1、第2課時 解三角形的實際應(yīng)用舉例 高度、角度問題,測量高度問題 探究：如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點，測量建筑物高度AB.探究下列問題：,(1)求AB長的關(guān)鍵是求AE，在ACE中，需求出哪些量？ 提示：需要求出C點到建筑物頂部A的距離CA和由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長.,(2)若要求CA的長，需要在ACD中求出哪些量？ 提示：需要在ACD中，求出ADC，ACD和邊 DC的長，解三角形可求得CA的長.,【探究總結(jié)】對測量高度問題的兩點說明 (1)對于底部不可到達(dá)的建筑物的高度測量問題，我們可選擇一條過建筑物底部點的基線，在基線上取另外兩點，這樣四點可以構(gòu)成

2、兩個小三角形，把其中不含未知高度的那個小三角形作為依托，從中解出相關(guān)量，進(jìn)而應(yīng)用到含未知高度的三角形中，然后利用正弦或余弦定理解決即可.,(2)對于頂部不能到達(dá)的建筑物高度的測量，我們可以選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰角、俯角等構(gòu)成的三角形，在此三角形中利用正弦定理求解即可.,類型一測量高度問題 1.如圖所示，在山根A處測得山頂B的仰角CAB =45，沿傾斜角為30的山坡向山頂走1000m 到達(dá)S點，又測得山頂仰角DSB=75，則山高 BC為() A.500 mB.200m C.1000 mD.1000m,2.(2014上海高考)如圖，某公司要在A， B兩地連線

3、上的定點C處建造廣告牌CD，其 中D為頂端，AC長35米，CB長80米，設(shè)A， B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為和. (1)設(shè)計中CD是鉛垂方向，若要求2，問CD的長至多為多少(結(jié)果精確到0.01米). (2)施工完成后，CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實測得=38.12，=18.45，求CD的長(結(jié)果精確到0.01米).,【解題指南】1.根據(jù)所給的角求出SBA，ASB，在ABS中求出AB，再在RtABC中求出BC. 2.(1)在RtADC，RtBDC中，根據(jù)邊角關(guān)系可得tan，tan，根據(jù)2，可得tantan2，解不等式可得結(jié)論. (2)在ADB中，根據(jù)正弦定理可把DB的長度求出，在BC

4、D中，根據(jù)余弦定理可把DC的長度求出.,【自主解答】1.選D.因為SAB=45-30=15， SBA=ABC-SBC=45-(90-75)=30， 所以ASB=180-SAB-SBA=135. 在ABS中，AB= 所以BC=ABsin45= =1000(m).,2.(1)設(shè)CD的長為x米，則 因為 20，所以tantan2， 所以tan 所以 解得：0x20 28.28， 所以CD的長至多為28.28米.,(2)設(shè)DB=a，DA=b，DC=m，ADB=180-=123.43， 則 解得a= 85.06， 所以m= 所以CD的長約為26.93米.,【規(guī)律總結(jié)】解決測量高度問題的一般步驟 (1)根

5、據(jù)已知條件畫出示意圖. (2)分析與問題有關(guān)的三角形. (3)運用正、余弦定理解相關(guān)的三角形. 在解題過程中，要綜合運用立體幾何與平面幾何的知識，注意方程思想的運用.,【拓展延伸】測量高度問題的兩個關(guān)注點 (1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. (2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路.,【變式訓(xùn)練】(2014焦作高二檢測) 如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在 河岸上選一點C，使C在塔底B的正東 方向上，測得點A的仰角為60，再 由點C沿北偏東60方向走10米到位 置D，

6、測得ADB=45，則塔AB的高度為() A.10米B. 米 C.10 米D.10 米,【解析】選B.設(shè)塔AB高為x，則BD=x， BC= BCD=150， 在BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos150，即x2= x2+100-2 10cos150， 解得x=,類型二測量角度問題 1.從地面上測一建在山頂上的建筑物，測得其視角為，同時測得建筑物頂部仰角為，則山頂?shù)难鼋菫?) A.+B.-C.-D.,2.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度向正東方向勻速行

7、駛，經(jīng)過t小時小艇與輪船相遇.假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短的時間與輪船相遇，并說明理由.,【解題指南】1.利用仰角、俯角的定義去計算. 2.先畫出簡圖，再對照圖形理解題意，然后確定各個角度、各條邊長(邊長有已知的，有用字母表示的)，并嘗試用正、余弦定理，函數(shù)，不等式的知識解答.,【自主解答】1.選C.如圖，BC為山高，AB為建筑物，由題意 AOB=，AOC=，所以BOC=-，即山頂?shù)难鼋菫?-.,2.設(shè)小艇航行速度的大小是v海里/小時， 如圖所示，設(shè)小艇與輪船在B處相遇. 由余弦定理得： BO2=AO2+AB2

8、-2AOABcosA. 所以(vt)2=400+(30t)2-22030tcos(90-30)， 即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0v30)，,當(dāng)0v30時，則=360000+1600(v2-900) =1600(v2-675)，令=0， 即1600(v2-675)=0，則v= 當(dāng)0v 時，兩船不會相遇；當(dāng) v30時， 此時t= 當(dāng)t= 時，令x= ，則x0，15)，,當(dāng)且僅當(dāng)x=0，即v= 時，等號成立； 當(dāng)t= 時，同理可得 綜上可得，當(dāng) v,當(dāng)v=30時，可求得t= 綜合可知，當(dāng)v=30時，t取得最小值，且最小值是 此時，在OAB中，有OA=OB=AB=20，所以可設(shè)計

9、方案如下： 小艇的航行方向是北偏東30，航行速度為30海里/小時， 此時小艇能以最短的時間與輪船相遇.,【延伸探究】題2中若小艇無最高航行速度限制，其他條件不變.問： (1)若希望相遇時小艇航行距離最小，則小艇航行速度為多少？ (2)若保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)與輪船相遇，試求小艇航行速度的最小值.,【解析】(1)設(shè)相遇時小艇航行距離為S，則 故當(dāng)t= 時航行距離最小為S= 海里， 此時 (海里/小時)， 即小艇以 海里/小時的速度航行，相遇時航行距離最小.,(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇如圖， 由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OAABcosOAB得， (vt)2=202+(30t)2-22030tcos(90-30)， 化簡得v2= 由于0t 所以 2， 故當(dāng) =2時，v取最小值 即小艇航行速度的最小值為 海里/小時.,【規(guī)律總結(jié)】角度問題的解題思路 (1)根據(jù)題意和圖形及方向角等概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，需求哪些量. (2)從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，結(jié)合圖形選擇運用正弦定理，還是余弦定理.,【變式訓(xùn)練】某人站在山頂看見一列車隊向山腳駛?cè)?，他看見第一輛車