 2yf(k 2) = f(k) 初始狀態(tài)yf(1)= yf(2) = 0 遞推求初始值 yf(0), yf(1)， yf(k) = 3yf(k 1) 2yf(

10、k 2) + 2k , k0 yf(0) = 3yf(1) 2yf(2) + 1 = 1 yf(1) = 3yf(0) 2yf(1) + 2 = 1 分別求出齊次解和特解，得 yf(k) = Cf1(1)k + Cf2(2)k + yp(k) = Cf1( 1)k + Cf2( 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Cf1= 1/3 , Cf2=1 所以 yf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0,（2）零狀態(tài)響應(yīng)yf(k) 滿足,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),一、單位序列響應(yīng),由單位序列(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列

11、響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)或單位取樣響應(yīng)，或簡稱單位響應(yīng)，記為h(k)。h(k)=T0,(k),例1 已知某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求單位序列響應(yīng)h(k)。,解 根據(jù)h(k)的定義 有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(2) = 0 （1）遞推求初始值h(0)和h(1)。,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1,(2) 求h(k)。 對(duì)于k 0， h

12、(k)滿足齊次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 其特征方程為 (+1) ( 2) = 0 所以 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0 或?qū)憺閔(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k),方程（1）移項(xiàng)寫為,3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),例2：若方程為： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2) 求單位序列響應(yīng)h(k),解 h(k)

13、滿足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2) 令只有(k)作用時(shí)，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k) , 它滿足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 根據(jù)線性時(shí)不變性， h(k) = h1(k) h1(k 2) =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2),3.2 單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),二、階躍響應(yīng),g(k)=T(k), 0,由于,，(k) =(k) (k 1) = (k),所以,，h(k) =g(k),(k2k1 ),兩個(gè)常用的求和公式：,3.3 卷積和,3.3 卷積和,一、卷積和,1 .

14、序列的時(shí)域分解,任意離散序列f(k) 可表示為 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + ,3.3 卷積和,2 .任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng),根據(jù)h(k)的定義：,(k),h(k),由時(shí)不變性：,(k -i),h(k -i),f (i)(k-i),由齊次性：,f (i) h(k-i),由疊加性：,f (k),yf(k),卷積和,3.3 卷積和,3 .卷積和的定義,已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和,為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡稱卷積；記為 f(k)= f1(k)*f

15、2(k) 注意：求和是在虛設(shè)的變量 i 下進(jìn)行的， i 為求和變量，k 為參變量。結(jié)果仍為k 的函數(shù)。,3.3 卷積和,例：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yf(k)。,解： yf(k) = f (k) * h(k),當(dāng)i k時(shí)，(k - i) = 0,(k)*(k) = (k+1)(k),3.3 卷積和,二、卷積的圖解法,卷積過程可分解為四步： （1）換元： k換為 i得 f1(i)， f2(i) （2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn) f2(i)右移k f2(k i) （3）乘積： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 從 到對(duì)乘積項(xiàng)求和。 注意：k 為參

16、變量。 下面舉例說明。,3.3 卷積和,例：f1(k)、 f2(k)如圖所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）換元,（2） f2(i)反轉(zhuǎn)得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),3.3 卷積和,三、不進(jìn)位乘法求卷積,f(k)=所有兩序列序號(hào)之和為k 的那些樣本乘積之和。 如k=2時(shí) f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + ,例 f1(k) =0， f1(1) ，

17、f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0,=+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2) + + f1(i) f2(k i) + ,3.3 卷積和,f1(1) ， f1(2) ， f1(3),f2(0) ， f2(1),f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0),f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1),+ ,f1(3) f2(1),f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0),f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0)

18、,f1(1) f2(0),f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 ,排成乘法,3.3 卷積和,例 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=0,3 ， 4， 0， 6,2 ， 1 ， 5,解,15 ，20， 0， 30,3 ， 4， 0， 6,6 ，8， 0， 12,+ ,6 ，11，19，32，6，30,求f(k) = f1(k)* f2(k),f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=1,教材上還提出一種列表法，本質(zhì)是一樣的。,3.3 卷積和,四、卷積和的性質(zhì),1. 滿足乘法的三律：(1) 交換律, (2) 分配律,(3) 結(jié)合律.,2. f(k)*