1、目 錄 Contents,考情精解讀,考點(diǎn),A.知識(shí)全通關(guān),B.題型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法4,考法3,方法,考情精解讀,考綱解讀,命題趨勢,命題規(guī)律,數(shù)學(xué),掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.,第九章第三講 圓的方程,考綱解讀,命題規(guī)律,命題趨勢,數(shù)學(xué),第九章第三講 圓的方程,考綱解讀,命題規(guī)律,返回目錄,1.熱點(diǎn)預(yù)測以求圓的方程和切線、弦長、最值等問題為主,題型以選擇題的形式出現(xiàn),分值為5分. 2.趨勢分析預(yù)測2018年,以直線和圓的位置關(guān)系為背景突出表現(xiàn)圓的性質(zhì)的命題趨勢較強(qiáng),重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合思想和整體運(yùn)算能力.,命題趨勢,數(shù)學(xué),第九章第三講 圓的方程,

2、知識(shí)全通關(guān),.,1.圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),考點(diǎn)1 圓的方程,在圓的一般方程中:當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個(gè)點(diǎn)(- 2 ,- 2 );當(dāng)D2+E2-4F0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有意義,不表示任何圖形.,第九章第三講 圓的方程,.,(2)幾種特殊圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(r0),數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),第九章第三講 圓的方程,.,2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,數(shù)學(xué),(1)根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷:dr點(diǎn)在圓外;d=r點(diǎn)在圓上;dr2點(diǎn)在圓外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)在圓上; (x0-a)2+(y0-b

3、)2r2點(diǎn)在圓內(nèi).,返回目錄,第九章第三講 圓的方程,題型全突破,考法1 求圓的方程,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué),考法指導(dǎo) 1.求圓的方程的兩種方法 (1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法:若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇設(shè)圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值. 2.確定圓心位置的方法 (1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上; (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上; (3)兩圓相切時(shí),切

4、點(diǎn)與兩圓圓心共線.,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例1求圓心在直線x-2y-3=0上,且過點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5)的圓的方程.,解析解法一設(shè)點(diǎn)C為圓心,因?yàn)辄c(diǎn)C在直線x-2y-3=0上, 所以可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a+3,a). 又該圓經(jīng)過A,B兩點(diǎn), 所以|CA|=|CB|,即 (2+32 ) 2 +(+3 ) 2 = (2+3+2 ) 2 +(+5 ) 2 ,解得a=-2,所以圓心C的坐標(biāo)為(-1,-2),半徑r= 10 . 故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),解法二設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)

5、2=r2, 由題意得 (2 ) 2 +(3 ) 2 = 2 , (2 ) 2 +(5 ) 2 = 2 , 23=0, 解得 =1, =2, 2 =10, 故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10. 解法三設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心坐標(biāo)為(- 2 ,- 2 ). 由題意得 ( 2 )2( 2 )3=0, 4+9+23+=0, 4+2525+=0, 解得 =2, =4, =5. 故所求圓的方程為x2+y2+2x+4y-5=0.,第九章第三講 圓的方程,返回目錄,數(shù)學(xué),【點(diǎn)評】,由于本題中圓的半徑不明顯,所以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程均可.另外,在用幾何法求圓的方程

6、時(shí),要充分利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì).,第九章第三講 圓的方程,考法2 與圓有關(guān)的對稱問題,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué),考法指導(dǎo) 1.圓的軸對稱性 圓關(guān)于直徑所在的直線對稱. 2.圓關(guān)于點(diǎn)對稱 (1)求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓,只需確定所求圓的圓心位置; (2)兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱,則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn). 3.圓關(guān)于直線對稱 (1)求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓,只需確定所求圓的圓心位置; (2)兩圓關(guān)于某條直線對稱,則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例2已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2 =1,圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對稱,則圓C2的方程為 A.

7、(x+2)2+(y-2)2 =1B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1,解析圓C1的圓心坐標(biāo)為(-1,1),半徑為1,設(shè)圓C2的圓心坐標(biāo)為(a,b),由題意得 1 2 +1 2 1=0, 1 +1 =1, 解得 =2, =2, 所以圓C2的圓心坐標(biāo)為(2,-2),又兩圓的半徑相等,故圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=1. 答案B,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例3(1)若圓(x+1)2+(y-3)2=9上的相異兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線kx+2y-4=0對稱,則k的值為; (2)圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)(

