1、非線性回歸函數(shù),1,線性回歸的最大特點(diǎn)是：總體回歸函數(shù)的斜率為常數(shù)。故X變化一個(gè)單位對(duì)Y的效應(yīng)不依賴于X本身的取值。 我們今天研究的非線性回歸中，總體回歸函數(shù)的斜率不再是常數(shù)，X的變化對(duì)Y的效應(yīng)依賴于一個(gè)或多個(gè)自變量的取值。,2,3,非線性回歸函數(shù)的一般建模方法,我們考慮測試成績和地區(qū)收入的關(guān)系,4,5,二次回歸模型,6,在stata中需要用gen命令產(chǎn)生一個(gè)新的變量表示：Income2。 gen income2=income2 reg TestScore income income2,通過t檢驗(yàn)我們發(fā)現(xiàn)， Income2顯著，所以，可以得出結(jié)論，二次模型優(yōu)于線性模型。,7,如何決定是用線性還

2、是非線性？ 最簡單的辦法是利用t檢驗(yàn)考察二次方的顯著性： 對(duì)于方程 我們需要檢驗(yàn)income2前的系數(shù)2是否顯著。,8,非線性設(shè)定形式中X變化對(duì)Y的效應(yīng),想知道在固定其他自變量X2、X3Xk的情形下，當(dāng)自變量X1變化X時(shí)，預(yù)期因變量Y如何變化。當(dāng)總體回歸函數(shù)為線性時(shí)，很容易計(jì)算這個(gè)效應(yīng)， Y=1X1 但當(dāng)回歸函數(shù)為非線性時(shí)，由于Y的預(yù)期變化依賴于自變量的取值，因此其計(jì)算較復(fù)雜。,9,我們假定非線性總體回歸的一般公式為,10,書中的兩個(gè)例子 1。地區(qū)收入從10-11（單位是千美元） 2。地區(qū)收入從40-41,11,可以看出，income對(duì)testscore的彈性逐漸變小。,12,效應(yīng)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤

3、差,在上例中,13,利用多元回歸建立非線性模型的一般方法,(1)確定一種可能的非線性關(guān)系。最佳做法是利用經(jīng)濟(jì)理論和你對(duì)實(shí)際應(yīng)用的了解提出一種可能的非線性關(guān)系。在看數(shù)據(jù)之前，問自己聯(lián)系Y和X的回歸函數(shù)斜率是否依賴于X或其他自變量的取值。 (2)確定一個(gè)非線性函數(shù)并用OLS估計(jì)其參數(shù)。后續(xù)章節(jié)將會(huì)學(xué)習(xí)多種非線性函數(shù)形式。,14,(3)確定非線性模型是否改進(jìn)了線性模型。大多數(shù)情況下可以利用t統(tǒng)計(jì)量和F統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)總體回歸函數(shù)是線性的原假設(shè)和非線性的備擇假設(shè)。 (4)畫出非線性回歸函數(shù)估計(jì)圖。（線性擬合圖）。 (5)利用前面講的公式估計(jì)X變化對(duì)Y的效應(yīng)。,15,非線性函數(shù)的形式,一。多項(xiàng)式函數(shù),16,

4、常用的多項(xiàng)式函數(shù)： r=2 二次回歸模型 r=3 立方回歸模型,17,是否需要多項(xiàng)式函數(shù),然后利用F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn),18,到底應(yīng)該采用幾階多項(xiàng)式,1。最直觀的辦法是畫散點(diǎn)圖。 2。很多涉及經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的應(yīng)用中，非線性函數(shù)都是光滑的，也就是不存在急劇的跳躍或“尖峰”。則選擇較小的多項(xiàng)式最高階數(shù)，如2, 3或4較合適。,19,二次方、三次方和四次方曲線,20,選取好最高階數(shù)后，按照下列步驟進(jìn)行： (1)選定最大的r值并估計(jì)r階多項(xiàng)式回歸。 (2)利用t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)Xr的系數(shù)r為零的假設(shè)。如果拒絕原假設(shè)，則Xr應(yīng)包含在回歸中，故使用r階多項(xiàng)式。,21,(3)如果在步驟(2)中不能拒絕r =0，則從回歸中剔

