1、2.3.2雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 第1課時(shí)雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),【自主預(yù)習(xí)】 1.雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),|F1F2|=2c,xa或x-a,yR,ya或y-a,xR,x軸、y軸,坐標(biāo)原點(diǎn),(-a,0),(a,0),(0,-a),(0,a),2a,2b,2.等軸雙曲線(xiàn) 實(shí)軸和虛軸_的雙曲線(xiàn),它的漸近線(xiàn)是_, 離心率為 .,等長(zhǎng),y=x,【即時(shí)小測(cè)】 1.雙曲線(xiàn)2x2-y2=8的實(shí)軸長(zhǎng)是() A.2 B.2 C.4 D.4 【解析】選C.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1, 所以a2=4,所以2a=4.,2.雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)方程是() 【解析】選C

2、.焦點(diǎn)在x軸上,a=2,b=3,漸近線(xiàn)方程為: y= x,即y= x.,3.已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為(-4,0),(4,0),離心率為2,則雙 曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【解析】因?yàn)閑= =2,c=4,所以a=2,所以b2=c2-a2=12, 且焦點(diǎn)在x軸上,故標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1. 答案: =1,【知識(shí)探究】 探究點(diǎn)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì) 1.能不能用a,b表示雙曲線(xiàn)的離心率? 提示:能.,2.不同的雙曲線(xiàn),漸近線(xiàn)能相同嗎?其方程有何特點(diǎn)? 提示:能相同.雙曲線(xiàn) 與 的漸近線(xiàn) 就相同,所以具有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)可設(shè)為 =(0,R),0時(shí),焦點(diǎn)在x軸上,0時(shí),焦點(diǎn) 在y軸上.,【歸納總結(jié)】 1.對(duì)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的四點(diǎn)

3、說(shuō)明 (1)隨著x和y趨向于無(wú)窮大,雙曲線(xiàn)將無(wú)限地與漸近線(xiàn)接近,但永遠(yuǎn)沒(méi)有交點(diǎn).,(2)由漸近線(xiàn)方程可確定a與b或b與a的比值,但無(wú)法確 定焦點(diǎn)位置. (3)求漸近線(xiàn)的方程,常把雙曲線(xiàn)的方程右邊的常數(shù)寫(xiě) 成0,分解因式即得漸近線(xiàn)方程,若已知漸近線(xiàn)方程 mx+ny=0,求雙曲線(xiàn)的方程,常將雙曲線(xiàn)的方程設(shè)為 =(0)求解.,(4)與雙曲線(xiàn) (a0,b0)共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系 的方程可設(shè)為 =(0,a0,b0).,2.離心率對(duì)雙曲線(xiàn)開(kāi)口大小的影響 以雙曲線(xiàn) (a0,b0)為例. ,故當(dāng) 的值越大,漸近線(xiàn) y= x的斜率越大,雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越大,e也越大,所以e 反映了雙曲線(xiàn)開(kāi)口的大小,即雙曲線(xiàn)的離心率越

4、大,它 的開(kāi)口就越大.,特別提醒:漸近線(xiàn)是雙曲線(xiàn)特有的幾何性質(zhì),它決定著雙曲線(xiàn)張口的開(kāi)闊與否.,類(lèi)型一已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程求其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 【典例】1.(2016江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，雙曲線(xiàn) 的焦距是_.,2.求雙曲線(xiàn)nx2-my2=mn(m0,n0)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線(xiàn)方程.,【解題探究】1.雙曲線(xiàn)中a,b,c的關(guān)系是什么？ 提示：c2=a2+b2. 2.典例2中求簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的關(guān)鍵是什么? 提示:將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,明確a,b,c的值即可求出相應(yīng)的幾何性質(zhì).,【解析】1.由 可得c2=a2+b2=7+3=10， 所以 故焦距是 答

