1、,第三章 泊松過程(Poisson process),第一節(jié) 泊松過程的定義和例子,第二節(jié) 泊松過程的基本性質(zhì),第三節(jié) 非齊次泊松過程,第四節(jié) 復(fù)合泊松過程,1計(jì)數(shù)過程,則,第一節(jié) 泊松過程的定義和例子,注,如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú)立的，則稱計(jì)數(shù)過程有獨(dú)立增量。,若在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴于時(shí)間區(qū)間的長度，則稱計(jì)數(shù)過程有平穩(wěn)增量。,首頁,2泊松過程,滿足,首頁,則稱,注意,從條件（3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且,并稱,生起率或強(qiáng)度,（單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)）。,首頁,說明,要確定計(jì)數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個(gè)條件：,為此給出一個(gè)與泊松過程等價(jià)

2、的定義,則稱,首頁,滿足,定義3.3,例3.1 考慮某電話交換臺(tái)在某段時(shí)間接到的呼叫. 令X(t) 表示電話交換臺(tái)在(0,t時(shí)間段內(nèi)收到的呼叫次數(shù), 則 X(t),t0滿足定義3.3中的各個(gè)條件,故X(t),t0 是一個(gè)泊松過程. 其實(shí)對(duì)于任意的0t1t2tn,隨機(jī)變量X(t2)- X(t1),X(t3)-X(t2),X(tn)-X(tn-1)分別表示,在時(shí)間 段(t1,t2,(t2,t3,(tn-1,tn內(nèi),電話交換臺(tái)接到的 呼叫次數(shù),它們是相互獨(dú)立的,所以隨機(jī)過程X(t),t0 是一個(gè)獨(dú)立增量過程. 而且對(duì)于任意的st,隨機(jī)變量X(t)-X(s)的分布可以 認(rèn)為僅與t-s有關(guān),故X(t),

3、t0是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程.,例3.2 考慮來到某火車站售票窗口購買車票的旅客.如果 記X(t)為在時(shí)間(0,t內(nèi)到達(dá)售票窗口的旅客數(shù), 則計(jì) 數(shù)過程X(t),t0滿足定義3.3中的各個(gè)條件,故是一 個(gè)泊松過程. 例3.3 考慮機(jī)器在(t,t+h)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生故障的事件. 若 機(jī)器發(fā)生故障,立即修理后繼續(xù)工作,則在(t,t+h)時(shí)間 段內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障而停止工作的事件數(shù),構(gòu)成一個(gè)隨機(jī) 點(diǎn)過程,該過程可以用泊松過程進(jìn)行描述.,補(bǔ)例,已知商店上午9：00開門，試求到9：30時(shí)僅到一位顧客，而到11：30時(shí)總計(jì)已達(dá)5位顧客的概率。,解,設(shè) 表示在時(shí)間t時(shí)到達(dá)的顧客數(shù),首頁,定理3.1 泊松過程的兩種定義,

4、即定義3.2與定義3.3是等價(jià)的. 證明: 首先證明定義3.2蘊(yùn)涵定義3.3. 比較兩條定義,由于定義3.2的條件(3)中蘊(yùn)涵X(t)為平穩(wěn)增量 過程,所以只需證明由定義3.2的條件(3)可以推出定義3.3的 條件(3).由式 PX(t+s)-X(s)=n=e-t ,n=0,1,2,. 對(duì)充分小的h,有 PX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1 =e-h =h =h1-h+o(h) =h+o(h); PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 = =o(h).,以下證明定義3.3蘊(yùn)涵定義3.2. 經(jīng)比較,只需證明由 定義3.3中后兩式可以推出定義3.2的(3)式.為此令

5、Pn(t)=PX(t)=n=PX(t)-X(0)=n. 根據(jù)定義3.3的(2)與(3),有 P0(t+h)=PX(t+h)=0=PX(t+h)-X(0)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =P0(t)1-h+o(h), 所以 =-P0(t)+ . 令h0取極限得 P0(t)=-P0(t) 或 =-.,積分得 lnP0(t)=-t+C 即 P0(t)=ke-t. 由于P0(0)=PX(0)=1, 代入前式得 P0(t)=e-t. 類似地,對(duì)于n1,有 Pn(t+h)=PX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n

6、 =PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0+ PX(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1+ PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j. 根據(jù)定義3.3的(2)與(3),得 Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h) =(1-h)Pn(t)+hPn-1(t)+o(h) 于是,有,=-Pn(t)+Pn-1(t)+ . 令h0取極限得 Pn(t)=-Pn(t)+Pn-1(t), 所以 etPn(t)+Pn(t)=etPn-1(t), 因此 etPn(t)=etPn-1(t). 當(dāng)n=1時(shí),得 etP1(t)=etP0(t)=e

7、te-t=, P1(t)=(t+c)e-t.,由于P1(0)=0, 代入上式得 c=0, P1(t)=te-t. 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明: Pn(t)= e-t成立. 假設(shè)n-1時(shí)有結(jié)論,證對(duì)n有: PX(t+s)-X(s)=n=e-t ,n=0,1,2,. 根據(jù) etPn(t)=etPn-1(t) 式,有 etPn(t)=et e-t= , 積分得 etPn(t)= +c .,由于Pn(0)=PX(0)=n=0, 因而c=0, 所以 Pn(t)=e-t . 由條件(2)X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程,故有 PX(t+s)-X(s)=n=e-t , n=0,1,2, 故定義3.3蘊(yùn)涵定義3.2.,第二節(jié) 泊松過程的基本性質(zhì),一數(shù)字特征,特征函數(shù)為,2到達(dá)時(shí)間間隔和等待時(shí)間的分布,定義,則稱,則稱,首頁,定理3.2,證,或,首頁,那么類似地有,（增量的獨(dú)立性）,（平穩(wěn)獨(dú)立增量過程）,首頁,可見,一般地,首頁,這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列 是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且都具有相同均值為 的指數(shù)分布。,首頁,定理3.3,其概率密度為,證,因?yàn)?所以,首頁,于是,首頁,又稱為愛爾蘭分布，它是n個(gè)相互獨(dú)立且服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和的概率密度。,“電話呼叫”是