5、除Xr并估計(jì)r-1階多項(xiàng)式回歸。接著檢驗(yàn)Xr-1的系數(shù)是否為零。如果拒絕則使用r-1階多項(xiàng)式。 (4)如果在步驟(3)中不能拒絕r-1 =0 ，重復(fù)這一步直到回歸中最高次方的系數(shù)統(tǒng)計(jì)顯著為止。,22,例一,23,例二,在工資方程中，建立ln(wage)與exper的多項(xiàng)式關(guān)系。,24,對(duì)數(shù)形式,對(duì)數(shù)形式經(jīng)常用于表示變量的百分率變化。例如： 在消費(fèi)者需求的經(jīng)濟(jì)分析中，通常假定價(jià)格上漲1%導(dǎo)致需求量下降一定的 百分率。稱價(jià)格上漲1%引起的需求下降百分率為價(jià)格彈性(elasticity)。,25,26,對(duì)數(shù)形式是經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常用的形式，廣泛地應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域中： 例如：在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們?nèi)绻胙芯客顿Y

6、的增 長率，通常用 表示，其中 一般可以表達(dá)為：,27,28,三種對(duì)數(shù)回歸模型,29,關(guān)鍵問題是理解1的含義,因?yàn)樵撃Ｐ椭衁不是對(duì)數(shù)形式而X是，所以有時(shí)稱它為線性對(duì)數(shù)模型。,在線性對(duì)數(shù)模型中， 1 表示X變化1%引起Y的變化為0.01 1 。,30,推導(dǎo)：我們考察自變量X變化X的過程。 此時(shí)：,即X變化1%時(shí)， 為0.01。,31,例子,收入每增加1%時(shí)，成績會(huì)增加0.01*26.42=0.3642分。,結(jié)論：線形對(duì)數(shù)形式一般用來表示當(dāng)自變量變化1%時(shí)，因變量變化的具體數(shù)值。,32,書中的兩個(gè)例子 1。地區(qū)收入從10-11（單位是千美元） 2。地區(qū)收入從40-41,33,例一： Y=557.8

7、+36.42ln(11) - 557.8+36.42ln(10) =36.42*ln(11)-ln(10)=3.47 Y=557.8+36.42ln(41) - 557.8+36.42ln(40) =36.42*ln(14)-ln(40)=0.90,34,線性對(duì)數(shù)回歸函數(shù),35,如何理解1的含義,因?yàn)樵撃Ｐ椭衁是對(duì)數(shù)形式而X不是，所以有時(shí)稱它為對(duì)數(shù)線性模型。,在線性對(duì)數(shù)模型中， 1 表示X變化1個(gè)單位引起Y的變化為(100*1)%。,36,推導(dǎo)：我們考察自變量X變化X的過程。 此時(shí)：,37,我們考慮一個(gè)大學(xué)畢業(yè)生年齡和收入關(guān)系的例子。很多雇傭合同都指出職工多工作一年，則他或她的收入就增加一定的

8、百分率。,由該回歸知年齡每增加1歲，預(yù)計(jì)收入增加 (100*0.0086)*=0.86%,再考慮工資方程中，教育年限每增加1年工資增加的百分率。,38,注意：因?yàn)樽宰兞坎话魏螌?duì)數(shù)形式，所以對(duì)數(shù)線性模型的擬合圖是一條直線。,39,40,如何理解1的含義,因?yàn)樵撃Ｐ椭衁是對(duì)數(shù)形式X也是，所以有時(shí)稱它為雙對(duì)數(shù)模型。,在線性對(duì)數(shù)模型中， 1 表示X變化1%個(gè)單位引起Y的變化為1%。,41,42,43,雙對(duì)數(shù)函數(shù)最典型的例子是生產(chǎn)函數(shù)production。,44,45,原則1：在解釋變量均顯著的前提下，當(dāng)被解釋變量Y的函數(shù)形式相同時(shí)，可以通過adj R2比較模型的優(yōu)劣。,但如果被解釋變量Y的函數(shù)形式

9、不同，例如一個(gè)是ln(Y)，而另一個(gè)是Y，則通過adj R2比較模型的優(yōu)劣沒有意義。,46,47,原則二：根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論和對(duì)問題的實(shí)踐認(rèn)知確定用Y的對(duì)數(shù)形式是否有意義。 經(jīng)常使用對(duì)數(shù)形式表示增長率的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)：GDP 投資 消費(fèi) 工資 成績 等等。,48,測試成績和地區(qū)收入的多項(xiàng)式和對(duì)數(shù)模型,挑選一種最好的函數(shù)形式： 到底選擇多項(xiàng)式還是對(duì)數(shù)？ 在多項(xiàng)式和對(duì)數(shù)中哪種形式最好？ 多項(xiàng)式和對(duì)數(shù)的組合效果如何？,49,1。多項(xiàng)式形式,結(jié)論，立方形式改進(jìn)了方程，并且income3前的系數(shù)顯著，因此采用立方形式。,50,我們嘗試使用對(duì)數(shù)的高次方形式,51,立方和線性對(duì)數(shù)形式的比較,因?yàn)槭蔷€性對(duì)數(shù)，所以可以比較