5、案： 2.把方程nx2-my2=mn(m0,n0) 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1(m0,n0), 由此可知,實(shí)半軸長(zhǎng)a= ,虛半軸長(zhǎng)b= ,c= , 焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ,0),(- ,0), 離心率e= 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(- ,0),( ,0), 所以漸近線(xiàn)方程為y= x,即y= x.,【延伸探究】將典例2改為“求雙曲線(xiàn)9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線(xiàn)方程”,請(qǐng)給出解答 【解題指南】將雙曲線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,然后由各個(gè)所求量的定義作答.,【解析】將9y2-4x2=-36變形為 =1, 即 =1, 所以a=3,b=2,c= , 因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0), 焦

6、點(diǎn)坐標(biāo)為(- ,0),( ,0),實(shí)軸長(zhǎng)是2a=6,虛軸長(zhǎng)是2b=4, 離心率e= 漸近線(xiàn)方程為y= x= x.,【方法技巧】由雙曲線(xiàn)的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟 (1)把雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵. (2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置,確定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c值,從而寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì). 特別提醒:求性質(zhì)時(shí)一定要注意焦點(diǎn)的位置.,【變式訓(xùn)練】求雙曲線(xiàn) =1的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、 頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo). 【解析】由題意知a2=3,b2=4, 所以c2=a2+b2=3+4=7,解得a= ,b=2,c= . 因此,雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)2a=2 ,虛軸長(zhǎng)2b=4. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

7、 ,0),( ,0), 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(- ,0),( ,0).,類(lèi)型二利用幾何性質(zhì)求雙曲線(xiàn)的方程 【典例】1.(2016天津高考)已知雙曲線(xiàn) (a0,b0)的焦距為 且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與 直線(xiàn)2x+y=0 垂直，則雙曲線(xiàn)的方程為( ),2.(2016長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(3 ,4), 它的漸近線(xiàn)方程為y= x, (1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)設(shè)F1和F2是該雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線(xiàn) 上,且|PF1|PF2|=55,求F1PF2的余弦值.,【解題探究】1.題1中的等量關(guān)系如何得出？ 提示：由焦距為 及漸近線(xiàn)方程，得等量關(guān)系.,2.典例2中題(1)由漸近線(xiàn)方程求標(biāo)準(zhǔn)方程的一般思

8、路是什么?(2)中由條件|PF1|PF2|=55可想到什么? 提示:(1)可分焦點(diǎn)在x軸上、y軸上分別設(shè)出方程,再由漸近線(xiàn)方程建立a,b的關(guān)系求解,或利用共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程求解. (2)一般考慮雙曲線(xiàn)的定義,|PF1|-|PF2|=2a.,【解析】1.選A.由題意得 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為 因?yàn)闈u近線(xiàn)與直線(xiàn)2x+y=0 垂直，所以 所以 又因?yàn)閏2=a2+b2，解得a=2, b=1，所以雙曲線(xiàn)的方程為,2.(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a0,b0), 由題意得 解得a2=9,b2=16. 所以雙曲線(xiàn)的方程為 .,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a0,b0),由題意得 此

9、方程組無(wú)解, 所以雙曲線(xiàn)的方程為 .,(2)由雙曲線(xiàn)的定義知,|PF1|-|PF2|=6,在F1PF2中, 由余弦定理:cosF1PF2=,【延伸探究】將典例2中的條件改為“頂點(diǎn)間距離為6, 漸近線(xiàn)方程為y= x”,求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.,【解析】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),因?yàn)?且a=3,所以 b= ,所以所求雙曲線(xiàn)方程為 =1. 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),因?yàn)?且a=3,所以b=2. 所以所求雙曲線(xiàn)方程為 =1.,【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)容易忽視焦點(diǎn)的位置而只得到一個(gè)答案.,【方法技巧】求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法與技巧 (1)根據(jù)雙曲線(xiàn)的某些幾何性質(zhì)求雙曲線(xiàn)方程,一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組),但要注意焦點(diǎn)的

