1、華師大版八年級數(shù)學(xué)下函數(shù)及其圖像知識點歸納華師大版八年級數(shù)學(xué)下函數(shù)及其圖像知識點歸納一 .變量與函數(shù)1 .函數(shù)的定義 :一般的 ,在某個變化過程中有兩個變量x 與 y,對于 x 的每一個數(shù)值y 都有唯一的值與之對應(yīng),我們說 x 叫做自變量 ,y 叫做因變量 ,y 叫做 x 的函數(shù)。2.自變量的取值范圍:(1) 能夠使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。(2) 確定函數(shù)自變量的取值范圍要注意以下兩點: 一就是使自變量所在的代數(shù)式有意義; 二就是使函數(shù)在實際問題中有實際意義。(3) 不同函數(shù)關(guān)系式自變量取值范圍的確定:函數(shù)關(guān)系式為整式時自變量的取值范圍就是全體實數(shù)。函數(shù)關(guān)系式為分式時自變量的取值范圍就是

2、使分母不為零的全體實數(shù)。函數(shù)關(guān)系式為二次根式時自變量的取值范圍就是使被開方數(shù)大于或等于零的全體實數(shù)。3 .函數(shù)值 :當(dāng)自變量取某一數(shù)值時對應(yīng)的函數(shù)值。這里有三種類型的問題:(1) 當(dāng)已知自變量的值求函數(shù)值就就是求代數(shù)式的值。(2) 當(dāng)已知函數(shù)值求自變量的值就就是解方程。(3) 當(dāng)給定函數(shù)值的一個取值范圍,欲求自變量的取值范圍時實質(zhì)上就就是解不等式或不等式組。二 .平面直角坐標(biāo)系 :1.各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征 :(1) 點 p(x,y) 在第一象限 x 0,y0 、(2) 點 p(x,y) 在第二象限 x 0,y0 、(3) 點 p(x,y) 在第三象限 x 0,y0(4) 點 p(x,y) 在

3、第四象限 x 0,y0 、2 .坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)的特征:(1) 點 p(x,y) 在 x 軸上 x為任意實數(shù) ,y=0(2) 點 p(x,y) 在 y 軸上 x=0,y 為任意實數(shù)3 .關(guān)于 x 軸,y 軸 ,原點對稱的點的坐標(biāo)的特征:(1)點 p(x,y) 關(guān)于 x 軸對稱的點的坐標(biāo)為(x,-y) 、(2)點 p(x,y) 關(guān)于 y 軸對稱的點的坐標(biāo)為(-x,y) 、(3)點 p(x,y) 關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(-x,-y)4 .兩條坐標(biāo)軸夾角平分在線的點的坐標(biāo)的特征:(1)點 p(x,y) 在第一、三象限夾角平分在線x=y 、(2) 點 p(x,y) 在第二 ,四象限夾角平分在線 x

4、+y=05.與坐標(biāo)軸平行的直線上的點的坐標(biāo)的特征:(1) 位于平行于 x 軸的直線上的所有點的縱坐標(biāo)相同。(2) 位于平行于 y 軸的直線上的所有點的橫坐標(biāo)相同。6.點到坐標(biāo)軸及原點的距離 :(1) 點 p(x,y) 到軸的距離為 y、(2) 點 p(x,y) 到 y 軸的距離為 x、22(3) 點p(x,y) 到原點的距離為xy(4) 同在 x 軸上的兩點A(x1,0) 與(5) 同在 y 軸上的兩點C(0,y1) 與B(x2,0) 之間的距離為 D(0,y2) 之間的距離為AB=|x1-x2|CD=|y1-y2|三 .函數(shù)的圖像函數(shù)圖像上的點與其解析式的關(guān)系1.函數(shù)圖像上任意一點p x,y