8、0,0)對稱的圓的方程為.,解析(1)圓是軸對稱圖形,過圓心的直線都是它的對稱軸.已知圓的圓心為(-1,3),由題設(shè)知,直線kx+2y-4=0過圓心,則k(-1)+23-4=0,解得k=2. (2)因?yàn)樗髨A的圓心與圓(x+2)2+y2=5的圓心(-2,0)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱,所以所求圓的圓心為(2,0),半徑為 5 ,故所求圓的方程為(x-2)2+y2=5.,第九章第三講 圓的方程,返回目錄,數(shù)學(xué),【點(diǎn)評】,對稱圓的半徑不變,圓的對稱問題實(shí)際上是點(diǎn)的對稱問題,求解過程中最重要的就是確定圓心.,第九章第三講 圓的方程,考法3 與圓有關(guān)的最值問題,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué),考法指導(dǎo) 對于圓中的最值問題

9、,一般是根據(jù)條件列出關(guān)于所求目標(biāo)的式子函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式的性質(zhì)等求出最值.特別地,要利用圓的幾何性質(zhì),根據(jù)式子的幾何意義求解,這正是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例4已知點(diǎn)P(x,y)在圓C:x2+y2-6x-6y+14=0上, (1)求 的最大值和最小值; (2)求x+y的最大值與最小值.,解析(1)方程x2+y2-6x-6y+14=0可變形為(x-3)2+(y-3)2=4. 表示圓上的點(diǎn)P與原點(diǎn)連線的斜率,顯然當(dāng)PO(O為原點(diǎn))與圓相切時(shí),斜率最大或最小,如圖所示.,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼

10、續(xù)學(xué)習(xí),設(shè)切線方程為y=kx,即kx-y=0, 由圓心C(3,3)到切線的距離等于半徑2,可得 |33| 2 +1 =2, 解得k= 92 14 5 , 所以 的最大值為 9+2 14 5 ,最小值為 92 14 5 . (2)設(shè)x+y=b,則b表示動(dòng)直線y=-x+b在y軸上的截距,顯然當(dāng)動(dòng)直線y=-x+b與圓(x-3)2+(y-3)2=4相切時(shí),b取得最大值或最小值,如圖9-3-2所示. 由圓心C(3,3)到切線x+y=b的距離等于圓的半徑2,可得 |3+3| 1 2 + 1 2 =2,即|b-6|=2 2 ,解得b=62 2 , 所以x+y的最大值為6+2 2 ,最小值為6-2 2 .,第

11、九章第三講 圓的方程,返回目錄,數(shù)學(xué),【歸納總結(jié)】,處理與圓有關(guān)的最值問題時(shí),應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思想求解.與圓有關(guān)的最值問題,常見的有以下幾種類型:(1)形如= 的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題;(2)形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題,也可用三角代換求解;(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.,第九章第三講 圓的方程,考法4 與圓有關(guān)的軌跡問題,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué),考法指導(dǎo) 1.求軌跡方程的步驟如下: 建系,設(shè)點(diǎn):建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)M(x,y). 寫

12、集合:寫出滿足符合條件P的點(diǎn)M的集合M|P(M). 列式:用坐標(biāo)表示P(M),列出方程f(x,y)=0. 化簡:化方程f(x,y)=0為最簡形式. 證明:證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).,第九章第三講 圓的方程,考點(diǎn)4 與圓有關(guān)的軌跡問題,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué),考法指導(dǎo) 2.求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法如下:,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例5設(shè)定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為兩邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡.,解析 如圖, 設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為( 2 , 2 ),線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為( 0 3

13、 2 , 0 +4 2 ). 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分, 所以 2 = 0 3 2 , 2 = 0 +4 2 , 整理得 0 =+3, 0 =4.,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),又點(diǎn)N(x+3,y-4)在圓x2+y2=4上, 所以(x+3)2+(y-4)2=4. 所以點(diǎn)P的軌跡是以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓(因?yàn)镺,M,P三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去兩點(diǎn)(- 9 5 , 12 5 )和(- 21 5 , 28 5 ).,第九章第三講 圓的方程,返回目錄,數(shù)學(xué),【點(diǎn)評】,根據(jù)圖形求出兩坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后依據(jù)相關(guān)點(diǎn)即可求解.,第九章第三講 圓的方程,能力大提升,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),示

14、例6 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上,求圓C的方程.,解析解法一(代數(shù)法)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點(diǎn)為(0,1),與x軸的交點(diǎn)為(3+2 2 ,0),(3-2 2 ,0),設(shè)圓的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0), 則有 1+=0, (3+2 2 ) 2 +(3+2 2 )+=0, (32 2 ) 2 +(32 2 )+=0, 解得 =6, =2, =1, 故圓的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.,思想方法 利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑,第九章第三講 圓的方程,數(shù)學(xué),繼續(xù)學(xué)習(xí),解法二(幾何法)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點(diǎn)為(0,1),與x軸的交點(diǎn)為(3+2 2 ,0),(3-2 2 ,0). 故可設(shè)C的圓心為(3,t).則有32+(t-1)2=(2 2 )2+t2,解得t=1. 則圓C的半徑為 3