10、adj R2。由于本題線性對(duì)數(shù)較高，所以采用線性對(duì)數(shù)形式。,52,53,自變量的交互作用（交乘項(xiàng)）,解釋變量之間往往不是相互獨(dú)立的，當(dāng)兩個(gè)解釋變量之間相互影響，對(duì)被解釋變量具有交互作用時(shí)，往往引入交乘項(xiàng)。即某個(gè)自變量變化對(duì)Y的效應(yīng)依賴于另一個(gè)自變量取值。,54,我們將分三種情況考慮： 1。兩個(gè)自變量都是虛擬變量； 2。一個(gè)自變量是虛擬變量而另一個(gè)是連續(xù)變量； 3。兩個(gè)變量都是連續(xù)變量。,55,兩個(gè)虛擬變量的交互作用,其中Y是工資的對(duì)數(shù)，D1表示性別（1為女性），D2表示是否擁有大學(xué)學(xué)位（1為有）。,56,按照上，固定性別時(shí)，無論男性女性，擁有大學(xué)學(xué)位的效應(yīng)是一樣的。但現(xiàn)實(shí)情況是，在勞動(dòng)市場中文

11、憑的價(jià)值對(duì)男性和女性而言是不同的。 顯然，上述形式?jīng)]有考慮到性別和獲得大學(xué)學(xué)位的交互作用，因此我們引入一個(gè)交乘項(xiàng)D1*D2進(jìn)行修正。,57,58,分析： 1。給定D1的取值，D2=0 和D2=1的數(shù)學(xué)期望為： E(Y|D1=d1,D2=0)=0+1d1 E(Y|D1=d1,D2=1)=0+1d1+ 2+3d1 第二項(xiàng)減去第一項(xiàng)，得2+3d1 這是大學(xué)畢業(yè)生和非大學(xué)畢業(yè)生對(duì)Y的影響效應(yīng)之差。但我們發(fā)現(xiàn)，這種效應(yīng)依賴于d1。,59,當(dāng)d1=0(男性) 對(duì)Y的效應(yīng)為2 當(dāng)d1=0(女性) 對(duì)Y的效應(yīng)為2+3,3即是女性和男性獲得大學(xué)學(xué)位的效應(yīng)之差。 可見，是否大學(xué)畢業(yè)(D2)對(duì)工資對(duì)數(shù)的影響效果不僅

12、取決于它本身，而且取決于性別(D1)。,60,在固定英語學(xué)習(xí)者百分率HiEL時(shí)的情況下，從低學(xué)生/教師比學(xué)區(qū)變到高學(xué)生/教師比學(xué)區(qū)的效應(yīng)預(yù)測值為2+3d1，在本題中為-1.9-3.5HiEL。,61,在本題中我們還可以求以下數(shù)據(jù)： 1。低學(xué)生/教師比和低英語學(xué)習(xí)者百分率學(xué)區(qū)的樣本平均側(cè)試成績。 2。低學(xué)生/教師比和高英語學(xué)習(xí)者百分率學(xué)區(qū)的樣本平均側(cè)試成績。 3。高學(xué)生/教師比和低英語學(xué)習(xí)者百分率學(xué)區(qū)的樣本平均側(cè)試成績。 4。高學(xué)生/教師比和高英語學(xué)習(xí)者百分率學(xué)區(qū)的樣本平均側(cè)試成績。,62,連續(xù)變量和二元變量的交互作用,其中Yi為工資的對(duì)數(shù)，Xi是連續(xù)變量，表示工作經(jīng)驗(yàn)；Di為虛擬變量，表示是否擁有大學(xué)學(xué)位。,63,64,1。僅截距不同,2。僅斜率不同,3。截距、斜率均不同,65,除了畫圖法，還可以通過F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)確定構(gòu)造交乘項(xiàng)的必要性。,66,67,教育收益和性別差異,教育除了能讓你感受到獲取知識(shí)的愉悅外，還能帶給你經(jīng)濟(jì)上的回報(bào)。學(xué)歷較高的職工往往比學(xué)歷較低的同等職工賺得更多。但