5、 中的 x 、 y 滿足函數(shù)關(guān)系式,滿足函數(shù)關(guān)系式的一對對應(yīng)值x,y 都在函數(shù)華師大版八年級數(shù)學(xué)下函數(shù)及其圖像知識點歸納的圖像上。2.判斷點 p x,y 就是否在函數(shù)圖像上的方法,將這個點的坐標(biāo) x,y 代入函數(shù)關(guān)系式,如果滿足函數(shù)關(guān)系式 ,那么這個點就在函數(shù)的圖像上,如果不滿足函數(shù)關(guān)系式 ,那么 ,這個點就不在函數(shù)的圖像上。四 .一次函數(shù)(一) 一次函數(shù)的定義1.定義 :含有自變量的式子為一次整式,即形如式子y kx+b( 其中k 與b 為常數(shù),k 叫0)做一次函數(shù)。正比例函數(shù) :在一次函數(shù)y=kx+b 中如果 b=0 即變?yōu)閥=kx( 其中 k0),這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。2.注意 :(

6、1) 由一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義可知; 函數(shù)就是一次函數(shù) 解析式為y kx+b 的形式。 函數(shù)就是正比例函數(shù) 解析式為y=kx 的形式。(2) 一次函數(shù)解析式 y=kx+b 的結(jié)構(gòu)特征 : k 0 x 的次數(shù)就是1 常數(shù)b 為任意實數(shù)(3) 正比例函數(shù)解析式 y=kx 的結(jié)構(gòu)特征 k 0 x 的次數(shù)就是1 常數(shù)b=03.說明 :在 y=kx+b 中若 k=0 則 y=b b 為常數(shù)這樣的函數(shù)叫做常數(shù)函數(shù)4.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系:,它不就是一次函數(shù)。正比例函數(shù)就是一次函數(shù)的特例,一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。第 2/6 頁一次函數(shù)y=kx+b, 當(dāng) b=0 時為正比例函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b,

7、 當(dāng) b0時一般的一次函數(shù)(二) 一次函數(shù)的圖像1.一次函數(shù)圖像的形狀:一次函數(shù) y=kx+b 的圖像就是一條直線 ,通常稱為直線 y=kx+b 正比例函數(shù) y=kx 的圖像也就是一條直線 ,稱為直線 y=kx 2.一次函數(shù)圖像的主要特點 :一次函數(shù)y=kx+b 的圖像經(jīng)過點0,b的直線 ,正比例函數(shù)y=kx+b 的圖像就是經(jīng)過原點0,0的直線注意 :點 0,b 就是直線 y=kx+b 與 y 軸的交點。 當(dāng) b 0 時 ,此時交點在 y 軸的正半軸上 , 當(dāng) b 0 時 ,此時交點在 y 軸的負(fù)半軸上 , 當(dāng) b=0 時 ,此時交點在原點 ,這時的一次函數(shù)就就是正比例函數(shù)。3.一次函數(shù)圖像的

8、畫法:,即兩點確定一條直線 ,所以畫一次函數(shù)的圖像時,只要先描出兩根據(jù)兩點能畫一條直線并且只能畫一條直線點 ,在連成直線即可。那么 ,先描出哪兩點比較好呢？選兩點應(yīng)以計算與描點簡單為原則,一般來說 ,當(dāng) b0時 ,一般的一次函數(shù) y=kx+b 的圖像 ,應(yīng)選取b,0 ;當(dāng) b=0 時,畫正比例函數(shù) y=kx 的圖像 ,通常取 0,0 與 k22 1,k兩點 ,個別情況下可以做些變通,例如畫函數(shù)y=x的圖像 ,可以取 0,0與 1,兩點 ,33 它與兩個坐標(biāo)軸的交點0,b 與 -也可以取0,0與 3,2兩點。4.直線 y=kx+b 與坐標(biāo)軸的交點(1)令 x=0, 則 y=b 所以直線 y=kx