10、位置,從而正確選擇方程的形式.,(2)巧設(shè)雙曲線(xiàn)方程的六種方法與技巧 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 (a0,b0). 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 (a0,b0). 與雙曲線(xiàn) 共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為 (0,-b2a2).,與雙曲線(xiàn) 具有相同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程 可設(shè)為 =(0). 漸近線(xiàn)為y=kx的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為k2x2-y2= (0). 漸近線(xiàn)為axby=0的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為a2x2-b2y2= (0).,【變式訓(xùn)練】(2015廣東高考)已知雙曲線(xiàn)C： 的離心率 且其右焦點(diǎn)F2(5,0)， 則雙曲線(xiàn)C的方程為( ),【解析】選B.因?yàn)樗箅p曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F2(5，0)且 離

11、心率為 所以c=5，a=4，b2=c2-a2=9，所以所 求雙曲線(xiàn)的方程為,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上,離心率 為 ,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-3,2 ),求雙曲線(xiàn)的方程.,【解析】設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為 (a0,b0). 因?yàn)閑= ,所以e2= 所以,由題意得 解得 所以所求的雙曲線(xiàn)的方程為 =1.,類(lèi)型三與雙曲線(xiàn)有關(guān)的離心率問(wèn)題 【典例】1.(2015全國(guó)卷)已知A,B為雙曲線(xiàn)E的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,ABM為等腰三角形,且頂角為120,則E的離心率為(),2.(2016長(zhǎng)沙高二檢測(cè))設(shè)F1,F2是雙曲線(xiàn)C: (a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=6a, 且PF1

12、F2的最小內(nèi)角為30,則C的離心率為.,【解題探究】1.典例1中求離心率的突破點(diǎn)是什么? 提示:求離心率的關(guān)鍵是利用a表示出M點(diǎn)的坐標(biāo),利用M在雙曲線(xiàn)上建立等式.,2.典例2中條件|PF1|+|PF2|=6a的作用是什么? 提示:利用定義得|PF1|-|PF2|=2a,借助條件|PF1|+|PF2|=6a,可求得|PF1|,|PF2|的值.,【解析】1.選D.設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 (a0,b0), 如圖所示,|AB|=|BM|,ABM=120,過(guò)點(diǎn)M作MNx軸,垂足為點(diǎn)N, 在RtBMN中,|BN|=a,|MN|= a,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a, a),代入雙曲線(xiàn)方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2

13、a2,所以 e= .,2.不妨設(shè)|PF1|PF2|,則|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+ |PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c,則在 PF1F2中,PF1F2=30,由余弦定理得(2a)2= (4a)2+(2c)2-2(4a)(2c)cos30,整理得(e- )2=0, 所以e= . 答案:,【延伸探究】1.將典例2條件“若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小內(nèi)角為30”改為“若PF1PF2,且PF1F2=30”,結(jié)果如何?,【解析】在RtPF1F2中,由題意可知:|F1F2|=2c, |PF2|=c,|PF1|= c,又|PF1|-

14、|PF2|=2a,所以2a= c-c,e= 答案: +1,2.將典例2條件改為“已知雙曲線(xiàn) (a0,b0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),且 PF1F2=30,PF2F1=60”,則雙曲線(xiàn)的離心率 為.,【解析】如圖所示, 在PF1F2中,F1PF2=90, 所以|PF2|= |F1F2|=c, |PF1|= c, 根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義, 有|PF1|-|PF2|= c-c=2a, 故離心率e= 答案: +1,【方法技巧】 1.求雙曲線(xiàn)離心率的常見(jiàn)方法 (1)依據(jù)條件求出a,c,再計(jì)算e= .,(2)依據(jù)條件建立參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,一種方法是消去 b轉(zhuǎn)化成離心率e的方程求解,另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化 成含 的方程,求出 后利用e= 求離心率.,2.求離心率的范圍技巧 (1)根據(jù)條件建立a,b,c的不等式. (2)通過(guò)解不等式得 或 的范圍,求得離心率的范圍.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】雙曲線(xiàn) (a0,b0)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,以F1F2為邊作等邊三角形,若雙曲線(xiàn)恰平分三角形的另兩邊,則雙曲線(xiàn)的離心率為.,【解析】如圖所示, |NF1|= 2c= c, |NF2|=c.而|NF1|-|NF2|=2a,即( -1)c=2a, 所以e