9、+b 與 y 軸的交點坐標(biāo)為0,b (2)令 y=0, 則 kx+b=0所以 x=-b kb,0注意 :此時直線 y=kx+b 與 x 軸 ,y 軸圍成的三角形面積k 所以直線 y=kx+b 與 x 軸的交點坐標(biāo)為-S=1b - b 2k5.兩直線在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置關(guān)系:(1) 兩直線的解析式中當(dāng)k 相同時 ,其位置關(guān)系就是平行,其中一條直線可以瞧作就是另一條平移得到的,平移規(guī)律就是 “左減右加 ,上加下減 ”(2) 兩直線的解析式中當(dāng)b 相同時 ,其位置關(guān)系就是相交,交點坐標(biāo)為 0,b、第 3/6 頁(三)一次函數(shù)的性質(zhì)1.正比例函數(shù)的性質(zhì)(1) 當(dāng) k 0 時,圖像經(jīng)過第一、三象限 ,y

10、 隨 x 的增大而增大 ,直線 y=kx 從左到右上升。(2) 當(dāng) k 0 時,圖像經(jīng)過第二、四象限 ,y 隨 x 的增大而減小 ,直線 y=kx 從左到右下降。2.一次函數(shù) y=kx+b 的性質(zhì)(1) 當(dāng) k 0 時,直線 y=kx+b 從左到右上升,此時 y 隨 x 的增大而增大。華師大版八年級數(shù)學(xué)下函數(shù)及其圖像知識點歸納(2) 當(dāng) k 0 時,直線 y=kx+b 從左到右下降 ,此時 y 隨 x 的增大而減小。(3) 當(dāng) b 0 時 ,直線 y=kx+b 與 y 軸正半軸相交。(4) 當(dāng) b 0 時 ,直線 y=kx+b 與 y 軸負(fù)半軸相交。3.直線 y=kx+b 的位置與k、 b 的

11、符號之間的關(guān)系直線 y=kx+b 的位置就是由k 與 b 的符號決定的,其中 k 決定直線從左到右呈上升趨勢還就是下降趨勢,b 決定直線與y 軸交點的位置就是在y 軸的正半軸 ,還就是負(fù)半軸,還就是原點。k 與 b 綜合起來決定直線y=kx+b 在直角坐標(biāo)系中的位置共有六種情況:當(dāng) k 0,b0 時 ,直線經(jīng)過第一、二、三象限,不經(jīng)過第四象限;當(dāng) k 0,b0 時 ,直線經(jīng)過第一、三、四象限,不經(jīng)過第二象限;當(dāng) k 0, b 0 時 ,直線經(jīng)過第一、二、四象限,不經(jīng)過第三象限;當(dāng) k 0,b0 時 ,直線經(jīng)過第二、三、四象限,不經(jīng)過第一象限;當(dāng) k 0,b=0 時 ,直線經(jīng)過第一、三象限;當(dāng)

12、k 0,b=0 時 ,直線經(jīng)過第二、四象限。(四)正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式的確定1.確定一個正比例函數(shù)就就是要確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx k0中的常數(shù)k;確定一個一次函數(shù)需要確定一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)=kx+b k0中的常數(shù)k 與 b,解這類問題的一般方法就是待定系數(shù)法。2.待定系數(shù)法:先設(shè)出待求函數(shù)關(guān)系式其中含有未知的系數(shù),再根據(jù)已知條件列出方程或方程組到所求結(jié)果的方法,叫做待定系數(shù)法。其中的未知系數(shù)也稱待定系數(shù),如正比例函數(shù)y=kxy=kx+b 中的 k 與 b 都就是待確定的系數(shù)。,求出未知系數(shù) ,從而得中的 k, 一次函數(shù)3.用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟:(1) 設(shè)出含有待

13、定系數(shù)的解析式;(2) 把已知條件自變量與函數(shù)的對應(yīng)值代入解析式,得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組;(3) 解方程或方程組 ,求出待定系數(shù) ;(4) 將求得的待定系數(shù)的值代回所設(shè)的解析式。式設(shè)注意 :通常正比例函數(shù)解析式設(shè)y=kx, 只有一個待定系數(shù)y=kx+b, 其中有兩個待定系數(shù)k 與 b,因而需要兩對x 與五 .反比例函數(shù)(一)反比例函數(shù)定義1.一般的 ,函數(shù) y=k-1 k 就是常數(shù) ,k 0叫做反比例函數(shù)式 ,其中 k 叫做比例系數(shù)。第 4/6 頁k,一般只需一對x 與 y 的對應(yīng)值即可;一次函數(shù)解析y 的對應(yīng)值 ,才能求出k 與 b 的值。,反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=kx 的形

14、 x2.反比例函數(shù)解析式的主要特征:(1) 等號左邊就是函數(shù)y,右邊就是一個分式,分子就是不為零的常數(shù)k,分母中含有自變量x,且x 的指數(shù)就是1,若寫成 y=kx 的形式 ,則 x 的指數(shù)就是-1。(2) 比例系數(shù) “ k就0”是反比例函數(shù)定義的重要組成部分。(3) 自變量 x 的取值范圍就是x0的一切實數(shù)。(二)反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像就是雙曲線,它有兩個分支 ,這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限,它們關(guān)于原點成中心對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0,函數(shù) y0,所以它的圖像與 x 軸與 y 軸都沒有交點 ,即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸,但永遠不與坐標(biāo)軸相交。(三)反比例

15、函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng) k 0 時 ,圖像在第一、三象限,在每個象限內(nèi) ,曲線從左到右下降,也就就是在每個象限內(nèi)y 隨 x 的增大而減小。2.當(dāng) k 0 時 ,圖像在第二、四象限,在每個象限內(nèi) ,曲線從左到右上升,也就就是在每個象限內(nèi)y 隨 x 的增大而增大。(四)反比例函數(shù)解析式的確定,由于反比例函數(shù)y=-1k 中只有一個待定系數(shù) ,因此只需要一對x 與 yx確定解析式的方法仍就是待定系數(shù)法的對應(yīng)值或圖像上一個點的坐標(biāo),即可求出 k的值 ,從而確定其解析式。(五) “反比例關(guān)系 ”與 “反比例函數(shù) ”的區(qū)別與聯(lián)系反比例關(guān)系就是小學(xué)學(xué)過的概念:如果 xy=k k 就是常數(shù) k0 ,那么 x 與 y

16、這兩個量成反比例關(guān)系,這里 x與 y 既可以代表單獨的一個字母也可以代表多項式或單項式,例如 y+3與 x 成反比例則有 y+3=成反比例 ,則 y=例關(guān)系。k,y 與 x2xkk, 成反比例關(guān)系不一定就是反比例函數(shù),但就是反比例函數(shù)y= 中的兩個變量必定成反比xx2第 5/6 頁華師大版八年級數(shù)學(xué)下函數(shù)及其圖像知識點歸納(六 )反比例函數(shù)y=k k0中的比例系數(shù)k 的幾何意義x11S 矩形 =|k|。221. 如圖 ,過雙曲線上一點作x 軸、 y 軸的垂線PM 、 PN,所得矩形PMON面積為|k|。2.連結(jié)PO,則 S POM=六 .函數(shù)的應(yīng)用1.利用圖像比較兩個函數(shù)值的大小在同一直角坐標(biāo)系中的兩個函數(shù)圖像,如果其中一個函數(shù)的圖像在另一個函數(shù)圖像的上方,則該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值大,若在下方 ,則該函數(shù)值就比另一個函數(shù)值小,而其交點的橫坐標(biāo)就就是分界點。2.兩個一次函數(shù)圖像的交點與二元一次方程組的關(guān)系如果兩個一次函數(shù)的圖像相交,則交點坐標(biāo)必定同時滿足兩個函數(shù)解析式,故交點坐標(biāo)就是有兩個函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解。3.一次函數(shù)與方程